工科数分课件第六章4节

§6.4分的计分部积分与换一、分部积

分部积分与换定理

baudvb

bab

a buvdxa

bab

ba定积分的分部积定理

分部积分与换b f(x)dxb

f证明设Fx)fx)的一个原函数，定义(t

分部积分与换

b f(b应用换 时应注意b

分部积分与换

f(x)dx

b相当于第二类b由右到左时

f(相当于第一类分部积分与换bb

f(x)dx

求出f[t)]t)的一个原函数t)后，不必再把t)变换成原变量x的函数，而只求(().分部积分与换定积分的换 示意分部积分与换a fxdx fx0a分部积分与换0aa证a

f(x)dx0

f(x)dx

f(x在

fx)dx中令xt0 f(t)dt0

f(x)dx

f(x)dx

f(f(x)f(0f(x)dxa0f(0f(x)dxa0f(t

f(f(x)f

分部积分与换 0Ta f(x)dx f(x)dx0Ta

f(x)dxa(3)

fxdx

fxdx

fxdx

fxT xdxa0f(uxT结论得分部积分与换例1计算 cos5xsin0解令tcos dtsinxt x0t2 cos5xsin000

t

t6 6 60例2计算 sin3xsin50

分部积分与换3解fx)

sin3xsin5x

x xdx cosxsinx233 2cosxsinx20

2

cosxsinx2333 2sinx2dsinx0

sinx2dsin55522 252

4sinx

sinx 2分部积分与换3e例3计

lnx(1ln34 原式 4

d(ln lnx(1ln3 e

d(ln

2e

ln ln (1ln

1 lnx

e xx3a例4计算 xa

1a2

分部积分与换 (a 令xasint2xat2

dxacostdtx0tacos原式

asint

a2(1sin2t2 cos2 sintcost

2

costsintsinsint t1 1

lnsintcos 1例5计算1

2x2xcos1 1x2

分部积分与换1解原式1

2x21 1x

dx

xcos 11 1x2141

x2

奇函041

1 1x2x2(1 1x2

1dx41

1x204

1(1x2

4x

单位圆的面

a2x2dx a2x2 41014101x2分部积分与换例（1）设x2

则x0t2

；xt20f(sinx)dx fsintdt02 20 0 f(cost)dt0

f(cos0

xf(sinx)dx

f(sin

分部积分与换 则x0t,xt0xf(sinx)dx

(t)f[sin(t00(t)f(sint0 f(sint 0tf(sint f(sinx)dx0xf(sin0xf(sinx)dx,

xf(sinx)dx

2

f(sinx)dx.xf(sinx)dx

f(sin

分部积分与换 xsin

dx

sin 01cos2 201cos2 d(cos201cos2arctan(cos2

2) 2 例 设f(x)在区间R上连续，

分部积分与换 fa

bsin

f

a2b2 证明

f

a2

a2

b2令

0

a2b2 0

a2

cos

f

b2aa2aa20

a2b2例8

12arcsin0

分部积分与换 令uarcsin dv则du

1x2

v1arcsin

xarcsinx

201

1

012 2 d(1x12 2

1x22 2

1x2 1x

3

解

例9401cos1cos例9401cos

分部积分与换 4

4

xdtanx01cos

02cos2

20 xtanx4 0 2

tan

lncosx 0

ln2 例10计算1ln(1x

分部积分与换1 (2x)21解

ln(1x)1(2x)211

ln(1

2xln(1x)

dln(12

21ln21

02 1

1 2ln3

ln(1x)ln(2x)1

5ln2ln030xxf(fxxf(

2sin

dt,

分部积分与换11例11例11 10xf(1

112 f(x)d(x112111x2112

f(x)10

2

x2df( sin 2sin

1 11

x2

(2

f(x) 2x

2xsinxdx2

sinxd(x0

1(cos1 例12证明定积

分部积分与换In

2sin0

xdx

20

n1n331

n为正 n 4 n1

n

42

为大于1的正 n 5证设usinn1x,dvsin

分部积分与换n n

xcos02(n1)2sinn2xxcos00n (n1)2sinn0

xdx(n1)2sin0

1sin2x(n1)In2(n1)In n1

积分In关于下标的递 n3 n

,直到下标减到0或1为 2m12m3531I

分部积分与换 2m

(m

2m2642I2m

2m 2m 30202 dx0