2022年高考艺术生专用数学讲义-第35讲直线方程（教师版）

第35讲直线方程

1、直线的倾斜角

①直线的倾斜角：0°<«<180°

②直线的斜率：Z=tan*90°）

③已知两点求斜率：左二%一%（球声xj

^2-^1

2、两直线的平行与垂直

①平行：/,///,,贝U仁=心或占、右不存在

②垂直：Z,I/2,则匕&=-1或占=。且左2不存在

3,直线的五种方程

①点斜式：y-%=人（工一%）

②斜截式：y=kx+b

④截距式：—>--=1

ab

⑤一般式：4x+8y+C=。（A、B不能同时为零）

4、两直线的交点坐标

①联立两直线方程，求交点坐标

5、距离公式

①两点间距离：\PtP2\=去2-%）2+02-必）2

②点4（%、%））到直线/：Ax+8y+C=。

1AA+By。+C|

距离dp

J2+万

题型一：直线的倾斜角和斜率

1.（2021•北京八十中高二期中）直线Gx-y+a=0（aeR）的倾斜角为（）

A.30,B.60C.150D.120

【答案】B

【详解】

由y/3x-y+a=0可得y=>/Jx+〃,

所以直线的斜率为％=G，设直线的倾斜角为。，

则&=tana=K，

因为OMa<180。，所以a=60

故直线的倾斜角为：60,，

故选：B.

2.（2021•全国高二课时练习）已知直线/经过第二、四象限，则直线/的倾斜角a的取值范围是（）.

A.0<a<90B.0<a<180C.90<a<180D.90<a<180

【答案】D

【详解】

直线倾斜角的取值范围是0Ya<180，

乂直线/经过第二、四象限，

.•.直线/的倾斜角a的取值范围是90<a<180，

故选：D.

3.（2021•全国高二课时练习）直线百x-y-l=（）的倾斜角为（）.

A.三B.-C.-D.-

12643

【答案】D

【详解】

依题意可知所求直线的斜率为石，

设直线的倾斜角为a,则tana=6，

因为cs[0,乃），所以。=工

3

即直线的倾斜角为?，

故选：D.

4.（2021•重庆市第七中学校高二月考）经过两点40,6+1）和8卜1,1-6）的直线/的倾斜角是（）

A.30B.60C.120D.150’

【答案】B

【详解】

设直线/的倾斜角为a,直线/的斜率为&=（灯H心）=百，

14-1

*/0<a<180»故a=60.

故选：B.

5.（2021•全国高二课时练习）图中的直线4、4、4的斜率分别为勺、与、％，则（)

A.k]<k2<k3B.k3Vk、<k2

C.k3<k2<%D.%<%<k2

【答案】D

【详解】

由题可得，直线，的倾斜角为钝角，

，直线h的斜率k<0,

由于4、人的倾斜角为锐角，且右的倾斜角大于直线人的倾斜角，

••k\k,Ak,>,

故选：D.

6.（2021•南昌市第八中学（文））若直线经过两点45,一团），伏-加,2加-1）且倾斜角为45。，则团的值

为（）

3

A.2B.3C.-1D.一一

2

【答案】C

【详解】

由题意，可知直线A3的斜率存在，且心=lan45°=1,

-m-5

解得m=-l.

故选：C.

7.（2021•江苏）已知点1（2,0）,43,-6）,则直线A3的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.120°D.135°

【答案】C

【详解】

点4（2,0）,则直线的斜&=-6，

则直线的倾斜角120°,

故选：C.

8.（2021•全国高二课时练习）“。=1”是“直线（a+l）x+（/_i）y+3=O的斜率不存在”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

直线（a+l）x+（〃-l）），+3=0的斜率不存在，则4-1=0,a+lHO,

解得"L

“。=1"是"直线3+l）x+（〃-l）y+3=0的斜率不存在”的充要条件，

故选：C.

9.（2021•全国（文））点尸在曲线y=/—x+g上移动，设点尸处切线的倾斜角为a,则a的取值范

围是（）

A.（0,9B.U?4）

C.［彳4D.（5，彳］

【答案】B

【详解】

V/=3*—12—1,

tan。N—1.

VaG［0,万），

**•。£［。仁）3,㈤.

故选：B.

10.（2021•江苏）若直线/过点A（4,l）,8（3,a2）（“eR）,则直线的倾斜角取值范围是（）

A.卜登）唱乃）C,0,^D.O,：U（M

【答案】D

【详解】

解：设直线的倾斜角为。，则

因为awR,所以1一/工1,即tanOWl,

因为9e［0,万），所以04,4:JT或々TT＜夕＜乃，

42

所以直线的倾斜角取值范围是0，?U（］小）,

故选：D

题型二：直线方程

1.（2021•全国高二课时练习）已知直线fcr-y-3k+l=0,当z变化时，所有直线都恒过点（）

A.（0,0）B.（0,1）C.（2,1）D.（3,1）

【答案】D

【详解】

京-y-3A+l=0可化为&（x-3）—（y-l）=O,•••直线过定点（3,1）,

故选：D.

2.（2021•江北•重庆十八中高二月考）下列直线方程纵截距为2的选项为（）

A.y=x-2B.x-y+2=0C.—+—=1D.x+>'+2=0

24

【答案】B

直线x+y+2=0的纵截距为_2,直线楙+5=1的纵截距为4,直线x—丫+2=0的纵截距为2,直线尸一

的纵截距为-2.

故选：B.

3.（2021•江苏苏州•星海实验中学高二月考）已知直线/:奴+y_2=0在x轴和y轴上的截距相等，则

实数a的值是（）

A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1

【答案】A

解：根据题意当4=0时，不符题意，

当x=O时，y=2,

2

当y=o时，，%=-,

a

因为直线7：2=0在x轴和y轴上的截距相等，

2

所以一=2,所以。=1.

a

故选：A.

4.（2021•安徽高二月考）不论加为何值，直线如-2丁-3m+1=。恒过定点（）

【答案】I）.

【详解】

因为twc—2y—3tn+\=0,所以加（％-3）+（1-2y）=0,

令X—3=0,l-2y=0,得X=3,y=；,即定点为（3,g）.

故选：D.

5.（2021•大埔县虎山中学）经过点且一个方向向量为（2,_3）的直线/的方程是（）

A.3x+2y-l=0B.3x+2y+l=0

C.2x+3y+l=0D.x-2y-3=0

【答案】A

【详解】

因为直线的一个方向向量为（2,-3）,所以直线的斜率为-又因为直线过点（1,-1）,由点斜式可得直线

的方程为3x+2y—l=0.

故选：A.

6.（2021•济宁市兖州区第一中学高二月考）过点尸（-1,2）且平行于/:2x-y+l=0的直线方程为（）

A.x+2y-3=0B.x+2y-5=0

C.2x-y=0D.2x-y+4=0

【答案】D

【详解】

因为直线/：2x-y+l=0的斜率为2,

所以所求直线的斜率也为2，

由点斜式可得所求直线方程为丫-2=2（*+1）,即2x-y+4=0.

故选：D

7.（2021•深州长江中学高二月考）直线1与直线6x—2y+l=0之间的位置关系是（）

3x-y+-=0"•

A.平行B.重合C.相交不垂直D.相交且垂直

【答案】B

【详解】

由直线3尸产六0得6尸2尸1=0,

...直线3『户3=0与直线6尸264=0之间的位置关系是重合.

故选：B.

8.（2021•深州长江中学高二月考）直线在y轴上的截距是一2,倾斜角为0°,则直线方程是（）

A・x+2=0B・x-2=0C-y+2=0D-y-2=0

【答案】C

【详解】

•••直线在y轴上的截距是一2,倾斜角为0°,

直线方程为y+2=0.

故选：C.

9.（2021•全国高二课时练习）无论m取何实数，直线（2+〃z）x+（l—2〃z）y+4-3m=0一定过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【详解】

(2+m)x+(l-2m)y+4-3m=0,则(x-2y—3)加+2x+y+4=0.

取L+410'解得［-2,故直线过定点（T-2），必过第三象限，

故选：C

10.（2021•苏州大学附属中学高二月考）直线和在同一平面坐标系中的图象可以是

abba

（）

h

VA

c,小、,

【答案】A

【详解】

解：由截距式方程可得直线4的横、纵截距分别为%-h,宜线右的横、纵截距分别为b,-“，

选项A,由4的图象可得。<0,。>0,由4的图象可得。<0，。>0,故正确：

选项B,由4的图象可得a>0,b<0,由4的图象可得“<0，6>0,显然矛盾，故错误；

选项C,由4的图象可得a<0,b<0,由4的图象可得a<0，b>0,矛盾，故错误；

选项D,由4的图象可得a>0,b>0.可得直线。的横截距为正数，纵截距为负数，

但是图象不对应，故错误.

故选：A.

11.（2021•全国高二课时练习）若直线土+?=1过第一、三、四象限，则（）

ab

A.ci>0,Z?>0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.a<0,b<0

【答案】B

【详解】

:直线过点第一、三、四象限，

它在x轴上的截距为正，在，轴上的截距为负，即。>0力<0.

故选:B

12.（2021•全国高二课时练习）直线人_,+1_3k=0，当k变动时，所有直线都通过定点（）

A.（3,1）B.（0,1）

C.（0,0）D.⑵1）

【答案】A

【详解】

直线可化为％（*-3）—y+l=0,令x=3,解得y=l,

所以直线恒过定点（3,1）.

故选：A

13.（2021•四川闽中中学高二月考（文））若直线y=^+2（ZeR）不过第三象限，则上的取值范围是（）

A.（-<»,0）B.（-<»，0]

C.（0,+<»）D.[0,+8）

【答案】B

【详解】

y=Ax+2过点（0,2）,若直线不过第三象限，则ZM0.

故选：B

题型三：直线的平行关系和垂直关系

1.（2021•江苏省苏州第十中学校高二月考）直线2x+（m+l）y-2=0与直线/nr+3y-2=0平行，那么，〃的

值是（）

A.2B.-3C.2或-3D.-2或-3

【答案】B

【详解】

因为直线2x+（〃z+l）y-2=0与直线，nr+3y-2=0平行，

2x3=/n(w+l)

所以，解得:m=-3,

—2("?+1)H—2x3

故选：B.

2.（2021•全国高二课时练习）若直线4：2x-ay-l=0与直线4：x+2y=0垂直，贝l」a=（）.

A.0B.IC.。或ID.1或2

【答案】B

【详解】

两直线垂直满足2xl+（-a）x2=0,解得a=1,

故选：B.

3.（2021•武汉市育才高级中学高二月考）已知过点A（-2,m）和点8（，〃,4）的直线为《，直线2x+y-l=0

为4,直线彳+利+1=0为4,若〃〃2,6上4,则实数帆+”的值为（）

A.-10B.-2C.0D.8

【答案】A

【详解】

由题意可得直线4,4，,3的斜率存在，可分别设为勺，*

因为〃〃2，所以仁=&，即土"=—2,解得：机二一8,

m+2

因为A，。，所以网名=-1，BP-2x^-1^-1,解得：〃=一2,

所以帆+〃=_8+（_2）=_10,

故选：A.

4.（2021•广东龙华•厚德书院高二月考）已知直线4：2x+y-2=0,/2：or+4y+l=0,若川,则a的

值为（）

A.8B.2C.——D.-2

2

【答案】D

【详解】

由题：直线4：2x+y-2=0,4：ax+4y+l=。相互垂直，

所以2a+4=0,解得：a=-2.

故选：D.

5.（2021•江苏南京•高二月考）若直线以+丫-。+1=0与直线（a-2）x-3y+a=O垂直，则实数。的值为

（）

A.-1或3B.1或一3C.一1或一3D.1或3

【答案】A

【详解】

由题设，4（。—2）+lx（—3）=0,即/一务3=0,解得〃=一1或0=3.

当a=T时，直线分别为x-y-2=0、3x+3y+l=O,符合题设；

当。=3时，直线分别为3x+y-2=0、x-3y+3=0,符合题设.

故选：A

6.（2021•深州长江中学高二月考）直线5+了-3=0与直线y=；x—l垂直，则（）

A.2B.-2C.yI）.一3

【答案】A

【详解】

因为己知两直线垂直，所以-axg=-l,a=2.

故选：A.

7.（2021•全国）已知直线4"+州+4=0,4：（〃2T）x+2y-8=0,若心",则加的值是（）

11

--2

A.3B.2C.

【答案】A

【详解】

解：因为

所以（〃?-1）+2，〃=0,解得m=

故选：A.

8.（2021•天津红桥•高一学业考试）若直线4：x-y=O与直线4：x+町+2=0互相垂直，则。的值为（）

A.-1B.1

C.-2D.2

【答案】B

【详解】

解：因为直线4：x-y=O与直线4：x+ay+2=0互相垂直，所以lxl+（—l）xa=0

解得”=1；

故选：B

9.（2021•全国高二专题练习）4、4为两条直线，则下列说法正确的是（）

A.若直线4与直线4的斜率相等，则V〃2B.若直线“〃2,则两直线的斜率相等

C.若直线4，4的斜率均不存在，则〃〃2D.若两直线的斜率都存在且不相等，则两直线不平行

【答案】I）

【详解】

解：对于A,直线/与人斜率相等时，或/与人重合，，A错误；

对于B,直线人〃&时，％=%或它们的斜率不存在，；.B错误；

对于C,直线八、A的斜率不存在时，△〃4或义与人重合，，C错误；

对于D,直线/与心的斜率不相等时，Z与人不平行，，D正确.

故选：D.

10.（2021•全国高二专题练习）下列各组直线中，互相垂直的一组是（）

A.2x-3y—5=0与4x-6y—5=0B.2x-3y—5=0与4x+6y+5=0

C.2x+3y-6=0与3x-2y+6=0D.2x+3y-6=0与2x-3y-6=0

【答案】C

【详解】

244

对于A,々/=；X[=A—1,因此/与心不垂直；

36797

2/4、4

对于B,左左=彳*|-7|=-彳4-1,因此Z与人不垂直；

23

对于C,k\k：\=—x—=—1,因此

32

224

对于D,A-,A=--X-=--^-1,因此人与人不垂直.

2339

故选：C.

11.（2021•全国高二课时练习）已知直线4的倾斜角为60,直线4经过点A（l，6）、B（-2,-26）,则直

线4、4的位置关系是（）

A.平行或