2021年湖北省第六届高考数学调研试卷（4月份）（附详解）

2021年湖北省第六届高考数学调研试卷（4月份）

一、单选题（本大题共20小题，共100.0分）

1.己知集合时={%|3/-4%—4<0},N=(y\\y-1|<1},则MnN=()

A.[0,2)B.(-|,0)C.[1,2]D.0

2.已知复数z满足|z-2|=1,贝U|z|的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

3.已知a=遮，b=log||>c=(|)4,则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

4.已知公比大于1的等比数列｛an｝满足a2aln=。6即，=a6aw,则m+n=（）

A.4B.8C.12D.16

5.函数y=sinx•ln|x|的部分图象大致是（）

6.已知向量方=（l,x）,石=（0,2）,则券的最大值为（）

A.2V2B.2C.V2D.1

7.为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者参加

A,B,C三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲、

乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有（）

A.24种B.36种C.48种D.64种

x+2y-4W0

8.已知x,y满足约束条件、2x-y+2W0,则2=ax+y（a为常数，且1<a<3）的

.3%+y+3>0

最大值为（）

A.-aB.2aC.—2a+3D.2

9.已知曲线y=V—％2+4x-3与直线上工一y+k—1=0有两个不同的交点,则实数

A的取值范围是()

A.康.B.(0,2)C.[1,|)D.良|)

10,若函数=Sin(3X+9(3>0)在G，7T)上单调，且在(05)上存在极值点，则3的

取值范围是()

A.(1,2]B.(i2]C.(iJD.(0,1]

11.在棱长为2的正四面体A3CZ)中，点尸为△4BC所在平面内一动点，且满足|所|+

।而|=竽，则PO的最大值为()

A.3B.源C.迤D.2

33

12.已知双曲线捺一《=19>0/>0)过第一、三象限的渐近线为/,过右焦点/作/

的垂线，垂足为4线段4尸交双曲线于B,若|BF|=2|4B|,则此双曲线的离心率

为()

A.V2B.V3C.V5D.V6

13.已知集合/={制％2-4冗+3V0},B={x\4x>8},则4nB=()

A.(l,pB.(f,3)C.(2,3)D.(1,3)

14.(x+：)(x—l)6的展开式中，含/项的系数为()

A.45B.-45C.15D.-15

15.设等差数列{oj的前〃项和为与，若Sio=2O,S20=30,则S3o=()

A.20B.30C.40D.50

16.设椭圆9+1=1的一个焦点为F,则对于椭圆上两动点A,B,△ABF周长的最大

值为()

A.4+V5B.6C.2V5+2D.8

17.下列对不等关系的判断，正确的是()

A.若三<则>b3B-若瞿书则?…

ab

C.若Ina?>inb2,则21al>2同D.若tana>tanb,贝!Ja>b

18.已知/(x),gQ)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，则下列为奇函数的是()

AJ(g(x))B.g(f(x))C./(/(x))D.g(g(x))

19.为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”,为响应国家号召，

有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了

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免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润

是该月初投入资金的20%,每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月

再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为（）（取（1.2）11=

7.5,（1.2）12=9）

A.24000元B.26000元C.30000元D.32000元

20.在44BC中,AB=4,AC=6,BC=5,点。为4ABC的外心，若而=AAB+〃刀，

则4+〃=（）

A.|B.\C.JD.|

3579

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

21.四张外观相同的奖券让甲，乙，丙，丁四人各随机抽取一张，其中只有一张奖券可

以中奖，则（）

A.四人中奖概率与抽取顺序无关

B.在甲未中奖的条件下，乙或丙中奖的概率为|

C.事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖互斥

D.事件甲中奖与事件乙中奖互相独立

22.已知a为第一象限角，/?为第三象限角，且sin（a+》=|,cos（/?冶）=一卷，则

cos（a+£）可以为（）

A33「63厂33h63

A.--65B.--65C.—65D.—65

23.若四棱锥P—4BCD的底面为矩形，则（）

A.四个侧面可能都是直角三角形

B.平面PAB与平面PCD的交线与直线AB,CD都平行

C.该四棱锥一定存在内切球

D.该四棱锥一定存在外接球

24.设/（x）=2|sinx|-COSY,则下列关于/（%）的判断正确的有（）

A.对称轴为x=kn,kEZB.最小值为一遍

C.一个极小值为1D.最小正周期为兀

三、单空题（本大题共8小题，共40.0分）

25.某中学为了加强艺术教育，促进学生全面发展，要求每名学生从音乐和美术中至少

选择一门兴趣课，某班有50名学生，选择音乐的有21人，选择美术的有39人，

从全班学生中随机抽取一人，那么这个人两种兴趣班都选择的概率是.

26.一个球的表面积为100万，一个平面截该球得到截面圆直径为6,则球心到这个平面

的距离为.

27.已知立为等差数列｛斯｝的前〃项和，56=0,a7=7,若答皿为数歹中的项，

“m+2

则?n=.

28.已知函数/(%)的定义城为(0,+8),其导函数为尸(%),且满足/(%)+

/'(%)V0,若0VV1Vg且=L给出以下不等式：

①自)>疗勺(打)；

@x1f(x2)<x2f(x1')；

③X1/O1)>x2/(x2)；

④/。2)>(1一%)/0。

其中正确的有.(填写所有正确的不等式的序号)

29.设复数2]=遮+3若/=乙则|Zi+Z2|=.

30.某圆台下底半径为2,上底半径为1,母线长为2,则该圆台的表面积为.

31.以抛物线/=2px(p>0)焦点F为端点的一条射线交抛物线于点A,交y轴于点2,

若|/F|=2,\BF\=3,则「=.

32.若存在两个不相等的正实数x,>,使得m(y—*)+02>-62，=0成立，则实数相

的取值范围是.

四、解答题(本大题共13小题，共152.0分)

33.在「ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+asinA=bsinB+csinC.

(I)求A；

(n)设。是线段BC的中点，若c=2,AD=V13,求

34.如图，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=CB,Z-ABC=

60°,四边形ACEF是矩形.

(I)求证：AC1EB-,

B

A

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(口)若。£=8。，且CE_LBC,求EB与平面尸8。所成角的正弦值.

35.已知函数/'(x)=xlnx.

(I)求/(吟的图象在点4(L/(1))处的切线方程，并证明/(%)的图象上除点A以外

的所有点都在这条切线的上方；

(口)若函数g(x)=(Inx+1)-sin2x—2f(x)cos2x,xG证明：g(%)2|cos|.

36.已知抛物线C：/=2p%(p>0)的焦点为F,过点尸且垂直于x轴的直线与C交于

A,B两点，AAOB(点。为坐标原点)的面积为2.

(I)求抛物线C的方程；

(口)若过点E(0,a)(a>0)的两直线%的倾斜角互补，直线k与抛物线C交于M,

N两点，直线G与抛物线C交于P，。两点，与AFPQ的面积相等，求实数

。的取值范围.

37.甲、乙两人进行乒乓球比赛，两人约定打满2卜+1(卜€'*)局，赢的局数多者获得

最终胜利，已知甲赢得单局比赛的概率为p(0<p<1),设甲获得最终胜利的概率

为纵.

(I)证明：

(口)当：<p<l时，比较以与血+i的大小，并给出相应的证明.

38.在直角坐标系x。)，中，曲线C的参数方程为为参数)，直线/的参数

方程为｛江焦产(t为参数，』<兀).

(I)若曲线C与y轴负半轴的交点在直线/上，求a；

(口)若tana=4，求曲线C上与直线/距离最大的点的坐标.

39.已知函数/(x)=|x+l|+|2x-5|—7.

(I)在如图所示的网格中画出y=/(x)的图象；

(口)若当》<1时，f(x)>f(x+a)恒成立，求a

的取值范围.

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40.在①=b4+20,②%=b2>③S3=5b4+4这三个条件中任选一个，补充在下

面的问题中并解答.

已知数列｛怎｝为正项递增等比数列，其前〃项和为5.,｛刈｝为等差数列，且2b2="-

1,b=3/?2>。2=坛，_________，求数列.｝的前〃项和7.

z°nLO93a2n+in

41.已知函数/'(x)=sinxcos(^x+

(1)求/'(x)的单调增区间；

(2)44BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A锐角，若/⑷=一乎,

a=V5.b+c=3,求△ABC的面积.

42.如图，四棱柱力BCD的底面为菱形,M为BBi中点，

N为A4中点，P为/Ci中点.

(1)证明：直线PN〃平面AMD；

(2)若，平面ABCD,AB=2,AAr=4,乙BAD=60°,求

平面AMD与平面PM%所成的锐二面角的余弦值.

43.第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京举

行实践“绿色奥运、科技奥运、人文奥运”理念，举办一届“有特色、高水平”的

奥运会，是中国和北京的庄严承诺，也是全世界的共同期待.为宣传北京冬奥会，

激发人们参与冬奥会的热情，某市开展了关于冬奥知识的有奖问答.从参与的人中

随机抽取100人，得分情况如图：

(I)得分在80分以上称为“优秀成绩”，从抽取的100人中任取2人，记“优秀

成绩”的人数为X,求X的分布列及数学期望；

(n)由直方图可以认为，问卷成绩值丫服从正态分布可(出。2),其中〃近似为样本平

均数，d近似为样本方差.

①求P(77.2<y<89.4)；

②用所抽取100人样本的成绩去估计城市总体，从城市总人口中随机抽出2000人，

记Z表示这2000人中分数值位于区间(77.2,89.4)的人数，利用①的结果求E(Z).

参考数据：V150«12.2，V146«12.1,<丫<〃+c)=0.6826,P(〃一

2a<Y<n+2a)=0.9544,P(〃-3c<Y<〃+3c)=0.9974.

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0.033!

44.过双曲线r：5-5=l(a>0,b>0)左焦点&的动直线/与厂的左支交于A,B两

点，设厂的右焦点为「2.

(1)若三角形4BF2可以是边长为4的正三角形，求此时『的标准方程；

(2)若存在直线/,使得4尸2,8尸2,求r离心率的取值范围.

45.已知f(%)=+(2Q-l)e%—%,。为常数.

(1)讨论f(%)的单调性；

(2)若%>0时，f(x)>(3a-l)cosx恒成立，求实数a的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：因为集合M={x|3x2-4x-4<0}={x|(x-2)(3%+2)<0}={x|-1<

x<2],

又N-{y\\y-1|<1]={y|0<y<2},

由集合交集的定义可知，Mn/V=[0,2).

故选：A.

先分别求出集合A,B,然后利用集合交集的定义求解即可.

本题考查了集合交集的运算，解题的关键是掌握集合交集的定义，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：因为忆-2|=1,所以z在复平面内所对应的点Z到点(2,0)的距离为1,

所以点Z的轨迹为以(2,0)为圆心，1为半径的圆，

所以|z|的取值范围为[1,3],

则|z|的最大值为3.

故选：C.

利用复数的几何意义得到，点Z的轨迹为以(2,0)为圆心，1为半径的圆，分析即可求得

答案.

本题考查了复数几何意义的理解和模的运算，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：丫V2>l.log^<log^l=0,0<(|)4<1,

­­a>c>b.

故选：B.

可得出好>1,然后即可得出a,b,C的大小关系.

本题考查了对数函数和易函数的单调性,增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：1•1a2am=a6an,礴=a6a10,公比q>1,

二由等比数列的性质可得：m=8,n=4,

m+n=12,

故选：C.

由题设利用等比数列的性质求得加，〃的值，即可得到正确选项.

本题主要考查等比数列性质的应用，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：根据题意，f(x)=sinx-ln|x|,其定义域为{x|xH0},

有f(-x)=sin(-x)•ln|-x|=-sinx•ln|x|=即函数/(x)为奇函数，其图像关

于原点对称，排除CD,

在区间(0,1)上，sinx>0,ln|x|<0,则/1(x)<0,函数图像在x轴的下方，排除8,

故选：4.

根据题意，先分析函数的奇偶性排除8,再分析函数在(0,1)上的符号，排除B,即可

得答案.

本题考查函数的图像分析,涉及函数的奇偶性的判断以及函数符号的分析，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：向量五=(l,x),方=(0,2)，

则叫=悬=f，当XW0时，言30，

22

当x>0EI寸，当且仅当x=l时，取等号，

所以卷的最大值为：1.

故选：D.

利用已知条件推出所求表达式，然后求解最大值即可.

本题考查向量的数量积的求法，函数的最值的求法，是中档题.

7.【答案】B

【解析】解：根据题意，分2步进行分析：

①先将5人分成3组，要求甲乙在同一组，

若甲乙两人一组，将其他三人分成2组即可，有废种分组方法,

若甲乙两人与另外一人在同一组，有废种分组方法，

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则有盘+Cl=6种分组方法；

②将分好的三组全排列，对应A、B、C三个小区，有用=6种情况，

则有6x6=36种不同的派遣方案.

故选：B.

根据题意，分2步进行分析：①先将5人分成3组，要求甲乙在同一组，②将分好的

三组全排列，对应A、8、C三个小区，由分步计数原理计算可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：由约束条件作出可行域如图,

由2=。％+丫，得丫=一4尤+2,由图可知，当直线丫=一(1刀+2过4(0,2)时，

直线在y轴上的截距最大，Z有最大值为2.

故选：D.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最

优解的坐标代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.

9.【答案】A

【解析】解：由曲线y=V—由+4X-3,得(x-2)2+y2=i(yN0),是以(2,0)为圆

心半径为1的上半个圆，

直线kx—y+k-1=0过点如图，

过。(一1,一1)与4(1,0)两点的直线的斜率k=答=|；

设过(一1,一1)且与圆(x—2)2+y2=1相切的直线方程为y+i=卜(％+1),

即fcc—y+/c—1=0.

由地詈*=1,解得k=0或k=2

Vl+k24

・,.要使曲线y=V—%2+4%-3与直线1%—y+k—1=0有两个不同的交点,

则实数比的取值范围是：E，》.

故选:A.

化简切线方程，判断轨迹图形，直线kx-y+k-l=0恒过的定点，画出图形，求解

两点的直线的斜率及过定点与半圆相切的直线的斜率，数形结合得答案.

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

10.【答案】B

【解析】解：•.・函数f(x)=sin(3x+93>0)在6,兀)上单调，.•1•生之兀―3,二0<

0)<2.

且在(0尚)上存在极值点,

、「/c.江一，九、

当1,》€(0々)时-，wx+37T+7TCOTT+Tl〜7Tco>-1.

JJJJJ/

则3的取值范围为G，2],

故选：B.

由题意利用正弦函数的单调性和极值，求得3的取值范围.

本题主要考查正弦函数的单调性和极值，属于中档题.

11.【答案】B

“zD

【解析】解：以48的中点。为坐标原点，

建立空间直角坐标系如图所示，\

则。(0,0,0),4(一1,0,0),8(1,0,0),“/_/\

A弋———0厅——了

第14页，共

C

C(0,—\/3,0)，0(0,一泉竽)，

因为|西+|而|=竽>48=2,

故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，

所以2a=辿，2c=2,解得a=*,b=更，

333

%2y2

所以点P的轨迹方程为=1，

33

91

设P(而s沅仇行cos仇0)(0<0<2TT),

则|PD『=(专sin。)?+(当cos。+挣+(一怜2

102

=—+sin720+-cos0

33

=——cos20+-cosO,

33

令t=cos。,则tG[-1,1],

所以f(t)=B—t2+|t,则-⑷=-2t+|,令人t)=o,解得t=[,

当te[一1,$时，f(t)>0,则f(t)单调递增，

当te(1,1]时，f'(t)<o,则/(t)单调递减，

所以当"轲，/(t)取得最大值学

故的最大值为亚.

3

故选：B.

建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，利用椭圆的定义求出点P的轨迹方程，设

P(^=sine,^cose,0X0<e<2n),然后表示出|PD|2,再利用换元法，然后利用导数求

解最值即可.

本题考查了空间中线段最值的求解，考查了动点轨迹方程的求解，三角代换的应用以及

导数求解最值的应用，综合性强,涉及知识点多，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，

属于难题.

12.【答案】C

【解析】解：由题意可得渐近线/的方程为bx-ay=0,

煞一"。，可得必令

由

5LBF=2AB,即而=2放，

又F(c,O),

.ca?>ab

即有B(土,立)，

'1+21+2，

将B的坐标代入双曲线的方程，可得(学)2-6)2=1，

由e=3,可得©+刍2—层)2=1,

解得e=V5>

故选：C.

由题意可得/的方程为bx—ay=0,与直线。久+by—ac=0联立，解得A的坐标，再

由而=2瓦5,求得8的坐标，代入双曲线的方程，结合离心率公式，解方程可得所求

值.

本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题.

13.【答案】B

【解析】解：4={x|lV%<3},B={x\2x>3}={x\x>

■­AOB=(|,3).

故选：B.

可求出集合A,B,然后进行交集的运算即可.

本题考查了集合的描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性,

考查了计算能力，属于基础题.

14.【答案】A

【解析】解：二项式(x—的展开式的通项公式为G+i='(-l)r=Cl-

(-l)rx6-r,

所以(％+：)(x-I/的展开式中含/的项为：

%•C^(-l)4x2+:-C^(-l)2x4=15x3+30x3=45x3,

所以含炉项的系数为45,

故选：A.

先求出(x-1)6的展开式的通项公式，进而可以求出含式的项，由此即可求解.

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题.

15.【答案】B

第16页，共36页

【解析】解：••・等差数列｛斯｝的前〃项和为Sn，510=20,520=30,

由等差数列的性质得S10,S20-S10,S30-S20成等差数列，

20,10,$30—30成等差数列，

:.2x10=20+S30—30,

解得S30=30.

故选：B.

由等差数列的性质得Si。，S20-S10,530-$20成等差数列，由此能求出S3。.

本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学

核心素养，是基础题.

16.【答案】D

【解析】解：椭圆J+9=1的一个焦点为F（不妨

为左焦点），则对于椭圆上两动点A,B,如图：F'

为右焦点，

可得|4B|+\AF\+\BF\<\AF'\+\BF'\+\AF\+

\BF\=4a=8,当且仅当AB经过椭圆的右焦点时,

三角形的周长取得最大值.

故选：D.

利用椭圆的定义，结合三角形的边长关系，推出结果即可.

本题考查椭圆的定义的应用，简单性质的应用，是基础题.

17.【答案】C

【解析】解：：<泄，得不出。3>/,比如。=一1,b=i,四错误；

*>a出力>亦o<|a|<IW，得不出2a<2%比如，a=-3,b=-4,错

误；

由仇。2>2球）2得,同>网>0,2⑷>2回，；.c正确；

tana>tanb得不出Q>b,比如a=三力=兀+E错误.

36

故选：C.

对于选项A,a=—1,b=l时，得不出a，>川；对于选项8,a=—3,b=—4时，得

不出2a<2%对于选项C,可得出|a|>|b|,从而得出21al>2由，即C正确；对于选

项O,Q=g,b=g+7r时，得不出Q>b.

3o

本题考查了不等式的性质，举反例说明不等式不成立的方法，指数函数的单调性，考查

了计算能力，属于基础题.

18.【答案】C

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于Af(g(x))，有(-x))=/(g(x))，则函数/(g(x))是偶函数，不符合题意；

对于8,affix')),有g(7(-x))==g(/(x)),则函数g(7(%))是偶函数，不符

合题意；

对于C，/W))，有/(/(一万))=/(—/(x))=-f(f(x))，则函数/X/(x))为奇函数，符

合题意，

对于£),g(g(x)),有g(g(-x))=g(g(x)),则函数g(g(x))是偶函数，不符合题意；

故选：C.

根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案.

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数奇偶性的定义，属于基础题.

19.【答案】D

【解析】解：设摊主4月底手中现款为由=(1+20%)x8000-800=8800,

"月月底摊主手中的现款为与，

n+1月月底摊主手中的现款为曲+1，

则£1计1=(1+20%)cin—800=1.2un—800,

所以即+i-4000=1.2(an-4000),

,On+i-4000_

}1.2,

“乂an-4000-

所以｛即-4000｝是首项为4800,公比为1.2的等比数列，

从4月初到3月底共12个月，即为-4000=4800x1.211,

所以a”=4800x7.5+4000=40000,

故该摊主的年所得收入为40000-8000=32000元.

故选：D.

设摊主4月底手中现款为由,〃月月底摊主手中的现款为a”，n+1月月底摊主手中的现

款为an+i,则可得到册与而+1之间的关系，构造新数列｛5-4000｝成等比数歹U，求解与,

即可得到答案.

第18页，共36页

本题考查了数列在实际生活中的应用，考查了等比数列定义以及通项公式的运用，递推

公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

20.【答案】C

【解析】解：AB=4,AC=6,BC=5,

由余弦定理得cos4=胃翳=白，

AB-AC=6x4x—=—,

162

因为而=AAB+nAC，

所以荏-AO=AAB2+fiAB-AC=16A+flAB-AC=16A+^,

因为点。为AABC的外心，AB-AO=\AB\\AO\cos^BAO=1\AB\2=8,

同理同■AC=AAB-AC+nAC2=^+36n=18,

解得4==

则4+〃=?.

故选：C.

由已知结合三角形外心性质及向量数量积的性质，利用平面向量基本定理即可求解.

本题主要考查了向量数量积的性质，还考查了三角形外心的性质，属于中档题.

21.【答案】ABC

【解析】解：对于4由等可能事件概率性质得四人中奖概率与抽取顺序无关，故A正

确；

对于8,在甲未中奖的条件下，乙和丙中奖的概率都是方

故乙或丙中奖的概率为抖；|,故B正确；

对于C,事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖不能同时发生，是互斥事件，故C正确；

对于Q，事件甲是否中奖影响到事件乙是否中奖，不是互相独立事件，故。错误.

故选：ABC.

利用等可能事件概率性质判断A；利用互斥事件概率加法公式判断8；利用互斥事件定

义判断C；利用相互独立事件定义判断D.

本题考查命题真假的判断，考查等可能事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式、互

斥事件、相互独立事件等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题.

22.【答案】CO

(解析]解:•:a为第一象限角,0为第三象限角,且sin(a+》=|〈争二a+襄或.),

:.cos(a+g)=-Ji-sin2(a+1)=一%

•••cosQ?-9=一募，•••/?—g可能是第三象限角，也可能是第二象限角，

当S-5是第三象限角时，sin(S-勺=-|l-cos2(/?-^)=-4

33,\1313

故cos(a+0)=cos[(a+$+(/?-=cos(a+9cos(0一§-sin(a+g)sin(/?-今

、、

_——4•,।1—2—j——3•।/——5j—63•

5k13y5'13y65'

当夕一g是第二象限角时，sin(£—勺=|l-cos2(/?-^)=^,

J3AI313

故cos(a+0)=cos[(a+$+(/?-=cos(a+9cos(/?-^)-sin(a+$sin(/?-§

4,12、3,5、33

I—,i-i■•

5'13，5"3，65,

故选：CD.

由题意利用同角三角函数的基本关系式，求得cos(a+》和sin(£一》的值，再利用两角

和的余弦公式，求得cos(a+/?)=cos[(a+|)+(0—今]的值.

本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角和的余弦公式的应用，属于中档题.

23.【答案】ABD

【解析】解：如图以长方体的顶点构成四棱锥P-4BCD.

从图中可知四棱锥四个侧面都是直角三角形，・•.4对;

设平面PAB与平面PCD的交线/,•••AB〃平面PCD,1//AB,同理2〃CD,二B对；

只有正四棱锥才有内切球，・•.（：错；

该四棱锥一定有外接球，球心在过矩形对角线交点且与矩形所在平面垂直的垂线上,二D

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对.

故选：ABD.

以长方体的五个顶点构成四棱锥可解决此题.

本题考查棱锥结构特征，考查空间想象能力，属于中档题.

24.【答案】AC

【解析】解：/(—X)=2|sin(—x)|—cos(—x)=2\sinx\—cosx=/(x),

:./(%)=2\sinx\—cosx为偶函数，

又f(x+2兀)=2|sin(x+2n)\—cos(x+2TT)=2\sinx\—cosx=fix'),

•••f(x)的周期为2TT,

当xG［0,兀］时，/(x)=2sinx—cosx,f(x)=2cosx+sinx,

令/''(x)—0,得tanx——2,x=n—arctan2,

当xe［0,7r—arctan2］时,/''(x)>0,f(x)单调递增,当x6［兀-arctan2,7i］时,/'(x)<0,

/(x)单调递减，

又f(0)=—1，=1，作出f(x)=2\sinx\—cosx的图象,

由图可知，对称轴为％=上兀，kez,故A正确，

最小值为1,故B错误;

一个极小值为1,故C正确；

/'(X)的周期为2兀，故。错误，

故选：AC.

依题意可知f(x)=2|s讥用-cosx为周期为27r的偶函数，作出其图象，即可得到答案.

本题考查三角函数的周期性、对称性、单调性、极值等性质，考查数形结合思想及数学

运算能力，属于中档题.

25.【答案】，

【解析】解：要求每名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课，

某班有50名学生，选择音乐的有21人，选择美术的有39人，

二两种兴趣班都选择的学生人数为：21+39-50=10,

从全班学生中随机抽取一人，

这个人两种兴趣班都选择的概率是P=^=：.

故答案为：

先求出两种兴趣班都选择的学生人数，利用古典概型能求出从全班学生中随机抽取一人,

这个人两种兴趣班都选择的概率.

本题考查概率的运算，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，

是基础题.

26.【答案】4

【解析】解：球的表面积为100兀，可得球的半径为凡4nR2=IOOTT,解得R=5,

一个平面截该球得到截面圆直径为6,则截面圆的半径为3,

所以球心到这个平面的距离为：府』=4.

故答案为:4.

求出球的半径，截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心到这个平面的距离.

本题考查球的表面积的求法与应用，点线面距离的求法，是基础题.

27.【答案】2

【解析】解:等差数列｛%｝中,的+

$6=615d=0,a7=+6d=7,

解得d=2,%=-5,

故=2n—7,

设t=2m—3,«2-1且1为奇数），

等迎=2r5）=（12）为数列中的项，则能被整除，

（咒？厂=t+|_6f8

CLm+22m—3tt

则£=1时，m=2,t+—6=3,符合题意；

当t=-l时，m=1,t+g-6=-15不符合题意，

第22页，共36页

故m=2.

故答案为：2.

由已知结合等差数列的通项公式及求和公式求出d,%,进而求出与，代入到所求式子

分析式子特点进行分析即可求解.

本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式，还考查了考生的逻辑推理的能力，属

于中档题.

28.【答案】①②③

【解析】解:对于①，令g(x)=e"(*),xG(0,4-oo),

则g'(x)=ex(J(x)+f(x)),

因为f(x)+f'(x)<0，

所以g'(x)<0,所以g(x)在(0,+8)上单调递减，

因为上<%2,所以9。1)>9。2)，即靖1/(打)>〃2/(尤2),即/Qi)>口2-”建(%2),故

①正确；

对于②，因为/Q)>0,f(x)+f(x)<0,

所以/'(x)<0,所以f(x)单调递减，

因为0<小<1<&，所以/。2)<，(X1)，所以<*27(41)，故②正确；

x

对于③，由①分析可知/(%i)>e^f(x2),

因为0<X]<1<X?.且—1,

欲使>x2/(x2),Wx1x2/(x1)>xf/(x2),>xf/(x2)>

只需e&W>据即可,即证%2-->2lnx2,

设九(无)=x-：-2lnx,x>1,

则"⑶=1+/一；任等>0,则/i(x)在(1,+8)单调递增，

所以九(盼>九(1)=0,

即如一击>21眸>0,故③正确；

对于④，假设/'(X2)>(1-%)/(打)成立，

因为>e^/(x2),

,

所以e'L可(%[)>f(x2),所以e'L看>l—x1

取*1=；，则e号>工，所以£<2，矛盾，故④不正确.

N2

故答案为：①②③.

令g(x)=eV(x).利用导数可得g(x)的单调性，从而可判断①；由已知可得/'(X)<0,

从而可知f(x)的单调性，再利用不等式的基本性质即可判断②；分析可得欲使X"(X1)>

11

xf(x2),即证%2>2lnx令九(%)=x----2lnx%>1,利用导数证得九(%)>0,

2必2fxr

即可判断③；假设/。2)>(1-/)/(巧)成立，推出矛盾即可判断④.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，不等式比较大小，考查转化思想与逻辑推理

能力，属于难题.

29.【答案】2V2

【解析】解：由已知可得Z2=i,Zi=i,(遮+i)=—1+8i，

所以%+z2|=|(V3+i)+(-l+V3i)|

=^(V3—l)2+(V3+I)2=V8=2五'

故答案为：22.

由已知先求出Z2,再根据模的运算公式即可求解.

本题考查了复数的运算性质以及模的运算公式，考查了学生的运算能力，属于基础题.

30.【答案】117T

【解析】解：圆台下底半径为2,上底半径为1,母线长为2,

所以圆台的表面积为：

S=兀(/?2+r2+/?Z+ri')=TT(22+12+2X2+1X2)=117r.

故答案为：Um

根据圆台的表面积公式计算即可.

本题考查了圆台的表面积计算问题，是基础题.

31.【答案】3

【解析】解：|4/|=2,\BF\=3,

二网=L掷=5

.xA_XA_1

••西一

.-P

"孙v-6'

由抛物线的定义知，|4F|=/+§=2+?=§=2,

ZoZ3

p—3.

第24页，共36页

故答案为：3.

由题意知，霁1=摆=£，再结合抛物线的定义，得解.

\0F\\AF\3

本题考查抛物线的定义与几何性质，考查数形结合思想和运算求解能力，属于基础题.

32.【答案】｛m|m<-2]

【解析】解：由题意可得一瓶=宝一，则加表示点(Ze?，与点(y,e2y)连线的斜率，

其中x>0,y>0,xy,

即-m表示函数y=e2x的图像在y轴右侧任意两点连线的斜率，

由函数的解析式可得：y'=2e2x,

故函数在x=0处切线的斜率为k=y'|x=o=2e2x0=2,

考查临界条件，可知一m22,则，"的取值范围是｛m|ni<-2｝.

故答案为：｛m|m<-2｝.

首先将问题转化为斜率的问题，然后结合临界条件即可求得实数m的取值范围.

本题主要考查斜率公式的应用，等价转化的数学思想，导数的几何意义等知识，意在考

查学生的转化能力和计算求解能力.

33.【答案】解:(/)因为bsinC+asinA=bsinB+csinC,

由正弦定理得be=b2+c2-a2,

由余弦定理得cosA=匕*=L

2bc2

由A为三角形内角得人话；

(〃)因为。为8c的中点，所以标=；(荏+而)，

则而2=危+於2+2福码，

因为c=2,AD=V13.

所以13=X4+b2-2x28x》,

整理得炉+2b-48=0,

解得b=6,b=-8（舍），

由余弦定理得a2=36+4-2x6x2x|=28,

故a=2V7.

【解析】(/)由已知结合正弦定理进行化简，然后结合余弦定理即可求解cosA,进而可

求A；

(〃)由同=l(AB+AC),然后结合向量数量积性质及余弦定理可求.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，向量数量积的性质在求解三角形中的应用，属于

中档题.

34.【答案】(I)证明：在等腰梯形ABC。中，AD=DC,所以4c=WC4

XzDC/1=ACAB,^DAB=/.ABC=60°,

所以4C48=30。，所以4BC4=90。，故AC1BC,

因为四边形ACE尸是矩形，故ACLEC,

又ECCBC=C,EC,BCu平面ECB,

所以4c_L平面ECB,又EBu平面ECB,

所以力C1EB；

(H)解：由条件可知，CA,CB,CE两两垂直,故以点C为坐标原点，建立空间直角坐

标系如图所示，

设CE=BC=2,则B(0,2,0),0(75,-1,0),

F(2V3,0,2),F(0,0,2),

所以前=(V3,-3,0),BF=(2V3,-2,2),

设平面FBD的法向量为有=(x,y,z),

则有巴.理二°,即17r3”。,

令y=l,则％=我/=一2,故元=

(V3,l,-2)，

又丽=(0,2,-1),

所以|cos(而，元＞|=繇=：,

故EB与平面所成角的正弦值为三

4

第26页，共36页

【解析】(I)利用边角关系先证明NBC4=90。，即ACLBC,结合AC1EC,可证AC_L

平面ECB,从而证明AC_LEB；

(II)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求

出平面EBO的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

本题考查了线面垂直的判定定理的应用和线面角的求解，在求解空间角的时候，一般会

建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

35.【答案】解：(1)由题意可得尸。)=伍％+1,

八1)=1,/(1)=0,

所以/(久)的图像在点4(1,/■⑴)处的切线方程为y=x-l,

设九(%)=xlnx-x+1,

则九'(%)=Inx,

令h'(x)<0,得0<%<1,/i(x)单调递减,

令九'(x)>0,得％>1,h(x)单调递增，

所以Mx)2h(1)=0,

所以xZnxNx-1,当且仅当x=1时取等号，

所以/"(%)的图像上除点A外的所有点都在这条切线上方.

(II)证明：由题知，g(x)—(^Inx+1)-sin2x-2xlnxcos2x,

所以g'(x)=2(/nx+1)-cos2x+—2[—2xlnxsin2x+(Inx+1)-cos2x]

=sin2x-C+4xZnx),

因为％€白勺，所以sin2x>0,

ue2

又由(1)知X>X-1,

所以工+4xlnx3％+4(%—1)=4%4---4>2^4%,——4=0,(两个等号不能同时成

立)，

所以g'(%)>0,

所以g(x)在上单调递增，

所以g(x)>gg)=jcosj,得证.

【解析】(I)由题意可得/'(x)="x+l,由导数的几何意义可得k纣=1(1),进而可

得/'(%)的图像在点4(1,/(1))处的切线方程为y=x-l,设九(x)=xlnx-x+1,接下

来证明/i(x)20,即可.

(II)求导得g'(x)=sin2x,(：+4也nx),分析g'(x)的正负，得g(x)单调性，即可得出答

案.

本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、