2023年北京高考理科数学试卷含答案

2023北京理

一、选择题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.集合4={x||x|<2},B={-2,0,1,2),则4n8=

A.{0,1)B.{-L0,1)C.(-2,0,1,2)D.{-1,0,1,2)

【解析】因|x|V2,故一2VxV2,因此ACB={-2,0,1,2}D(-2,2)={0,1},选A.

2.在复平面内，复数」-的共甄复数对应的点位于

1-i

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

11+i111111

【解析】口=亍=2+习，其共扼复数为『0对应的点为如一亦应选D.

3.执行如以下图的程序框图，输出的S值为

1577

2B-6C-6D-Ti

11

【解析】初始化数值k=1,S=l,循环结果执行如下：第一次：S=l+(—1)/2-2丁22》3不成

1155

立；其次次；S='+(—1)2•十gk=323成立，循环完毕，输出S=彳，应选B.

4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堵最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论

的进展做出了重要奉献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第

二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于口6.假设第一个单音的频率为

/，则第八个单音的频率为

A.yfifB.运力c.'我fD

【解析】从其次个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12正，第一个单

音的频率为/.由等比数列的定义知，这十三个单音的频率构成一个首项为/,公比为I、「的等比数

列，记为｛aj.则第八个单音频率为。8=/('的8-»=1、厂

2if.5.某四棱锥的三视图如以下图，在此四棱锥的侧面中，直

A.1B.2C.3D.4

【解析】在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P—A8CD,如图，由图可知在此四棱锥

的侧面中，直角三角形的个数为3,是△P4D,△PCD,△R48.

6.设a,b均为单位向量，则"|a—3bl=|3a+b|"是"a_Lb"的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】山一3h|=|3a+b|<=>|a―3l|2=|3a+b|20a2—6a9b2=9a2+6a・b+b2,因a,b均为单位向

量，故a・b=0,即a，b,即“|a—3bl=|3a+b|”是“a，b”的充分必要条件.选

C.7.在平面直角坐标系中，记d为点P(cos。，sin。)到直线x-my—2=0的距离，当仇m变化

时，d的最大值为

A.1B.2C.3D.4

【解析】因cos20+sin20=l,故P为单位圆上一点，而直线x—my—2=0过点4(2,0),故d的最

大值为04+1=2+1=3,选C.

8.设集合4=｛(x,y)\x—y^l,ax+y>4,x—ay^2),贝ij

A.对任意实数a,(2,l)e4B.对任意实数a,(2,1)4

3

C.当且仅当aVO时，(2,1界4D(2,1)知

［解析］假设(2,1)(2,1)

设A,则a>£且心0,即假G4,则。弓，此命题的逆否命题为：假设a*2，

则有(2,1派4,应选D.

二、填空题共6小题，每题5分，共30分。

9.设｛4｝是等差数列，且4=3,。2+。5=36,则｛4｝的通项公式为.

【解析】设等差数列的公差为d,因4=3,且。2+。5=2q+5d=36,故d=6,故an=3+(n-l>6

—6n—3.

10.在极坐标系中，直线pcose+psine=Q(Q>0)与圆2=2cos。相切，则Q=.

【解析】因p2=x?+y2,x=pco$仇y=psin仇由，cose+〃sin6=Q(Q>0)得，x+y=Q(Q>0)，由p

=2cos9得，p2=2〃cos仇即x2+y2=2x,即(x—1)2+y=1,因直线与圆相切，故1—Q|/、R=1,故

0=1±W，因Q>0,故Q=1+*.

兀

11.设函数/(X)=COS(0X0>0).假设对任意的实数X都成立，则0的最小值为.

一71一

艮x)Wf-6)((J

nnitneo

【解析】由于对任意的实数都有外)勺⑷成立，故当x=/寸，函数/U)有最大值，故人了)=1,~

it22

d=2/or(k£Z),故口=8k+g(k£Z),又切>0,故明1而=不

12.假设x,y满足x+lWy〈2x,则2y—x的最小值是.

［y=x+l,

【解析】作可行域，如图，由］=2x,得交点坐标为(1,2),则直线z=2y-x过点4(1，2)时，

取最小值3.

13.能说明“假设/(x)>/(0)对任意的xG(0,2］都成立，则/U)在［0,2］上是增函数”为假命题的一

个函数是.

【解析】令=,则/(x)>/(0)对任意的xd(o,2］都成立，但/(x)在［0,2］上不是增

函数.又如,令人x)=sinx,则<0)=0,段)>式0)对任意的XO(0,2］都成立,但贝X)在［0,2］上不是

增函数.

14.椭圆M：-£及l(a>b>0),双曲线N：假设双曲线N的两条渐近线与椭圆M

02b2m2H2

的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为.

【解析】设椭圆的右焦点为F(c,0),双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A,由题

(CC23C2

意可知AW，2),由点A在椭圆M上得，4^+-=1，故b2c：+3a2c2=4a2b2,因b2=a2—c2,

故(cn—C2)a+3a2c2=4a2(cn—c2),则4a4—8a2c2+c4=0,e4—8e2+4=0,故e2=4+2#(舍)，e2=4

一2木.由0<e<l,得e=5—1.

三、解答题共6小题，共80分。解同意写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.在中，a=7,。=8,cos

15—一丁

(I)求乙4;

(H)求SC边上的高.

1_______4.J3tfsinB

【解析】(1)在ZVIBC中，由于cos8=—],所以sin—cos2B=7•由正弦定理得sin/=—%—

,/37tnit

=2•由题设知于所以0</4<干所以

(2)在△/BC中，由于sinC=sin(4+B)=sin/cosB+cos/sin\TsinC

所以AC边上的高为a

16.如图，在三棱柱中，CCJ平面力BGD,E,F,G分别为44『AC,4C,.BB1

的甲点，Z8=8C=y,AC=AA1=2.

(1)求证：力C_L平面BEF；

(2)求二面角B-CD-C,的余弦值；

(3)证明：直线FG与平面BQ)相交.

【解析】⑴证明在三棱柱ABC-A^q中，因CCJ平面ABC,故四边

形//CG为矩形.又E,尸分别为/C,4]G的中点，故“C_LEE因/B=BC,故/C_LBE.又

EFC\BE=E,故SC_L平面BEF.

(2)解由(1)知/C_LEF,ACLBE,EF〃CC、,又CCJ平面/BC,故EF1•平面/BC,因BE平

面故EFLBE.如图建立空间直角坐标系七一个中由题意得8(0,2,0),0(一1,0,0),以1,

0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).

fn-0»

—>—>

则〈BC=

故BC=(T,-2,°),BD=(1.-2.1).设平面BCD的法向量为n-q),

I-

ln.BD=0,

(x+27=0,

即，。。令)=-1,则x=2,芸=-4.于是n=(2,-1,-4).又平面的法向量

、[x0—2%+边=0.一。0

—>

—>-►n-_

为EB=(0,2,0),故cos<n,EB')=_段__0.由题知二面角B-CD-C为钝角，故其余

一—21।

InllHBI

弦值为w.

21

—>—>

(3)证明由(2)知平面8C£)的法向量为n=(2,-1,-4),FG=(O,2,-1).因“人7=2X0+(一

1)X2+(-4)X(-1)=2/0,故直线FG与平面BCD相交.

17.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型第一类其次类第：类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率0.40.20.150.250.20.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比

值.假设全部电影是否获得好评相互独立.

⑴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

⑵从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估量恰有1部获得好评的概率；

⑶假设每类电影得到人们宠爱的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“4=1”表示第2类电

影得到人们宠爱，“点=0”表示第k类电影没有得到人们宠爱优=1,2,3,4,5,6).写出方差

£>脩),£>©),。片J，叫)，哪)，。备)的大小关系.

【解】⑴由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,第四类电影

50

中获得好评的电影部数是200x0.25=50.故所求概率为=0.025.

2000

⑵设大事4为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，大事B为“从第五类电影中随机选出

的电影获得好评故所求概率为P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)^-P(B))+(1由

题意知：凡4)估量为0.25,P(B)估量为0.2.故所求概率估量为0.25x0.8+0.75x0.2=0.35.

(3)由题意可知，定义随机变量如下：《=|°'第"类电影没有得到人们宠爱'则E明显听从两点分

k[1,第4类电影得到人们宠爱，&

布，故。(。)=0.4x(1—0.4)=0.24,。(或)=0.2x(1-0.2)=0.16,D(c3)=0.15x(1-0.15)

=0.1275,D图=0.25x(1-0.25)=0.1875,。喝)=0.2x(—0.2)=0.16,%)=0.1*(1

-0.1)=0.09.

综上所述,。侑)>%)>£>©)=%)>。仁J>%).

18.设函数J[x}=[ar2—(4a+1)x+4a+3]e.r.

(I)假设曲线y=yw在点(1,w))处的切线与轴平行，求“；

(II)假设_/(x)在x=2处取得微小值，求a的取值范围.

【解析】(])因./(刀尸⑷?一(4a+1)x+4a+3]e、，故/'(x)=[2at—(44+1)]e.r+[am—(4〃+1)x+4a+3]

ex(xeR)=[o«—(2“+1)x+2]er.广(l)=(1-a)e.由题设知广⑴=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此

时/⑴=3eW0.故a的值为1.

11

(H)由(1)得/a)=[ax2-(2a+1)x+2]e、=(ar-1)(x-2)e\.假设则当2)时，/((x)<0；

1

当XG(2,+oo)时，/(x)>0.故y(x)V0在x=2处取得微小值.假设a%e(0,2)时，x-2

则当

1N

<0,ax-1-KO,故/(x)>0.故2不是/(x)的微小值点.

综上可知，。的取值范围是00).

(2'+

19.抛物线C：y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线/与抛物线C有两个不同的交点

A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.

⑴求直线/的斜率的取值范围；

⑵设。为原点，_=2_，11

QMQOQNQ0,求证：”啰定值.

【解析】⑴因抛物线*=2px过点(1,2),故2P=4,即p=2.故抛物线C的方程为*=4x.由题

意知，直线/的斜率存在且不为0.设直线/的方程为y=kx+Uk/O).由尸"八'得k2x2+(2k-4)x

[y=Ax+1

+1=0,依题意A=(2A—4)2—4x31>0,解得k<1,又原0,故k<Q或0<攵<1.又PA,PB与

y轴相交，故直线/不过点(1,-2).从而后一3.故直线I斜率的取值范围是(一8,—3)U(—3,

0)U(0,1).

⑵证明设A(x,y),B(x,y).由⑴知x+x2k—4xx=1L直线PA的方程为丁一2=乜v—二2

1'12212Q12QX—1

1

21

(x-1).令x=0,得点M的纵坐标为y--.Vi++2-~^+,2.同理得点N的纵坐标为

'M_丸一〔"一X〔rN

11

旧”.由西=)讥>,旗=〃无>得41-y/N=f.故!+3与+，^="L；.

2'MN1

2_1_2A—4

,x,_112xx—(x+x.)1孩"""韩""c故1+1=2

+___£_____=____-12_捋后/__t__=____.[=2.为定值.

(it—1)x2AT12-1

la

20.设〃为正整数，集合A={a|a=《，力…，口，4G{。，1}，&=1，2,•••,n}.对于集合A

中的任意元素a=(x,x，…，x)和0={y,y,…，y)，记M(a,⑼_x+y—\x—y|)+(x+

12«12"=2【(11112

y2-\x2—y^}-\----+%一|七一％I)].

(I)当”=3时,假设a=(1,1,0),(=(0,1,1),求M(a,a)和M(a,£)的值;

(11)当"=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素a,p,当a,/?一样时，M(a,⑶

是奇数；当a,£不同时，M(a,⑶是偶数.求集合B中元素个数的最大值;

（山）给定不小于2的n,设B是4的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素a,夕，M（«,⑼

=0.写出一个集合8,使其元素个数最多，并说明理由.

1

【解析】(I)Ha=(1>1>0),£=(0,1>1)(故M(a,a)+1—11—1|)+(1+1—11—1|)+(0