抽象函数和函数解析式

函数有关习题会合0年7月17日一、分析式的求法1.代入法f(x)2x1f(x1)，求2.待定系数法二次函数f(x)知足f(x3)f(1x)，且f(x)0的两实根平方和为10，图像过点(0,3);已知f(x)二次实函数，且f(x1)f(x1)x2+2x+43.换元法f(3x1)9x26x5，f(x)2x1,x1f(3x1)9x26x5，f(x1x314.配凑法)3xx5.消元法（结构方程组法）f(x)f(x)x1，利用函数的性质求分析式例1.已知函数yf(x)是定义在区间[3,3]上的偶函数，且x[0,3]时，f(x)x2x5222求f(x)分析式x2x5(0x3)答案：f(x)32x2x5(x0)2例2.已知y=f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)lg(x1),求f(x)解:∵f(x)为奇函数，∴f(x)的定义域对于原点对称，故先求x<0时的表达式。∵-x>0,∴f(x)lg(x1)lg(1x),∵f(x)为奇函数，∴lg(1x)f(x)f(x)∴当x<0时f(x)lg(1x)∴f(x)lg(1x),x0lg(1x),x0f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有1，求f(x),g(x).例3．一已知f(x)+g(x)x1解：∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(x)f(x),g(x)g(x),不如用-x代换f(x)+g(x)=1①中的x,x111∴f(x)g(x)即f(x)－g(x)②x1x11函数有关习题会合0年7月17日显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)1再代入①求出g(x)xx2x2117.赋值法：给自变量取特别值，进而发现规律，求出f(x)的表达式例：设f(x)的定义域为自然数集，且知足条件f(x1)f(x)f(y)xy,及f(1)=1,求f(x)解：∵f(x)的定义域为N，取y=1,则有f(x1)f(x)x1∵f(1)=1,∴f(2)=f(1)+2,f(3)f(2)3f(n)f(n1)n以上各式相加，有f(n)=1+2+3++n=n(n1)∴f(x)1x(x1),xN22二、利用函数性质，解f(x)的有关问题1.判断函数的奇偶性：例：已知f(xy)f(xy)2f(x)f(y),对一确实数x、y都建立，且f(0)0,求证f(x)为偶函数。证明：令x=0,则已知等式变成f(y)f(y)2f(0)f(y)①在①中令y=0则2f(0)=2f(0)∵f(0)≠0∴f(0)=1∴f(y)f(y)2f(y)∴f(y)f(y)∴f(x)为偶函数。2.确立参数的取值范围例：奇函数f(x)在定义域（-1，1）内递减，求知足f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围。解：由f(1m)f(1m2)0得f(1m)f(1m2)，∵f(x)为函数，∴f(1m)f(m21)11m1又∵f(x)在（-1，1）内递减，∴1m2110m11mm21作业：1.若函数f(x1)定义域为(3,4]，则函数f(x)的定义域为2.已知f(x1)x21，则f(x1)=xx23.已知f(x1)x23x4，则f(x)=4.设f(x)是定义在R上的函数，且f(x)知足f(x2)f(x)，当x[0,2]时，f(x)2xx2，求x[2,0]时f(x)的分析式2函数有关习题会合0年7月17日二、四类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数例1、已知函数f（x）对随意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。剖析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，所以求函数f（x）的值域，重点在于研究它的单一性。解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f（x）为增函数。在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2f（－1）＝－4，f（x）的值域为［－4，2］。例2、已知函数f（x）对随意，知足条件f（x）＋f（y）＝2+f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。剖析：由题设条件可猜想：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单一增函数，假如这一猜想正确，也就能够脱去不等式中的函数符号，进而可求得不等式的解。解：设，∵当，∴，则，即，∴f（x）为单一增函数。∵，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴，即，解得不等式的解为－1<a<3。2、指数函数型抽象函数例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），知足条件：存在，使得，对任何x和y，建立。求：（1）f（0）；（2）对随意值x，判断f（x）值的正负。剖析：由题设可猜想f（x）是指数函数的抽象函数，进而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。3函数有关习题会合0年7月17日解：（1）令y＝0代入，则，∴。若f（x）＝0，则对随意，有，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。（2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对随意x，f（x）＞0恒建立。3、对数函数型抽象函数例4、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单一增函数，知足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。剖析：由题设可猜想f（x）是对数函数的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2。解：（1）∵，∴f（1）＝0。（2），进而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故，解之得：8＜x≤9。4、幂函数型抽象函数例5、已知函数f（x）对随意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。1）判断f（x）的奇偶性；2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单一性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。剖析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，进而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f