新思维系列华师大版九下数学第29章几何的回顾单元综合

第29章几何的回顾一、选择题1．在三角形中，如果有一个角等于其他两个角的和，则此三角形为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形2．等腰三角形的一边长是4cm，周长是14A．5cmB．C．5cm或4cm3．等腰三角形一外角为130°，它的顶角的度数为()A．50°B．20°C．50°或80°D．50°或75°4．菱形相邻两角的比为2∶1，那么它们所夹的对角线与边长的比为()A．1∶2∶3B．1∶2∶1C．1∶∶2D．1∶∶15．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是正方形，则原四边形的对角线满足的条件是()A．相等B．垂直C．相等且垂直D．对角线互相平分6．锐角三角形AOB内有一点P，它关于OA，OB的对称点分别为M，N，那么△MON一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形7．如图29－174所示，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于F，则△ABF是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形8．如果平行四边形四个内角的平分线能围成一个四边形，那么这个四边形是()A．矩形B．正方形C．菱形D．等腰梯形9．顺次连接四边形ABCD各边的中点，可以得到四边形EFGH，如果要使四边形EFGH是菱形，则还需添加的条件是()A．AD∥BCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．AD＝BC10．在四边形内找一点，可使该点到各边的距离相等的图形是()A．平行四边形、矩形、菱形B．菱形、矩形、正方形C．矩形、正方形D．菱形、正方形二、填空题11．在△ABC中，∠A－∠C＝25°，∠B－∠A＝10°，则∠B＝．12．等腰三角形一底角为30°，底边长是2cm，则这个等腰三角形的腰长为．13．若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为．14．等腰三角形一腰上的中线分三角形的周长为6cm和15cm两部分，则它的腰长为15．到三角形三边所在直线距离相等的点有个．16．菱形ABCD的边长为6cm，∠ABC＝60°，则S菱形＝17．已知梯形的上底为2a，下底为418．等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别是15，49，则它的腰长为．三、解答题19．如图29－175所示，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交DC于E，EF⊥AE，交BC于F，求证AE＝EF．20．顺次连接菱形各边中点所成的四边形是什么四边形?证明你得到的结论．21．如图29－176所示，折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8，BC＝10，求EC的长．22．阅读题．(1)如图29－177(1)所示，设正方形ABCD的面积为S，它的两条对角线与一组对边所围成的两个三角形面积为S1，S2，则三者之间存在的等量关系为；(2)将第(1)问中的正方形改为矩形后(如图(2)所示)，其余条件不变，则第(1)问中的等量关系是否成立?(3)将第(1)问中的正方形改为平行四边形后(如图(3)所示)，依照第(1)问写一个命题并判断真假；(不要求证明)(4)如图(4)所示，设梯形的面积为S，梯形的两条对角线互相垂直且与两底边所夹的三角形的面积分别为S1，S2，则三者之间有何等量关系?证明你的结论．23．如图29－178所示，有四个动点P，Q，E，F分别从面积为4的正方形ABCD的顶点A，B，C，D同时出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A移动．(1)求证四边形PQEF是正方形；(2)PE是否总过某一定点?说明理由；(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积有最小值?最小值是多少?24．如图29－179所示，D是△ABC的边BC上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF＝CE．(1)求证△ABC是等腰三角形；(2)当∠A＝90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．25．如图29－180所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BD，AD＝BC＝4，∠ADC＝60°，EF是中位线，EF交BD于M，交AC于N．(1)求EF的长及梯形ABCD的面积；(2)观察MN与梯形上、下底的数量关系，并思考结论能否推广到一般梯形．参考答案1．B[提示：设∠A＝∠B＋∠C，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＋∠A＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC为直角三角形．]2．C[提示：①4cm为腰长，4＋4＋x＝14，∴x=6，∴腰长为4cm，②4cm为底边长，x＋x＋4＝14，∴x＝5，∴腰长为5cm．]3．C[提示：与这个外角相邻的内角为180°－130°＝50°．①这个角为顶角；②这个角为底角时，其顶角＝180°－50°×2＝80°．∴它的顶角为50°或80°．]4．D[提示：如图29－181所示，∵∠ABC＋∠BAD＝180°，∴∠ABC＋2∠ABC＝180°，∴∠ABC＝60°．在菱形ABCD中，∠2＝∠ABC＝×60°＝30°，∴AO＝AB，∴BO＝AB，∴AC∶BD∶AB＝AB∶AB∶AB＝1∶∶1．]5．C[提示：对角线相等可证出菱形；对角线垂直可证出矩形．既是菱形又是矩形的四边形是正方形．]6．B[提示：OM＝OP，ON＝OP，故OM＝ON．]7．C[提示：△BDF，△ADF都是等腰三角形．]8．A[提示：利用“四个角是直角的四边形是矩形”这个判定定理来证明．]9．B10．D[提示：这个点是菱形、正方形对角线的交点，又是四个角的平分线的交点，利用角平分线定理解题．]11．75°[提示：∵∠A－∠C＝25°，∠B－∠A＝10°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝65°，∠B＝75°，∠C＝40°．]12．2cm[提示：如图29－182所示，过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴BD＝BC＝．在Rt△ABD中，＝cos30°，∴AB＝＝2(cm)．]13．35°[提示：当70°为顶角的外角时，底角为35°，若70°为底角的外角，则其底角为110°，不成立，故所求底角只能为35°．]14．10cm[提示：如图29－183所示．①＋AC＝6，＋BC＝15，解得AC＝4，BC＝13，∵4＋4＜13，∴舍去．②＋AC=15，＋BC＝6，解得AC＝10，BC＝1．]15．4[提示：本题考查三角内、外角平分线的性质定理的应用．]16．18cm2[提示：S菱形＝6×6×sin60°＝6×6×＝18(cm2)．]17．a[提示：如图29－184所示，延长FE交AB于G，易知点G是AB的中点，在△ABC中，GF＝BC＝×4a＝2a；在△ABD中，GE＝AD＝×2a＝a．∴EF＝GF－GE＝2a－a＝a．]18．34[提示：如图29－185所示．过点A作AE⊥BC交BC于E，则BE＝＝17．∵＝cos60°，∴AB＝＝34．]19．证明：在矩形ABCD中，∵BE平分∠ABC，∠CBA＝90°，∴∠CBE＝45°，BC＝CE．又∵在矩形ABCD中，BC＝AD，∴BC＝CE＝AD．∵∠D＝∠C＝90°，EF⊥AE，∴∠FEC＋∠AED＝90°．又∵∠DEA＋∠DAE＝90°，∴∠FEC＝∠EAD．∴△EFC≌△AED．∴AE＝EF．20．提示：矩形．证明略．21．解：由折叠特点，知AD＝AF＝10，DE＝EF．在Rt△ABF中，AB＝8，AF＝10，∴BF＝＝6．FC＝BC－BF＝10－6＝4，设CE＝x，则DE＝CD－CE＝8－x．又∵EF＝DE＝8－x，∴在Rt△ECF中，EF2－EC2＝CF2，即(8－x)2－x2＝42，解得x＝3．∴CE长为3．22．解：(1)(2)结论成立．(3)设平行四边形的面积为S，则(该命题为真命题)．(4)结论：证明：∵S△ABD＝S△ABC，∴S△ABD－S△AOD＝S△ABC－S△COB，∴S△AOD＝S△BOC，令S3＝S△AOD，∴S＝S1＋S2＋2S3＝S1＋S2＋2，∴．23．(1)证明：根据题意，知AP＝BQ＝CE＝DF．∵在正方形ABCD中，AB＝AD，∴AF＝PB，∴△APF≌△BQP，∴PF＝PQ，∠APF＝∠FQB．同理，PQ＝QE＝EF＝PF，∴四边形PQEF为菱形．又∵∠BPQ＋∠BQP＝90°，∴∠APF＋∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°．∴四边形PQEF为正方形．(2)解：PE总经过正方形ABCD的中心，连接AC，设PE与AC相交于点O，如图29－186所示，则△APO≌△CEO．故AO＝CO．故O是正方形ABCD的中心，∴PE过正方形ABCD的中心．(3)解：设AF＝FB＝CQ＝DE＝x，则AP＝BQ＝CE＝DF＝2－x．则四边形PQEF的面积S可用x2＋(2－x)2表示．即S＝2x2－4x＋4＝2(x－1)2＋2，故当x＝1时，面积有最小值，为2．∴当四边形PQEF的顶点位于各边中点时，其面积最小，最小面积为2．24．(1)证明：∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BFD＝∠CED＝90°．∵D是△ABC的边BC上的中点，∴BD＝CD．又∵BF＝CE，∴Rt△BFD≌Rt△CED(H．L．)．∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．(2)解：当∠A＝90°时，四边形AFDE是正方形．证明如下：∵DF⊥AB，DE⊥AC，AC⊥AB，∠A＝90°，∴∠A＝∠AFD＝∠AED＝90°，∴四边形AFDE为矩形．又∵DE＝DE，∴矩形AFDE为正方形．25．解：(1)过B作BG∥AC，交DC的延长线于G，作BH⊥CD，垂足为H．如图29－187所示，∵AB∥CD，AC∥BG，∴四边形AC