江苏省南京师大附中2022届期高三上学期期中考试数学模拟试题

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r3\hSEQMTChap\r3\h南京师大附中2022~2022学年度第一学期高三年级期中考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合A={x|0<x<2,x∈R},B={x|x2≤1},则A∩B=。2、“x=y”是“|x|=|y|”的条件。（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）3、已知。4、在复平面内，复数对应的点位于第象限。5、在等比数列{an}中，若a7a9=4,a4=1,则a12=6、已知符号函数sgnx=,则不等式（x+1）sgnx>2的解集是。7、已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,a、b之间的夹角为600，则a·(a+b)=。8、已知数列{an}的各项都为正数，它的前三项依次为1,a+1,2a+5,则数列{an}的通项公式an=。9、△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c=3,C=,a=2b,则b的值为。10、曲线在点(-1,-1)处的切线方程为。11、已知函数y=sin(ωx+ψ)(ω>0,|ψ|<π)的图像如图所示，则ψ=。12、在△OAC中，B为AC的中点，若，则x-y=。Oxy第13题图OABC第12题图xyO1-1第11题图13、定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,fOxy第13题图OABC第12题图xyO1-1第11题图14、某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种在点Pk(xk,yk)处，其中x1=1,y1=1,当k≥2时，，T(a)表示非负实数a的整数部分，例如T（）=2，T（）=0。则第2022棵树的种植点的坐标为。二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15、（本题满分14分）已知函数f(x）=2sinxcosx+cos2x,x∈R.（1）当x取何值时，f(x)取得最大值，并求其最大值。（2）若θ为锐角，且，求tanθ的值。16、（本题满分14分）如图，在三棱锥P-ABC中，E、F、G、H分别是AB、AC、PC、BC的中点且PA=PB，AC=BC。PABCPABCGFHE第16题图（2）证明：PE∥平面FGH。17、已知椭圆C：过点P（1，），且c=，定点A的坐标为（1，0）。（1）求椭圆C的方程；（2）若Q的C上的动点，求QA的最大值。18、某企业在第1年初购买价值为120万元是设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年起，每年初M的价值是上年初价值的75﹪.（1）求第n年初M的价值an的表达式；（2）设，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，求须在第几年初对M更新。19、已知函数f(x)=lnx,g(x)=-x2+ax.（1）函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内是增函数，求a的取值范围；（2）在（1）的结论下，设ψ(x)=e2x+aex,x∈[0,ln2],求函数ψ(x)的最小值。20、在数列{an}中，已知a1=p>0,且an+1·an=n2+3n+2,n∈N*.（1）若数列{an}是等差数列，求p的值；（2）求数列{an}的前n项和Sn；（3）当n≥2时，求证：。南京师大附中2022-2022学年度第1学期高三年级期中考试数学试卷答案1.（0，1]2.充分不必要3.4.四6.7.8.9.10.11.12.13.14.(1,403)15.(1)解:.∴当,即Z时,函数取得最大值,其值为.(2)∵,∴.∴.∵为锐角，即,∴.∴.∴.∴.∴.∴.∴或(不合题意,舍去).16.解：（1）证明：连接EC，又（2）连结FH，交于EC于R.连接GR.在17.解:(1)(2)设Q(m,n)则当m=-2时,18.解：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以因此，第年初，M的价值的表达式为(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得当时，当时，因为是递减数列，所以是递减数列，又所以须在第9年初对M更新．19.解：（I）依题意：在（0,+）上是增函数，对∈（0,+）恒成立，，则的取值范围是.（II）设，则函数化为，当，即时，函数在[1,2]上为增函数，当时，；当时，.综上所述：20.解：（1）设数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd．由题意得，[a1＋(n－1)d](a1＋nd)＝n2＋3n＋2对n∈N*恒成立．即d2n2＋(2a1d－d2)n＋(a12－a1d)＝n2＋3n＋2所以eq\b\lc\{(\a\al(d2＝1，,2a1d－d2＝3，,a12－a1d＝2，))即eq\b\lc\{(\a\al(d＝1，,a1＝2，))或eq\b\lc\{(\a\al(d＝－1，,a1＝－2．))因为a1＝p＞0，故p的值为2．……………………3分（2）因为an＋1an＝n2＋3n＋2＝(n＋1)(n＋2)，所以an＋2an＋1＝(n＋2)(n＋3)．所以eq\f(an＋2,an)＝eq\f(n＋3,n＋1)．……………………5分①当n为奇数，且n≥3时，eq\f(a3,a1)＝eq\f(4,2)，eq\f(a5,a3)＝eq\f(6,4)，…，eq\f(an,an－2)＝eq\f(n＋1,n－1)．相乘得eq\f(an,a1)＝eq\f(n＋1,2)，所以an＝eq\f(n＋1,2)p．当n＝1时也符合．②当n为偶数，且n≥4时，eq\f(a4,a2)＝eq\f(5,3)，eq\f(a6,a4)＝eq\f(7,5)，…，eq\f(an,an－2)＝eq\f(n＋1,n－1)．相乘得eq\f(an,a2)＝eq\f(n＋1,3)，所以an＝eq\f(n＋1,3)a2．因为a1a2＝6，所以a2＝eq\f(6,p)．所以an＝eq\f(2(n＋1),p)，当n＝2时也符合．所以数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(n＋1,2)p，(n为奇数),eq\f(2(n＋1),p)，(n为偶数)))………7分当n为偶数时，Sn＝p＋eq\f(6,p)＋2p＋eq\f(10,p)＋…＋eq\f(n,2)p＋eq\f(2(n＋1),p)＝peq\f(eq\f(n,2)(1＋eq\f(n,2)),2)＋eq\f(2,p)eq\f(eq\f(n,2)(3＋n＋1),2)＝eq\f(n(n＋2),8)p＋eq\f(n(n＋4),2p)．当n为奇数时，Sn＝p＋eq\f(6,p)＋2p＋eq\f(10,p)＋3p＋eq\f(14,p)＋…＋eq\f(2n,p)＋eq\f(n＋1,2)p＝peq\f(eq\f(n＋1,2)(1＋eq\f(n＋1,2)),2)＋eq\f(2,p)eq\f(eq\f(n－1,2)(3＋n),2)＝eq\f((n＋1)(n＋3),8)p＋eq\f((n－1)(n＋3),2p)．所以Sn＝eq\b\lc\{(\a\al(eq\f((n＋1)(n＋3),8)p＋eq\f((n－1)(n＋3),2p)，(n为奇数),eq\f(n(n＋2),8)p＋eq\f(n(n＋4),2p)，(n为偶数)．))………10分（3）当n为偶数时，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do5(i=1))eq\f(2,ai2)＝eq\f(2,a12)＋eq\f(2,a22)＋eq\f(2,a32)＋…＋eq\f(2,an－12)＋eq\f(2,an2)≥4(eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a3a4)＋…＋eq\f(1,an－1an))＝4[eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,4×5)＋…＋eq\f(1,n×(n＋1))]＞2[eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5)＋…＋eq\f(1,n×(n＋1))＋eq\f(1,(n＋1)×(n＋2))]＝2(eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2))＝eq\f(n,n＋2)．…………13分当n为奇数，且n≥2时，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do5(i=1))eq\f(2,ai2)＝eq\f(2,a12)＋eq\f(2,a22)＋eq\f(2,a32)＋…＋eq\f(2,an－12)＋eq\f(2,an2)≥4(eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a3a4)＋…＋eq\f(1,an－2an－1))＋eq\f(2,an2)＞4（eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,4×5)＋…＋eq\f(1,(n－1)×n)）＞2（eq\f(1,2×3)＋eq\f(1