浙江省温州三溪中学2022年度高二数学期中模拟试题

温州三溪中学2022年度高二数学（理科）期中(选修2-1)试题一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题有且只有一个选项是符合要求的）1．抛物线的准线方程是().Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．如果双曲线的半实轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．23．已知命题则是（）A．B．C．D．4．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，化简（）A．B．C．D．5．若原命题“”，则其逆命题．否命题．逆否命题中（）A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真6．若“”是“”的（）条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．已知向量与向量平行,则x,y的值分别是（）A.6和-10B.–6和10C.–6和-10D.6和108．已知点在平面内，并且对空间任一点，则的值为 （） A． B． C． D．9．已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为()A．B．C．D．10．在中，已知，且，则的轨迹方程是（）A．B．C．D．二．填空题：（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）11．在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为_____________．12．已知，则的最小值是．13．已知命题，，则是．14．命题“若或，则”是命题。（填“真”或“假”）15．过椭圆内一点引一条弦，使得弦被点平分，则此弦所在的直线方程为．16．在平行六面体中，，，，，则的长为．17．P是双曲线的右支上一点，．分别是圆和上的点，则的最大值为．三．解答题：（本大题共5小题，共52分。请写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤）18．（本小题10分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于．两点。（1）求证：“如果直线过点，那么”是真命题。（2）写出（1）中命题的逆命题（直线与抛物线相交于．两点为大前提），判断它是真命题还是假命题，如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例说明。19．（本小题10分）命题；命题是增函数，求实数的取值范围。20．（本小题10分）已知双曲线的中心在原点，左右焦点分别为，离心率为，且过点，（1）求此双曲线的标准方程；（2）若直线系（其中为参数）所过的定点恰在双曲线上，求证：。AABCDEFxyzP21题图21．（本小题10分）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD=1，AB=（），E，F分别CD．PB的中点。（Ⅰ）求证：EF平面PAB；，（Ⅱ）当时，求AC与平面AEF所成角的正弦值。22．（本小题满分12分）如图，线段MN的两个端点M．N分别在x轴．y轴上滑动，，点P是线段MN上一点，且，点P随线段MN的运动而变化.NxNxyOMP（2）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A．B两点，O是坐标原点，设是否存在这样的直线，使四边形的对角线相等（即）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.学校班级考号姓名__________________________学校班级考号姓名__________________________装订线一．选择题（每小题4分，共40分）12345678910二．填空题（每小题4分，共28分）11．_________12．_____________13．______________________________14．___________15．__________________16．_____________17．____________三．解答题：本大题共5小题，共52分，解答应写在相应的框内，写出文字说明．证明或演算步骤。18．（本小题10分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于．两点。（1）求证：“如果直线过点，那么”是真命题。（2）写出（1）中命题的逆命题（直线与抛物线相交于．两点为大前提），判断它是真命题还是假命题，如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例说明。19．（本小题10分）命题；是增函数，求实数的取值范围。20．（本小题10分）已知双曲线的中心在原点，左右焦点分别为，离心率为，且过点，（1）求此双曲线的标准方程；（2）若直线系（其中为参数）所过的定点恰在双曲线上，求证：。21．（本小题10分）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，（），分别是．的中点。ABCDEFxyzPABCDEFxyzP22．（本小题满分12分）如图，线段MN的两个端点M．N分别在x轴．y轴上滑动，，点P是线段MN上一点，且，点P随线段MN的运动而变化.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A．B两点，O是坐标原点，设是否存在这样的直线，使四边形的对角线相等（即）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.NNxyOMP.温州三溪中学2022年度高二数学（理科）期中(选修2-1)试题参考答案一．选择题（每小题4分，共40分）12345678910ACCADAAADB二．填空题（每小题4分，共28分）11．12．13．，使14．假15．16．17．9三．解答题：(本大题共5小题，共52分，解答应写在相应的框内，写出文字说明．证明或演算步骤)18．（本小题10分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于．两点。（1）求证：“如果直线过点，那么”是真命题。（2）写出（1）中命题的逆命题（直线与抛物线相交于．两点为大前提），判断它是真命题还是假命题，如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例说明。 证明：（1）设过点的直线交抛物线于点，，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与抛物线相交于，。----------------1分当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中由得-------------------3分又综上，“直线与抛物线相交于．两点，如果直线过点，那么”是真命题。---------------------5分（注，如果设）（2）（1）中命题的逆命题是：“直线交抛物线于．两点，如果，那么直线过点”--------------------7分该命题是个假命题。-----------------------8分例如：取抛物线上的点，直线AB的方程为，而点（3，0）不在直线AB上。--------------------10分19．（本小题10分）命题；是增函数，求实数的取值范围。解：设，由于关于的不等式对一切恒成立，所以函数的图象开口向上且与轴没有交点，故----------------2分函数是增函数，则有----------------------------4分又由于为真，为假，可知一真一假。------------------------------5分（1）若P真q假，则此不等式组无解；--------------------------------7分（2）若P假q真，则，-----------------------9分综上，所求实数a的取值范围为------------------------10分20．（本小题10分）已知双曲线的中心在原点，左右焦点分别为，离心率为，且过点，（1）求此双曲线的标准方程；（2）若直线系（其中为参数）所过的定点恰在双曲线上，求证：。解：（1）∵，∴，∴，∴，∴设双曲线方程为，∵双曲线经过，∴即，∴所求双曲线方程为。----------4分（2）∵直线系方程可化为∴直线系过定点。------------5分∵在双曲线上，∴，∴又双曲线焦点坐标为，∴-----------7分∴∴----------10分21．（本小题10分）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD=1，AB=（），E，F分别CD．PB的中点。（Ⅰ）求证：EF平面PAB；（Ⅱ）当时，求AC与平面AEF所成角的正弦值。ABCDEFABCDEFxyzPAD=1，PD=1，AB=（），则E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),.得，，。--------2分由，得，即，--------4分同理，又，---------5分所以，EF平面PAB。----------------6分（Ⅱ）解：由，得，，。有，，。---------------7分设平面AEF的法向量为，由，解得。于是。----------------8分设AC与面AEF所成的角为，与的夹角为。则。所以，AC与平面AEF所成角的大小的正弦值为-----------10分22．（本小题12分）如图，线段MN的两个端点M．N分别在x轴．y轴上滑动，，点P是线段MN上一点，且，点P随线段MN的运动而变化.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A．B两点，O是坐标原点，设是否存在这样的直线，使四边形的对角线相等（即）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.解：（1）设,P(x,y