湖北省鄂州市2022-2022学年度上学期期末考试高三数学模拟试题

鄂州市2022—2022学年度上学期期末考试高三数学（理工农医类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、学校写在答题纸的密封线内．2．选择题的每小题选出答案后，把答案代码填在答题纸前面的选择题答题表内，不能答在试卷上．3．填空题和解答题应在指定的地方作答，否则答案无效．选择题：（本大题共12个小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）1．i是虚数单位，复数eq\f(1－3i,1－i)的共轭复数为A．2＋i B．2－i C．－1＋2i D．－1－2i2．已知集合U=R，集合CUA等于A． B．C． D．3．已知命题则P为A． B．C． D．4．已知向量，且，则的最小值为A． B． C． D．15．设（其中e为自然对数的底数），则的值为A． B． C． D．6．在等差数列{an}中，若an＞0，公差d＞0，则有a4·a6＞a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn＞0，公比q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8<b5＋b7C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b7<b57．已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是A．[－1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[－1，2]8．已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为A． B． C． D．9．关于函数，以下结论正确的是A．的最小值是－2，在区间是减函数B．的一条对称轴方程为C．的图像向右平移个单位，得到的图像关于原点对称D．的最小正周期是π，在区间是增函数10．如图是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成，函数S＝S(a)(a≥0)是图形介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分面积，则函数S(a)的图形大致为SS(a)OOOOS(a)S(a)S(a)ABCD123aaaa123123123123xyO32111．若偶函数满足且时,则方程的零点个数是A．2个 B．4个 C．6个 D．8个12．已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立，且e为自然对数的底，则A． B．C． D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．若幂函数f(x)的图象经过点A(4，2)，则它在A点处的切线方程为.14．阅读右面的程序框图，则输出的S等于15．已知F是抛物线y2=4x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝4，则线段AB的中点到y轴的距离为16．已知集合,有下列命题①若则；②若则；③若则的图象关于原点对称；④若则对于任意不等的实数，总有成立.其中所有正确命题的序号是.三、解答题：（解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。）17．（本题满分12分）已知二次函数有且只有一个零点，数列的前n项和．⑴求数列{an}的通项公式；⑵设，求数列{bn}的前n项和Tn．18．（本题满分12分）在△ABC中，已知AB＝EQ\R(3)，BC＝2。⑴若cosB＝－eq\f(\r(3),6)，求sinC的值；⑵求角C的取值范围．19．（本题满分12分）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为，其中a是与气象有关的参数，且，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)．⑴令，，求t的取值范围；⑵省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？20．（本题满分12分）已知点P（-1,）是椭圆E：（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．⑴求椭圆E的方程；⑵设A、B是椭圆E上两个动点，（0<λ<4，且λ≠2）．求证：直线AB的斜率等于椭圆E的离心率；⑶在⑵的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．21．（本题满分12分）已知f(x)=ln(1+x2)+ax(a≤0)。⑴讨论f(x)的单调性。⑵证明：（1+）（1+）…（1+）＜e（n∈N*，n≥2,其中无理数e=…）四、选考题（请考生在22，23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑）22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，DE⊥AC交AC延长线于点E，OE交AD于点F．⑴求证：DE是⊙O的切线；⑵若，求的值．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线（a＞0），已知过点P（－2，－4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N． ⑴写出曲线C和直线L的普通方程； ⑵若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．鄂州市2022—2022学年度上学期期末考试答案高三数学（理工农医类）一、选择题：题号123456789101112答案ABDCDACBDCCA二、填空题：13．14．3015．116．②③三、解答题：17．（本小题满分12分） 解：⑴依题意， 又由得 …………………… （3分）当时，；当时，………………… （6分）⑵①②由①－②得…………（12分）18．（本小题满分12分）解：⑴在△ABC中，由余弦定理知，AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcosB＝4＋3＋2×2EQ\R(3)×（－eq\f(\r(3),6)）＝9．所以AC＝3．…………………（3分）又因为sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－(－\F(\r(3),6))2)＝eq\f(\r(33),6)，………（4分）由正弦定理得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)．所以sinC＝eq\f(AB,AC)sinB＝eq\f(\r(11),6)。…………………（6分）⑵在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcosC所以，3＝AC2＋4－4ACcosC即AC2－4cosCAC＋1＝0．………………（8分）由题，关于AC的一元二次方程应该有解，令△＝（4cosC）2－4≥0,得cosC≥eq\f(1,2)，或cosC≤－eq\f(1,2)（舍去，因为AB＜AC）,所以，0＜C≤eq\f(π,3)，即角C的取值范围是（0，eq\f(π,3)）。………（12分）19．（本小题满分12分）解：⑴当x＝0时，t＝0；…………（2分）当0＜x≤24时，eq\f(1,t)＝x＋eq\f(1,x)．对于函数y＝x＋eq\f(1,x)，∵y′＝，∴当0＜x＜1时，y′＜0，函数y＝x＋eq\f(1,x)单调递增，当1＜x≤24时，y′＞0，函数y＝x＋eq\f(1,x)单调递增，∴y[2，＋∞)．∴eq\f(1,t)(0，eq\f(1,2)]．综上，t的取值范围是[0，eq\f(1,2)]．……………（5分）⑵当a[0，eq\f(1,2)]时，f(x)＝g(t)＝|t－a|＋2a＋eq\f(2,3)＝eq\b\lc\{(\a\al(3a－t＋eq\f(2,3)，0≤t≤a，,t＋a＋eq\f(2,3)，a≤t≤eq\f(1,2)．))………（8分）∵g(0)＝3a＋eq\f(2,3)，g(eq\f(1,2))＝a＋eq\f(7,6)，g(0)－g(eq\f(1,2))＝2a－eq\f(1,2)．故M(a)＝eq\b\lc\{(\a\al(g(eq\f(1,2))，0≤a≤eq\f(1,4)，,g(0)，eq\f(1,4)＜a≤eq\f(1,2)))＝eq\b\lc\{(\a\al(a＋eq\f(7,6)，0≤a≤eq\f(1,4)，,3a＋eq\f(2,3)，eq\f(1,4)＜a≤eq\f(1,2)))．………（10分）当且仅当a≤eq\f(4,9)时，M(a)≤2，故a[0，eq\f(4,9)]时不超标，a(eq\f(4,9)，1]时超标．………………（12分）20．（本小题满分12分）解：⑴∵PF1⊥x轴，∴F1（-1，0），c=1，F2（1，0），|PF2|=，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，椭圆E的方程为：；………（3分）⑵设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得（x1+1，y1-）+（x2+1，y2-）=③1,-），所以x1+x2=③-2，y1+y2=（2-③）①……（5分）又，，两式相减得3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0.②以①式代入可得AB的斜率k===e；……（8分）⑶设直线AB的方程为y=x+t，与联立消去y并整理得x2+tx+t2-3=0,△=3（4-t2），AB|=，点P到直线AB的距离为d=，△PAB的面积为S=|AB|×d=，……（10分）设f（t）=S2=（t4-4t3+16t-16）（-2<t<2），f’（t）=-3（t3-3t2+4）=-3（t+1）（t-2）2，由f’（t）=0及-2<t<2得t=-1．当t∈（-2,-1）时，f’（t）>0，当t∈（-1,2）时，f’（t）<0，f（t）=-1时取得最大值，所以S的最大值为．此时x1+x2=-t=1=③-2，③=3．……（12分）21.（本小题满分12分）解：⑴f′(x)=－+a=……………（1分）(i)若a=0时，f′(x)=＞0x＞0，f′(x)＜0x＜0∴f(x)在(0,+∞)单调递增，在（-∞，0）单调递减。………（3分）（ii）若时，f′(x)≤0对x∈R恒成立。∴f(x)在R上单调递减。……………………（6分）(iii)若-1＜a＜0，由f′(x)＞0ax2+2x+a＞0＜x＜由f′(x)＜0可得x＞或x＜∴f(x)在[，]单调递增在（-∞，]，[上单调递减。综上所述：当a=0时,f(x)在(0,+∞)单调递增，在（-∞，0）单调递减。当a≤－1时，f(x)在（－∞，+∞）上单调递减。当-1＜a＜0时，f(x)在[，]单调递增在（-∞，]，[上单调递减。……（6分）⑵由（1）当a=－1时，f(x)在（-∞，+∞）上单调递减。当x∈（0，+∞）时f(x)＜f(0)∴ln（1+x2）－x＜0即ln（1+x2）＜x∴ln[（1+）（1+）……(1+)]=ln[（1+）（1+）+…ln（1+）＜++……+＜=1-+-+…+=1-＜1∴（1+）（1+）……(1+)＜e……（12分）22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲证明：⑴连接OD，可得OD∥AE………（3分）又DE是⊙O的切线．………（5分）⑵过D作于H，则有