初中数学中考复习 课时32 平行四边形

第32课时平行四边形考点一平行四边形的概念与性质【主干必备】定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.如图,记作“▱ABCD”.平行四边形的性质边两组对边分别_________两组对边分别_________角两组_________分别相等

对角线对角线_____________对称性_________对称图形,对称中心是_________________.过__________的直线等分平行四边形

平行相等对角互相平分中心对角线的交点对称中心【微点警示】

1.平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的三角形.2.平行四边形的邻角互补.3.平行四边形只是中心对称图形,不是轴对称图形.【核心突破】【例1】(原型题)(2018·济南中考)如图,在▱ABCD中,连接BD,E是DA延长线上的点,F是BC延长线上的点,且AE=CF,连接EF交BD于点O.求证:OB=OD.【自主解答】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC.∴∠ADB=∠CBD.又∵AE=CF,∴AE+AD=CF+BC.∴ED=FB.又∵∠EOD=∠FOB,∴△EOD≌△FOB.∴OB=OD.【明·技法】平行四边形性质的三种应用(1)应用平行四边形的性质求角的度数、线段的长度.(2)应用平行四边形的性质再结合三角形全等常用来证明角相等或互补.(3)应用平行四边形的性质常用来证明线段相等或倍分关系.【题组过关】1.(2019·重庆渝中区模拟)如图,在▱ABCD中,AB⊥AC,若AB=4,AC=6,则BD的长是 (

)A.8 B.9 C.10 D.11C2.如图,▱ABCD中,DB=DC,∠C=70°,AE⊥BD于E,则∠DAE等于 (

)A.35° B.30° C.25° D.20°D3.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若AE=4,AF=6,AD+CD=20,则平行四边形ABCD的面积为_______. 世纪金榜导学号

484.(2019·佳木斯模拟)如图,在平行四边形ABCD中,点M为边AD的中点,过点C作AB的垂线交AB于点E,连接ME,已知AM=2AE=4,∠BCE=30°. 世纪金榜导学号(1)求平行四边形ABCD的面积S.(2)求证:∠EMC=2∠AEM.【解析】(1)∵M为AD的中点,AM=2AE=4,∴AD=2AM=8.在▱ABCD中,BC=AD=8,又∵CE⊥AB,∴∠BEC=90°,∵∠BCE=30°,∴BE=BC=4,∴AB=6,CE=4,∴▱ABCD的面积S=AB×CE=6×4=24.(2)延长EM,CD交于点N,∵在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠AEM=∠N,在△AEM和△DNM中,∴△AEM≌△DNM(AAS),∴EM=MN,又∵AB∥CD,CE⊥AB,∴CE⊥CD,∴CM是Rt△ECN斜边的中线,∴MN=MC,∴∠N=∠MCN,∴∠EMC=2∠N=2∠AEM.考点二平行四边形的判定【主干必备】边两组对边分别_________⇒平行四边形

两组对边分别_________⇒平行四边形

一组对边_______________⇒平行四边形

角两组_________分别相等⇒平行四边形

对角线对角线_____________⇒平行四边形

平行相等平行且相等对角互相平分【微点警示】

1.“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”不能错用为“一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形”.2.“对角线互相平分”不能错用为“一条对角线平分”.【核心突破】【例2】(2019·郴州中考)如图,▱ABCD中,点E是边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F,连接AC,DF.求证:四边形ACDF是平行四边形.【自主解答】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE,∵E是AD的中点,∴AE=DE,又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE(ASA),∴CD=FA,又∵CD∥AF,∴四边形ACDF是平行四边形.【明·技法】平行四边形判定的“三种思路”(1)如果已知一组对边平行,常考虑证这组对边相等或证另一组对边平行.注意:一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,它有可能是等腰梯形.(2)如果已知一组对边相等,常考虑证这组对边平行或证另一组对边相等.(3)如果已知条件与对角线有关,常考虑对角线互相平分.【题组过关】1.(2019·临沂沂水期中)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 (

)A.AB=CD B.BC∥AD C.∠A=∠C D.BC=ADD2.(2019·温州期中)在平面直角坐标系中,以A(0,2),B(-1,0),C(0,-2),D为顶点构造平行四边形,下列各点中,不能作为顶点D的坐标的是 (

)A.(-1,4) B.(-1,-4)C.(-2,0) D.(1,0)C3.(分类讨论题)(2019·南平期末)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD=12cm.点P从点A出发,以3cm/s的速度在射线AD上运动;同时,点Q从点C出发,以1cm/s的速度在射线CB上运动.运动时间为t,当t=_________s时,点P,Q,C,D构成平行四边形. 世纪金榜导学号

3或64.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=∠ADC,DE⊥AC,垂足为点E.连接BE.世纪金榜导学号(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.(2)若△ABE是等边三角形,四边形BCDE的面积等于4,求AE的长.【解析】(1)∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°,∵∠ABC=∠ADC,∴∠ADC+∠BCD=180°,∴AD∥BC,∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.(2)过B点作AE的垂线交AE于F点,设AE=x,∵△ABE是等边三角形,∴∠BAE=60°,∴在Rt△ABF中,AF=,BF=x,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠BAC=∠DCE,在△ABF与△CDE中,∴△ABF≌△CDE(AAS),∴EC=AF=,DE=BF=x,∴S△CDE=∵△CDE和△BCE等底等高,∴S△CDE=S△BCE=2,∴∴x=4或x=-4(舍去).故AE的长是4.考点三三角形的中位线【主干必备】定义连接三角形两边_________的线段.

条数任意一个三角形都有_______条中位线.

性质(1)三角形的中位线_________于三角形的第三边.

(2)三角形的中位线等于第三边的______.

中点三平行一半【微点警示】

1.三角形的中位线与三角形的中线是两个不同的概念,不要混淆.2.三角形中位线的性质包括两个方面:一是两线段的位置关系,二是两线段的数量关系.【核心突破】【例3】(2018·达州中考)如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为点N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为点M,若BC=7,则MN的长度为 (

)C【明·技法】三角形的中位线定理的应用(1)定理为证明平行关系提供了新的工具,为证明一条线段是另一条线段的2倍或一半提供了一个新的途径.(2)遇到一个中点时,要想到构造中位线,利用三角形中位线解决问题.(3)在应用三角形中位线定理解决问题时,应找出符合条件的基本图形.【题组过关】1.(2019·天水模拟)如图,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是线段AB,CD,AC,BD的中点,则四边形EGFH的周长 (

)BA.只与AB,CD的长有关B.只与AD,BC的长有关C.只与AC,BD的长有关D.与四边形ABCD各边的长都有关2.(2019·保定模拟)如图,在四边形ABCD中,已知AB=CD,M,N,P分别是AD,BC,BD的中点.∠ABD=20°,∠BDC=70°,则