初中数学中考复习 微专题六 中点四边形

微专题六中点四边形【主干必备】1.定义:依次连接四边形各边_________所得的四边形称为中点四边形.

中点2.形状:(1)一般情况:中点四边形的形状一定是___________.

平行四边形(2)特殊情况:①如果四边形对角线互相垂直,则中点四边形为_______.

②如果四边形对角线相等,则中点四边形为_________.

③如果四边形对角线互相垂直且相等,则中点四边形为___________.

矩形菱形正方形【微点警示】

1.中点四边形的形状与原四边形两条对角线的数量与位置有关.2.判定中点四边形的形状主要应用三角形的中位线的性质.【核心突破】类型一一般四边形的中点四边形【例1】(2019·自贡期末)如图,将四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来,能得到四边形EFGH是平行四边形吗?请说明理由.【自主解答】四边形EFGH是平行四边形,理由是:如图所示,连接BD,∵E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点,∴HE∥BD,HE=BD,GF∥BD,GF=BD,∴HE=GF且HE∥GF;∴四边形EFGH是平行四边形.类型二中点四边形是菱形【例2】(2019·重庆渝中区期中)如图,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别是四条边的中点.试判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论.【自主解答】结论:四边形EFGH是菱形;理由:连接AC,BD,∵E,F分别是AB,BC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF∥AC,EF=AC,同理可得:HG∥AC,HG=AC,EH∥BD,EH=BD,∴EF∥HG,EF=HG,∴四边形EFGH是平行四边形,又∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,∴EH=EF,∴四边形EFGH是菱形.类型三中点四边形是矩形【例3】(2019·龙岩模拟)如图,在四边形ABCD中,AD=CD,AB=CB,E,F,G,H分别是AD,AB,CB,CD的中点.求证:四边形EFGH是矩形.【自主解答】如图,连接AC,BD,∵E,F为AD,AB的中点,∴EF∥BD且EF=BD,同理HG∥BD且HG=BD,∴EF∥HG,且EF=HG,∴四边形EFGH为平行四边形,∵AD=CD,CB=AB,∴BD垂直平分AC,∴EH⊥BD,∴EF⊥EH,即∠FEH=90°,∴四边形EFGH是矩形.类型四中点四边形是正方形【例4】(2019·恩施期末)如图,已知四边形ABCD的两条对角线AC和BD互相垂直且相等,顺次连接该四边形四边的中点E,F,G,H.试判断四边形EFGH的形状并证明.【自主解答】四边形EFGH的形状是正方形,理由如下:在△ABC中,E,F分别是AB,BC的中点,故可得:EF=AC,同理EH=BD,GH=AC,FG=BD,在四边形ABCD中,AC=BD,∴EF=FG=GH=HE,∴四边形EFGH是菱形.在△ABD中,E,H分别是AB,AD的中点,则EH∥BD,同理GH∥AC,又∵AC⊥BD,∴EH⊥HG,∴四边形EFGH是正方形.【明·技法】1.中点四边形的性质(1)中点四边形的每条边都是原四边形相应对角线的一半,且与相应对角线平行.(2)中点四边形的面积为原四边形面积的一半.2.矩形、菱形、正方形的中点四边形(1)矩形的中点四边形是菱形(矩对菱).(2)菱形的中点四边形是矩形(菱对矩).(3)正方形的中点四边形是正方形(正对正).【题组过关】1.如图,E,F,G,H分别是正方形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是_________形.

正方2.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边上的中点,连接AC,BD,回答问题世纪金榜导学号(1)对角线AC,BD满足条件___________时,四边形EFGH是矩形.

(2)对角线AC,BD满足条件__________时,四边形EFGH是菱形.

(3)对角线AC,BD满足条件__________________时,四边形EFGH是正方形.

AC⊥BDAC=BDAC⊥BD且AC=BD3.如图,依次连接第1个矩形各边的中点得到1个菱形,再依次连接菱形各边的中点得到第2个矩形,按照此方法继续下去.已知第1个矩形的面积为1,则新得到第n个矩形的面积为______.

4.(2019·苏州相城区期末)如图,在四边形ABCD中,AB=DC,E,F,G,H分别是AD,BC,BD,AC的中点.(1)证明:EG=EH.(2)证明:四边形EHFG是菱形.【证明】(1)∵在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AD,BC,BD,AC的中点,∴EG是△ABD的中位线,EH是△ADC的中位线,∴EG=AB,EH=CD,∵AB=CD,∴EG=EH.(2)∵在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AD,BC,BD,AC的中点,∴FG∥CD,HE∥CD,FH∥AB,GE∥AB,∴GE∥FH,GF∥EH;∴四边形GFHE是平行四边形,又EG=EH,∴四边形EHFG是菱形.5.如图,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点. 世纪金榜导学号(1)判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论.(2)当BD,AC满足什么条件时,四边形EFGH是正方形.(不要求证明)【解析】(1)四边形EFGH是平行四边形.∵E,F分别是边AB,BC的中点,∴EF∥AC,且EF=AC,同理:HG∥AC,且HG=AC,∴EF∥HG,