2019-2020学年四川省宜宾市第四高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年四川省宜宾市第四高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知复数，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先用复数的除法法则进行运算，然后根据复数模的运算公式，进行求模运算.【详解】，故本题选C.【点睛】本题考查了复数的除法运算、求模运算.关键是掌握除法的运算法则和求模的公式.2．已知命题p：∀x∈R，2x＞0，那么命题¬p为（）A．∃x∈R，2x＜0 B．∀x∈R，2x＜0 C．∃x∈R，2x≤0 D．∀x∈R，2x≤0【答案】C【解析】由全称命题的否定与存在性命题之间的关系可得：，应选答案C．3．下列求导运算正确的是（）.A． B．C． D．【答案】B【解析】根据基本初等函数的导数公式、导数的运算法则以及复合函数的导数求法，即可得出结果.【详解】对于A，，故A不正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C不正确；对于D，，故D不正确；故选：B【点睛】本题主要考查了基本初等函数的导数公式、导数的运算法则以及复合函数的导数，需熟记公式，属于基础题.4．随机变量，且，则（）A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.80【答案】B【解析】分析：由及可得．详解：∵，∴．故选B．点睛：本题考查正态分布，若随机变量中，则正态曲线关于直线对称，因此有，（）．5．若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中真命题是()A．若则B．若则C．若，，则D．若，，则【答案】C【解析】对于A，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；对于B，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理；对于C，考虑面面垂直的判定定理；对于D，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理.【详解】选项A中，除平行外，还有异面的位置关系，则A不正确；选项B中，与的位置关系有相交、平行、在内三种，则B不正确；选项C中，由，设经过的平面与相交，交线为，则，又，故，又，所以，则C正确；选项D中,与的位置关系还有相交和异面，则D不正确；故选C.【点睛】该题考查的是有关立体几何问题，涉及到的知识点有空间直线与平面的位置关系，面面平行的性质，线面垂直的判定，面面垂直的判定和性质，属于简单题目.6．个节目，若甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现不同的排法有（）．A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【解析】个节目全排列共有种可能，甲、乙、丙三个节目全排列共有种可能，由于甲、乙、丙三个节目的顺序已知确定，所以不同的排法有种．故选．7．执行如图所示的程序框图，输出的值是（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】第一次循环，继续循环；第二次循环，继续循环；第三次循环，继续循环；第四次循环，继续循环；第五次循环，结束循环；输出故答案选8．设双曲线的离心率为，且它的一个焦点在抛物线的准线上，则此双曲线的方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：抛物线的准线为，焦点为双曲线方程为【考点】双曲线方程及性质9．函数f(x)=A．B．C．D．【答案】C【解析】由于f-x=-fx，故函数为奇函数，排除D选项，fπ6>0，故排除B选项，f210．在区间内随机取两个数分别记为,则函数有零点的概率（）A．B．C．D．【答案】B【解析】有零点，则，即，以为横轴，为纵轴，则构成以原点为中心边长为的正方形（边与坐标轴平行），面积为，满足的区域是圆，面积为，因此所求概率为．故选B．11．已知函数=存在两个极值点.则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数存在两个极值点,则===0有二不等根;即函数与的图像有2个交点;k,则,所以;=,解得;即当时,与相切,此时有1个交点;而与的图像有2个交点,所以;即实数的取值范围是.故选B.12．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据得到的单调性，再变形不等式根据单调性求解集.【详解】设，则，所以在上单调递增，又，所以，则有，即.故选：B.【点睛】常见的可根据导函数不等式推导抽象函数的情况：（1）已知，则可设；（2）已知，则可设；（3）已知，则可设；（4）已知，则可设.二、填空题13．的展开式中的常数项是__________．【答案】【解析】，所以时，常数项为。点睛：二项式题型考察学生对二项式的展开通项的应用，，利用展开通项求出对应的系数或项即可。本题中求常数项则只需自变量的指数为0，求出代入计算求得常数项即可。14．函数的极值点是_____________________【答案】或1或0【解析】先求出函数的导数，再利用导数的符号可求函数的极值点.【详解】，列表讨论如下：减极小值增极大值减极小值增综上，的极值点为或或，填或或.【点睛】若在及其附近可导，则：（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极大值点；（2）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极小值点；15．二面角的大小是，线段，，与所成的角，则与平面所成的角的正弦值是__________．【答案】【解析】过点作平面的垂线，垂足为，在内作，垂足为，连接，则即是二面角的平面角，∴，设，则，，，，∴．即与平面所成角的正弦值是．16．若函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】定义域，在上恒成立，即在上恒成立，，当且仅当时成立，则点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.三、解答题17．已知函数.（1）求在上的最值；（2）对任意，恒有成立，求实数的取位范围.【答案】（1）当时，的最大值为4；当时，的最小值为；（2）.【解析】（1）对求导，令，得到在上的单调性，从而求得最值；（2）由，数形结合分析可得取值范围.【详解】（1）因为，所以，令，解得或，因为在上，所以在上单调递减；在上单调递增，又因为，，，所以，当时，的最大值为4；当时，的最小值为.（2）因为，结合的图象：令，解得，所以m的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，考查根据函数的图像和性质求参数法人方法，要熟练掌握数形结合思想方法的运用，属中档题.18．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有％的把握认为平均车速超过的人与性别有关．平均车速超过人数平均车速不超过人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：，其中.【答案】（Ⅰ）表格见解析，有关（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据题目中的数据，完成列联表，求出K2=8.13＞7.879，从有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．（Ⅱ）记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，推导出X服从二项分布，即，由此能求出在随机抽取的10辆车中平均有4辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h．【详解】（Ⅰ）平均车速超过人数平均车速不超过人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100因为，所以有％的把握认为平均车速超过与性别有关；（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，X的分布列为X0123P．【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查概率的求法及应用，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．在三棱柱中，侧棱底面，分别是、、的中点，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明平面，从而.（Ⅱ）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，计算两平面的法向量，计算法向量的夹角得到答案.【详解】（Ⅰ）因为，，所以，又侧棱底面，所以，，所以平面，而平面，所以．（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）可知，，，以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，设面的法向量为，则由得即令得．又由题可知面的法向量．所以，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20．已知抛物线：的焦点为，点为上异于顶点的任意一点，过的直线交于另一点，交轴正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形.（1）求的方程；（2）若直线，且和相切于点，试问直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.【答案】(1)(2)直线过定点.【解析】（1）设，抛物线的焦点为，由，可得，从而，再由点横坐标与中点横坐标相同可求得．（2）设，可得，由，可设直线的方程为，由它与抛物线相切可求得，也即得出点坐标，求出直线方程，观察得其过定点．注意分类，即按直线斜率是否存在分类讨论．【详解】（1）抛物线的焦点，设，则的中点坐标为，∵，∴，解得，或（舍），∵，∴，解得，∴抛物线方程为.（2）由（1）知，，设，，∵，则，由得，即，∴直线的斜率，∵，故设直线的方程为，联立方程组，得，∵直线与抛物线相切，∴，，设，则，，当时，，直线的方程为，∵，∴直线的方程为，∴直线过定点，当时，直线方程为，经过定点，综上，直线过定点.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线中定点问题．圆锥曲线中定点问题的两种解法：(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．21．已知函数，其中．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明：；（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（其中e≈2.7183为自然对数的底数）【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】（1）分别在和两段范围内讨论导函数的正负，从而得到单调区间；（2）将问题转化为证明，通过导数求得，从而证得所证不等式；（3）根据（2）可知，令，则可得，累加可得到所证结论.【详解】（1）函数的定义域为，①当时，，所以在上单调递增,②当时，令，解得：当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增,综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增;（2）当时，要证明，即证，即,设则，令得，,当时，，当时，所以为极大值点，也为最大值点所以，即故当时，;（3）由（2）（当且仅当时等号成立）,令，则,所以,即所以.【点睛】本题考查讨论含参数函数的单调性、利用导数最值证明不等式问题、与自然数相关的不等式的证明问题.对于导数中含自然数的问题的证明，关键是对已知函数关系中的自变量进行赋值，进而得到与相关的不等关系，利用放缩的思想进行证明，属于难度题.22．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是（是参数，），直线的参数方程是（是参数），曲线与直线有一个公共点在轴上，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线的极坐标方程；（2）若点，，在曲线上，求的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）消去直线l的参数t得普通方程，令y＝0，得x的值，即求得直线与x轴的交点；消去曲线C的参数即得C的普通方程，再把上面求得的点代入此方程即可求出a的值；（2）把点A、B、C的极坐标化为直角坐标，代入曲线C的方程，可得，即，同理得出其它，代入即可得出答案．【详解】（Ⅰ）∵直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t得x+y＝2，令y＝0，得x＝2．∵曲线C的参数方程是（为参数，a＞0），消去参数得，把点（2，0）代入上述方程得a＝2．∴曲线C普通方程为．（Ⅱ）∵点在曲线C上，即A（ρ1cosθ，ρ1sinθ），，在曲线C上，∴===．【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标的问题，考查了极坐标的应用，熟练进行恒等变形是解题的关键，属于中档题．23．已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）当时，若对一切实数恒成立，求实数的取值范