数学中考复习 二次函数综合压轴题 优生辅导训练

春九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》优生辅导训练（附答案）1．如图，已知点A（﹣1，0），点B在y轴正半轴上，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，连接BD，二次函数y＝ax2+bx+3的图象过点A，B，D，顶点为E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接BE，DE，判断△BDE的形状，并求tan∠BDE的值；（3）在第二象限内有一动点P，使得∠APB＝∠EDC，连接DP，线段DP是否存在最大值？如果存在，请求出最大值，如果不存在，请说明理由．2．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆经过点C．（1）若点A（﹣4，0），点B（16，0），求C点坐标和函数关系式．（2）若点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请求点P坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝x2+bx﹣c经过A（﹣3，0），C（0，﹣4）两点，直线AB与抛物线交于点B（5，m）．（1）求抛物线的解析式及m值．（2）△AC'B与ACB关于直线AB对称，求C′的坐标．（3）抛物线上是否存在点M（与点B不重合），使得△CC'M的面积恰好等于△CC'B的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点左侧，2CO＝9AO，连接BC．（1）求点A坐标；（2）求该抛物线的解析式；（3）点D在该抛物线上，∠DCB＝∠ABC，求出点D的坐标．5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（m，n）、B（2﹣m，n）两点．（1）求a、b满足的关系式；（2）如果抛物线的顶点P在x轴上，△PAB是面积为1的直角三角形，点C是抛物线上动点（不与A、B重合），直线AC、BC分别与抛物线的对称轴交于点M、N．①求抛物线的解析式；②求证：PM＝PN．6．抛物线y＝x2﹣2x+m的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线CD∥AB交抛物线于C，D两点，若，求△COD的面积；（3）如图2，P为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点P作直线交抛物线于点E，F，交x轴于点M，求的值．7．在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+m（x≤2m，m为常数）的图象记为G，图象G的最低点为P（x0，y0）．（1）当y0＝﹣1时，求m的值．（2）求y0的最大值．（3）点A在图象G上，且点A的横坐标为2m﹣2，点A关于y轴的对称点为点B，当点A不在坐标轴上时，以点A、B为顶点构造矩形ABCD，使点C、D落在x轴上，当图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m的顶点为A．（1）则抛物线的顶点坐标（用m表示）；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求抛物线的解析式；（3）已知点B（m﹣1，m﹣2），C（2，2）．若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+n（m＜0）的顶点为A，与x轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴正半轴交于点D，连接AD并延长交x轴于E，连AC、DC，S△ADC：S△AEC＝1：4．（1）求点E的坐标；（2）若过点A，C，D的⊙M与坐标轴恰好有三个公共点，求出此时抛物线的函数表达式．10．如图：抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（8，0），与y轴交于点C（0，﹣4），且G是AC的中点．（1）求抛物线的表达式；（2）若点D是该抛物线上BC下方的动点，求△DBC面积的表达式及面积最大值时D的坐标；（3）点P是该抛物线上第四象限内的动点，过点P作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．若以点C、P、E为顶点的三角形与△AOG相似，求点P的坐标．11．在平面直角坐标系xOy中，M（a，y1），N（a+t，y2）为抛物线y＝x2+x上两点，其中t＞0．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若t＝1，点M，N在抛物线上运动，当|y1﹣y2|＝1时，求a的值；（3）记抛物线在M，N两点之间的部分为图象G（包含M，N两点），若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，直接写出t的取值范围．12．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．（1）求这个二次函数的表达式；（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．13．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．（1）若点B的坐标是（2，m），则点A的坐标是；（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，若△AOB与△OBC相似，求cos∠OBA；（3）在（1）问的条件下，若点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH垂直于x轴于点H，交线段AB于点F，以EF为直径的圆M与AB交于点R，求当△EFR周长取最大值时E点的坐标；（4）在（3）问的条件下，以BH为直径作圆N，点P为圆N上一动点，连接AP，Q为AP上一点且，连接HQ，求OQ的最小值．14．已知二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象经过（0，0），（4，0）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）当n≤x≤3时，函数值y的取值范围为﹣4≤y≤﹣3，求n的取值范围；（3）若直线AB经过A（﹣2，﹣4），B（2，m）两点，当0≤x＜5时，二次函数的图象与直线AB只有1个公共点，求出m的取值范围．15．如图1，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点C在y轴上，点B的纵坐标为﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣m与y轴交于点M，直线y＝m+5与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，直线y＝﹣2m与y轴交于点D（A与D不重合），与直线x＝4交于点C，构建矩形ABCD．（1）当点M在线段AD上时，求m的取值范围．（2）求证：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m与直线y＝m+5恒有两个交点．（3）当抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围．（4）当抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的时，直接写出m的取值范围．17．如图，抛物线y＝﹣x2﹣bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），D是抛物线上一点，连接AD交线段BC于点E，若AE＝3DE，求点D的坐标；（3）如图（2），平行于BC的直线MN交抛物线于M，N两点，作直线MC，NB的交点P，求点P的横坐标．18．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和，与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠DAB，设AE＝x，BF＝y，求y与x的函数关系式；（3）在（2）问的条件下，△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．（4）若点P在抛物线上，且，试确定满足条件的点P的个数．19．在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣4ax﹣2（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（﹣1，3）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≥0时，若函数y＝x2﹣4ax﹣2（a为常数）的图象的最低点到直线y＝a的距离为3，求a的值．（4）设a＜0，Rt△CDE三个顶点的坐标分别为C（﹣2，﹣2）、D（﹣2，2a﹣4）、E（0，2a﹣4）．当函数y＝x2﹣4ax﹣2（a为常数）的图象与△CDE的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为Q（Q与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为B．若AB＝2PQ，直接写出a的值．20．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，设三角形APC的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案1．解：（1）当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），∵Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，∴OB＝OD，∴D（3，0），将D（3，0），A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴E（1，4），∴BE＝，DE＝2，BD＝3，∴DE2＝BE2+BD2，∴△BDE是直角三角形，∠DBE＝90°，∴tan∠BDE＝＝；（3）∵C（0，1），D（3，0），E（1，4），∴CD＝，CE＝，DE＝2，∴CD2+CE2＝DE2，∴△CDE是等腰直角三角形，∴∠EDC＝45°，以AB为直径作圆，F是圆上一点，且AF＝BF，连接AF、BF，过点F作FM⊥x轴交于M，过点F作FN⊥y轴交于N，∴∠AFB＝90°，∵∠BFN+∠FBN＝90°，∠BFN+∠MFA＝90°，∴∠FBN＝∠MFA，∴△BFN≌△AFM（AAS），∴FN＝FM，BN＝AM，设F（﹣t，t），∴BO＝3＝t+（t﹣1），∴t＝2，∴F（﹣2，2），∴AF＝，DF＝，以F为圆心，FA为半径作圆，P点在⊙F上，此时∠APB＝45°，∴∠APB＝∠EDC，∴DP的最大值为+．2．解：（1）∵A（﹣4，0），B（16，0），∴AB＝20，AB的中点G（6，0），∴CG＝10，令x＝0，则y＝c，∴C（0，c），∴36+c2＝100，∴c＝±8，∵c＞0，∴c＝8，∴C（0，8），将A（﹣4，0），B（16，0）代入y＝ax2+bx+8，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+8；（2）坐标轴上存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，理由如下：∵y＝﹣x2+x+8＝﹣（x﹣6）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝6，∵⊙G的圆心为（6，0），∴C点与D点关于直线x＝6对称，∴D（12，8），∴CD＝12，∵B（16，0），C（0，8），∴BD＝4，BC＝8，当P点在x轴上，BP∥CD，∴∠BCD＝∠CBP，①如图1，当∠CPB＝∠CDB时，△BCD∽△CBP，∴∠DBC＝∠BCP，∴四边形CDBP是平行四边形，∴CD＝BP＝12，∴P（4，0）；②如图2，当∠CDB＝∠CPB时，△BCD∽△PBC，∴＝＝，∴＝，∴PB＝，∴P（﹣，0）；当P点在y轴上时，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CAB+∠CDB＝180°，∵CO⊥AB，AC⊥BC，∴∠CAO＝∠BCO，∴∠OCB+∠CDB＝180°，∴∠PCB＝∠CDB，③如图3，当P点在BD的延长线上时，△BCD∽△BPC，∴＝＝，∴＝，∴CP＝48，∴P（0，56）；④如图4，当∠DCB＝∠PBC时，△BCD∽△PBC，∴＝＝，∴＝，∴PC＝，∴P（，0）；综上所在：P点坐标为（4，0）或（﹣，0）或（0，56）或（，0）．3．解：（1）将A（﹣3，0），C（0，﹣4）代入y＝x2+bx﹣c得：，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；把B（5，m）代入y＝x2﹣x﹣4得：m＝×52﹣×5﹣4＝﹣4，故该抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4，m的值是﹣4．（2）如图1，∵A（﹣3，0），C（0，﹣4），B（5，﹣4），∴AC＝＝5，BC＝5，BC∥x轴，∴AC＝BC，∠OAB＝∠CBA，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠OAB＝∠CAB，∵△AC′B与ACB关于直线AB对称，∴C关于AB的对称点C'在OA（x轴）上，AC'＝AC＝5，∴C'（2，0）；（3）存在．①当点M在CC′右侧的抛物线上时，如图2由（2）知：C'（2，0），B（5，﹣4）、C（0，﹣4），设直线CC′的解析式为y＝kx+n，则，解得：，∴直线CC′的解析式为y＝2x﹣4，∵△CC'M的面积等于△CC'B的面积，∴BM∥CC′，设直线BM的解析式为y＝2x+d，把B（5，﹣4）代入得：10+d＝﹣4，解得：d＝﹣14，∴直线BM的解析式为y＝2x﹣14，由x2﹣x﹣4＝2x﹣14，解得：x＝5或12，∴M（12，10）；②当点M在CC′左侧的抛物线上时，∵S△ACC′＝AC′•OC＝×5×4＝10＝S△CC′B，∴点M与点A重合，即M（﹣3，0）；综上，点M的坐标为（12，10）或（﹣3，0）．4．解：（1）∵C（0，3），∴CO＝3，∵2CO＝9AO，∴AO＝，∵点A在原点左侧，∴A（﹣，0）；（2）将A（﹣，0），C（0，3）代入y＝﹣+bx+c，得，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝x2+x+3；（3）分两种情况：①当点D在x轴上方时，如图1，∵∠DCB＝∠ABC，∴CD∥AB，即CD∥x轴，∴点D的纵坐标为3，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，C、D关于抛物线对称轴对称，∴D（，3）；②当点D在x轴下方时，如图2，CD交x轴于点E，∵∠DCB＝∠ABC，∴CE＝BE，∵y＝x2+x+3，令y＝0，得x2+x+3＝0，解得：x＝﹣或9，∴B（9，0），设OE＝a，则CE＝BE＝9﹣a，Rt△OCE中，OE2+OC2＝CE2，∴a2+32＝（9﹣a）2，解得：a＝4，∴E（4，0），∵C（0，3），设直线CE的解析式为：y＝kx+d，则，解得：，∴直线CE的解析式为：y＝x+3，∵x2+x+3＝x+3，解得：x＝0或，∴D（，﹣）；综上所述，点D的坐标为（，3）或（，﹣）．5．（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（m，n）、B（2﹣m，n）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝＝1，∴2a+b＝0；（2）①解：依题意，抛物线的顶点坐标P（1，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2，由抛物线的对称性可知，△PAB是以AB为底边的等腰直角三角形，由S△PAB＝AB×AB＝1，解得：AB＝2，∵抛物线的开口向上，根据坐标与平移的关系可知，点A，B的坐标分别为（2，1）或（0，1），代入y＝a（x﹣1）2，得：a×（0﹣1）2＝1，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2＝x2﹣2x+1；②证明：如图，设点A在点B右侧，由①得：A（2，1），B（0，1），设点M（1，t），且t≠0，设直线AM的解析式：y＝px+q，把点A（2，1），B（0，1）代入得：，解得：，∴直线AM的解析式：y＝（1﹣t）x+2t﹣1，代入y＝x2﹣2x+1，得：x2﹣2x+1＝（1﹣t）x+2t﹣1，整理得：x2+（t﹣3）x+2﹣2t＝0，∵Δ＝（t﹣3）2﹣4×1×（2﹣2t）＝t2+2t+1＝（t+1）2≥0，∴x＝，∴x1＝2，x2＝1﹣t，∴y2＝（1﹣t﹣1）2＝t2，∴C（1﹣t，t2），设直线BC的解析式为：y＝dx+e，把点B（0，1），C（1﹣t，t2）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式：y＝﹣（t+1）x+1，当x＝1时，y＝﹣（t+1）x+1＝﹣t，∴N（1，﹣t），又抛物线y＝（x﹣1）2的顶点P（1，0），∴PM＝PN＝|t|．6．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1的顶点A（1，m﹣1）在x轴上，∴m﹣1＝0，∴m＝1，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1；（2）∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴顶点A（1，0），令x＝0，得y＝1，∴B（0，1），在Rt△AOB中，AB＝＝＝，设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，∵CD∥AB，∴设直线CD的解析式为y＝﹣x+d，C（xC，yC），D（xD，yD），则x2﹣2x+1＝﹣x+d，整理得：x2﹣x+1﹣d＝0，∴xC+xD＝1，xC•xD＝1﹣d，yC＝﹣xC+d，yD＝﹣xD+d，∴yC﹣yD＝（﹣xC+d）﹣（﹣xD+d）＝xD﹣xC，∵，∴CD＝3AB＝3，∴CD2＝（3）2＝18，∴（xC﹣xD）2+（yC﹣yD）2＝18，即（xC﹣xD）2+（xD﹣xC）2＝18，∴（xC﹣xD）2＝9，∴（xC+xD）2﹣4xC•xD＝9，即1﹣4（1﹣d）＝9，解得：d＝3，∴x2﹣x﹣2＝0，解得：x＝2或﹣1，∴C（2，1），D（﹣1，4），设直线CD：y＝﹣x+3交y轴于点K，令x＝0，则y＝3，∴K（0，3），∴OK＝3，∴S△COD＝OK×|xC﹣xD|＝×3×3＝；（3）如图2，过点E作EG∥x轴交抛物线对称轴于点G，过点F作FH∥x轴交抛物线对称轴于点H，则AM∥EG∥FH，∴＝，＝，设直线PM的解析式为y＝kx+n，当x＝1时，y＝k+n，∴P（1，k+n），当y＝0时，kx+n＝0，解得：x＝﹣，∴M（﹣，0），∴AM＝|1﹣（﹣）|＝||，由x2﹣2x+1＝kx+n，整理得：x2﹣（k+2）x+1﹣n＝0，则xE+xF＝k+2，xE•xF＝1﹣n，∵EG＝|xE﹣1|，FH＝|xF﹣1|，∴+＝+＝，当k＜0时，点E、F、M均在对称轴直线x＝1左侧，∴EG＝|xE﹣1|＝1﹣xE，FH＝|xF﹣1|＝1﹣xF，AM＝||＝，∴+＝＝＝＝，∴+＝AM×（+）＝×＝1；当k＞0时，点E、F、M均在对称轴直线x＝1右侧，∴EG＝|xE﹣1|＝xE﹣1，FH＝|xF﹣1|＝xF﹣1，AM＝||＝﹣，∴+＝＝＝＝﹣，∴+＝AM×（+）＝﹣×（﹣）＝1；综上所述，的值为1．7．解：（1）如图1中，当m＞0时，∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，图象G是抛物线在直线x＝2m的左侧部分（包括点D），此时最低点P（m，﹣m2+m），由题意﹣m2+m＝﹣1，解得m＝或（舍弃），当m＝0时，显然不符合题意，当m＜0时，如图2中，图象G是抛物线在直线x＝2m的左侧部分（包括点D），此时最低点P是纵坐标为m，∴m＝﹣1，综上所述，满足条件的m的值为或﹣1．（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴m＝时，y0的最大值为，当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，综上所述，y0的最大值为．（3）当m＜0时，观察图象可知，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，解得m＞，或﹣m≤2m﹣2＜0，解得≤m＜1（不合题意舍弃），当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．即或﹣m≤2m﹣2＜0，解得≤m＜1，综上所述，满足条件m的取值范围为m≤0或m＞或≤m＜1．8．解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+m＝﹣（x﹣m）2+m，∴点A的坐标为（m，m），故答案为（m，m）；（2）∵点A在第一象限，且点A的坐标为（m，m），则OA＝m＝，解得：m＝1，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x；（3）将点B（m﹣1，m﹣2）代入抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m得：m﹣2＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）﹣m2+m，此方程无解；将点C（2，2）代入抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m得：2＝﹣22+2m×2﹣m2+m，解得m＝2或3，如图1，当m≤2时，抛物线和线段BC有公共点；如图2，当2＜m＜3时，抛物线和线段BC无公共点；如图3，当m≥3时，抛物线和线段BC有公共点；故m≤2或m≥3时，抛物线和线段BC有公共点．9．解：（1）如图，设此抛物线对称轴与x轴交于点F，∵S△ADC：S△AEC＝1：4，∴S△DEC：S△AEC＝DO：AF＝3：4，∵DO∥AF，∴△EDO∽△EAF，∴EO：EF＝DO：AF＝3：4，∴EO：OF＝3：1，由y＝mx2﹣2mx+n（m＜0）得：A（1，n﹣m），D（0，n），∴OF＝1，∴EO＝3，∴E（﹣3，0）；（2）由（1）知A（1，n﹣m），D（0，n），AF＝﹣m+n，EF＝4，OD＝n，∵OD∥AF，∴OE：OD＝EF：AF，即3：n＝4：（﹣m+n），解得n＝﹣3m，∴A（1，﹣4m），D（0，﹣3m），抛物线的解析式为：y＝mx2﹣2mx﹣3m，令y＝0，得x＝﹣1或x＝3，∴B（﹣1，0），C（3，0）．∵过点A，C，D的⊙M与坐标轴交于点C和点D，∴若恰有三个交点，需要分三种情况，①当⊙M与y轴相切于点D，设点M的坐标为（a，﹣3m），∴AM2＝（1﹣a）2+（﹣4m+3m）2，DM2＝a2+（﹣3m+3m）2，CM2＝（3﹣a）2+（﹣3m）2，∴（1﹣a）2+（﹣4m+3m）2＝a2+（﹣3m+3m）2＝（3﹣a）2+（﹣3m）2，整理得m2+1＝0，无解．②当⊙M与x轴相切于点C，设点M的坐标为（3，b），∵AM2＝（1﹣3）2+（﹣4m﹣b）2，DM2＝32+（b+3m）2，CM2＝（3﹣3）2+b2，∴（1﹣3）2+（﹣4m﹣b）2＝32+（b+3m）2＝（3﹣3）2+b2，整理得m2﹣2＝0，∴m＝﹣，（正数舍去）．∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．③当⊙M经过点O（0，0）时，∵∠COD＝90°，∴线段CD是直径，∴∠CAD＝90°，∴AC2+AD2＝CD2，即（1﹣3）2+（﹣4m﹣0）2+12+（﹣4m+3m）2＝32+（﹣3m）2，∴m＝﹣，（正数舍去）．∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+．综上，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3或y＝﹣x2+x+．10．解：（1）将A（﹣2，0）（8，0），C（0，﹣4）代入y＝ax2+bx+c，∴，∴，∴y＝x2﹣x﹣4；（2）过点D作DH∥y轴交BC于点H，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣4，设点D（x，x2﹣x﹣4），则H（x，x﹣4），∴DH＝x﹣4﹣x2+x+4＝﹣x2+2x，∴S△BCD＝×8×（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴当x＝4时，△DBC面积有最大值16，此时D（4，﹣6）；（3）∵G是AC的中点，∴G（﹣1，﹣2），∴AG＝GO＝，∴△AOG是等腰三角形，设P（m，m2﹣m﹣4），则E（m，m﹣4），∴PE＝﹣m2+2m，CE＝m，CP＝，①当△AGO∽△ECP时，＝，∴＝，解得m＝4，∴P（4，﹣6）；②当△AGO∽△CEP时，＝，∴＝，解得m＝6，∴P（6，﹣4），此时CP∥x轴，∴EP⊥CP，∴P（6，﹣4）舍去；③当△AGO∽△CPE时，＝，∴＝，解得m＝3，∴P（3，﹣）；综上所述：P点坐标为（4，﹣6）或（3，﹣）．11．解：（1）令y＝x2+x＝0，解得x＝0或﹣1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）或（﹣1，0）；（2）由题意得，y2＝（a+1）2+a+1，y1＝a2+a，∴|y1﹣y2|＝|（a+1）2+a+1﹣a2﹣a|＝1，解得a＝﹣或﹣；（3）由抛物线的表达式知，顶点坐标为（﹣，﹣），①当点M、N在对称轴同侧时，当点M、N均为对称轴的右侧时，即a≥﹣，则y2﹣y1＝（a+t）2+（a+t）﹣a2﹣a＝t2+2at+t＝1，∴a＝（1﹣t﹣t2）≥﹣，解得0≤t≤1；当点M、N均在对称轴左侧时，可得：0≤t≤1；∵t＞0，∴0＜t≤1；②当点M、N在对称轴两侧时，则最小值为﹣，最大值为y1或y2，当最大值为y1时，则y1﹣（﹣）＝1，即a2+a+＝1，解得a＝﹣或（舍去），则与点M关于抛物线对称轴对称的点的横坐标为，故点N的横坐标a+t在﹣和之间，即﹣≤t﹣≤，解得1≤t≤2；当最大值为y2时，同理可得，1≤t≤2；故1≤t≤2；综上，0＜t≤2．12．解：（1）由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0）设该表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）．将C点的坐标代入得：a＝1，∴所以这个二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，﹣3）．理由：由（1）得D（1，﹣4），∴直线CD的解析式为：y＝﹣x﹣3，∴E点的坐标为（﹣3，0），由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF，∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，∴存在点F，坐标为（2，﹣3）．方法二：由（1）得D（1，﹣4），∴直线CD的解析式为：y＝﹣x﹣3，∴E点的坐标为（﹣3，0），∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，∴F点的坐标为（2，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣4，3），代入抛物线的表达式检验，只有（2，﹣3）符合，∴存在点F，坐标为（2，﹣3）．（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得R＝．②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），则N（r+1，﹣r），代入抛物线的表达式，解得r＝．∴圆的半径为或．13．解：（1）如图1，过点A作AG⊥x轴于点G，过点B作BK⊥x轴于点K，则∠AGO＝∠BKO＝90°，设A（a，a2），则OG＝﹣a，AG＝a2，∵点B（2，m）在抛物线y＝x2上，∴m＝22＝4，∴OK＝2，BK＝4，∵OA⊥OB，∴∠AOG+∠BOK＝90°，∵∠AOG+∠OAG＝90°，∴∠OAG＝∠BOK，∴△AOG∽△OBK，∴＝，即＝，解得：a＝，∴点A的坐标是（，），故答案为：（，）；（2）如图2，设A（a，a2），B（b，b2），过点A作AG⊥⊥x轴于点G，∵BC⊥x轴于点C，OA⊥OB，∴∠OCB＝∠AGO＝∠AOB＝90°由（1）得：△AOG∽△OBC，∴＝＝，∵△AOB与△OBC相似，∠AOB＝∠OCB＝90°，∴△AOB∽△OCB或△AOB∽△BCO，①当△AOB∽△OCB时，＝，∴＝，∴OC＝OG，∴b＝﹣a，b2＝a2，∴OC＝OG，BC＝AG，∴△AGO≌△BCO（SAS），∴OA＝OB，∵∠AOB＝90°，∴∠OBA＝45°，∴cos∠OBA＝cos45°＝；②当△AOB∽△BCO时，＝，∴＝，∴BC＝AG，∴b2＝a2，∵a＜0＜b，∴b＝﹣a，∴OC＝OG，∴△AGO≌△BCO（SAS），同①可得：cos∠OBA＝cos45°＝，综上所述，cos∠OBA＝；（3）由（1）知：A（，），B（2，4），设直线AB的解析式为y＝kx+n，AB交y轴于点L，则，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+1，∴L（0，1），如图3，过点B作BJ⊥y轴于点J，则∠BJL＝90°，BJ＝2，OJ＝4，JL＝3，∴BL＝＝＝，设E（t，t2），则F（t，t+1），∴EF＝t+1﹣t2，∵EH⊥x轴，y轴⊥x轴，∴EH∥y轴，∴∠EFR＝∠BLJ，∵EF是直径，∴∠ERF＝90°＝∠BJL，∴△EFR∽△BLJ，∴＝＝，即＝＝，∴FR＝﹣（t2﹣t﹣1），ER＝﹣（t2﹣t﹣1），∴△EFR周长＝EF+FR+ER＝t+1﹣t2﹣（t2﹣t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴当t＝时，△EFR周长取得最大值，此时，E（，）；（4）由（3）知：E（，），B（2，4），∴H（，0），∴N（，2），过点B作BT⊥x轴于点T，则BT＝4，HT＝，∴BH＝＝，∴⊙N的半径为r＝，∵A（﹣，），作点A关于点O的对称点A′，连接AA′，连接PA′，则A′（，﹣），点O为AA′的中点，∵Q为AP的中点，∴OQ是△AA′P的中位线，∴OQ＝PA′，当OQ最小时，PA′最小，∴当O、P、A′三点共线且点P在线段OA′上时，PA′最小，∵A′N＝＝，∴PA′最小值＝A′N﹣r＝﹣，∴OQ＝PA′＝，∴OQ的最小值为．14．解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象经过（0，0），（4，0）两点，∴，解得：，∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x；（2）∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣4），∵﹣4≤y≤﹣3，∴令y＝﹣3，得x2﹣4x＝﹣3，解得：x＝1或x＝3，∴根据二次函数的图象和性质，当﹣4≤y≤﹣3时，1≤x≤3，又∵当n≤x≤3时，函数值y的取值范围为﹣4≤y≤﹣3，∴n的取值范围为1≤n≤2；（3）由题意知，点B在抛物线的对称轴直线x＝2上，在y＝x2﹣4x中，令x＝5，得y＝52﹣4×5＝5，∴C（5，5），①当直线AB与x轴平行时，直线AB与抛物线只有1个公共点，此时点B与抛物线的顶点重合，故此时m＝﹣4；②当直线AB经过点C（5，5）时，直线AB与抛物线只有1个公共点，如图1，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（﹣2，﹣4），C（5，5）代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x﹣，令x＝2，得y＝×2﹣＝，∴此时，点B（2，），故此时m＝；③当直线AB经过点O（0，0）时，直线AB与抛物线只有1个公共点，如图2，设直线AB的解析式为y＝k′x，将A（﹣2，﹣4）代入得：﹣4＝﹣2k′，解得：k′＝2，∴直线AB的解析式为y＝2x，∴m＝2×2＝4，∴此时，点B（2，4），故此时m＝4；由②③，可知当≤m≤4时，抛物线与直线AB只有一个公共点．综上所述，m的取值范围是m＝﹣4或≤m≤4．15．解：（1）∵直线y＝﹣x+交于C点，点C在y轴上，∴C（0，），将点A（3，2），C（0，）代入y＝﹣+bx+c，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣+x+；（2）设D（t，﹣t2+t+），则E（t，﹣t+），∴DE＝﹣t2+t++t﹣＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，∴当t＝2时，DE的长度最大为2，此时D（2，），∵y＝﹣+x+＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的解析式为直线x＝1，∵C（0，），∴C点、D点关于直线x＝1对称，连接AC交对称轴于点P，∴PD＝PC，∴PD+PA＝PC+PA≥AC，∴当C、P、A三点共线时，PA+PD的值最小，∴AC＝，∴PA+PD的最小值为；（3）存在点Q，使∠AQM＝45°，理由如下，由（2）可得M（1，4），设Q（0，t），过点A作AH垂直对称轴x＝1，交于点H，∴AH＝HM＝2，∴H（1，2），∴M、A两点在以H为圆心，2为半径的圆上，∵∠MHA＝90°，∴圆H与y轴的交点为Q点，∴∠MQA＝45°，∴QH＝2，∴2＝，∴t＝2+或t＝2﹣，∴Q点坐标为（0，2+）或（0，2﹣）．16．（1）解：由题意得：M（0，﹣m），A（0，m+5），D（0，﹣2m），当m+5＞﹣2m，即m＞﹣时，∵点M在线段AD上，∴﹣2m＜﹣m＜m+5，∴m＞0；当m+5＜﹣2m，即m＜﹣时，∵点M在线段AD上，∴m+5＜﹣m＜﹣2m，∴m＜；综上所述，m的取值范围为m＞0或m＜．（2）证明：当x2﹣2mx﹣m＝m+5时，整理得：x2﹣2mx﹣2m﹣5＝0，Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（﹣2m﹣5）＝4（m+1）2+16，∵4（m+1）2≥0，∴4（m+1）2+16＞0，∴抛物线y＝x2﹣2mx﹣m与直线y＝m+5恒有两个交点．（3）解：∵y＝x2﹣2mx﹣m＝（x﹣m）2﹣m2﹣m，∴该抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，﹣m2﹣m），开口向上，与y轴的交点M（0，﹣m），①当m+5＜﹣2m，即m＜﹣时，如图1，此时抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大；②当m+5＞﹣2m，即﹣＜m≤0时，如图2，此时抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大；③当m＞0时，如图3，令x＝4，则y＝16﹣8m﹣m＝16﹣9m，当16﹣9m≤﹣2m，即m≥时，抛物线在矩形内部（不包括边界）的函数值y随着x的增大而减小；综上，m的取值范围为m＜﹣或﹣＜m≤0或m≥．（4）解：由题意得：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m在矩形ABCD中的最高点的横坐标x的范围是0≤x≤4，点B（4，m+5）到x轴的距离为|m+5|，当x＝4时，y＝16﹣9m，∵抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的，∴抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标为|m+5|，①当m＜﹣5时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（﹣m﹣，﹣2m），∴﹣2m＝（﹣m﹣）2﹣2m（﹣m﹣）﹣m，解得：m＝，∵m＜﹣5，∴m＝﹣；②当﹣5≤m＜时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，﹣2m），∴﹣2m＝（m+）2﹣2m（m+）﹣m，解得：m＝﹣1，∵﹣5≤m＜，∴m＝﹣1﹣；③当m＞﹣，且16﹣9m≥m+5，即﹣＜m≤时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，m+5），∴m+5＝（m+）2﹣2m（m+）﹣m，解得：m＝﹣3，∵﹣＜m≤，∴m＝﹣3+；综上所述，m的值为﹣或﹣1﹣或﹣3+．17．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2﹣bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）如图1，过点D作DF∥x轴交直线BC于点F，在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0，得y＝2，∴C（0，2），设直线BC的解析式为y＝kx+d，将B、C的坐标代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设D（m，﹣m2+m+2），则点F的纵坐标为﹣m2+m+2，∴﹣m2+m+2＝﹣x+2，∴x＝m2﹣m，∴F（m2﹣m，﹣m2+m+2），∴DF＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，∵A（﹣1，0），B（2，0），∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，∵DF∥x轴，即DF∥AB，∴△DEF∽△AEB，∴＝，即＝＝，∴﹣m2+2m＝1，解得：m1＝m2＝1，∴D（1，2）；（3）如图2，过点P作PK⊥x轴于点K，过点C作CG∥x轴交PK于点G，过点M作MH∥x轴交PK于点H，过点N作NT∥x轴交PK于点T，∵直线BC的解析式为y＝﹣x+2，MN∥BC，∴设直线MN的解析式为y＝﹣x+n，∴﹣x+n＝﹣x2+x+2，解得：x1＝1﹣，x2＝1+，∴M（1﹣，n﹣1+），N（1+，n﹣1﹣），设点P的横坐标为t，则CG＝t，MH＝t﹣（1﹣）＝t﹣1+，BK＝2﹣t，NT＝1+﹣t，∵CG∥x轴，MH∥x轴，∴CG∥MH，∴△PCG∽△PMH，∴＝，∵NT∥x轴，即NT∥BK，∴△PBK∽△PNT，∴＝，∵BC∥MN，∴＝，∴＝，∴BK•MH＝CG•NT，∴（2﹣t）（t﹣1+）＝t（1+﹣t），∴2t﹣2+2﹣t2+t﹣t＝t+t﹣t2，化简得：（t﹣1）（1﹣）＝0，∵1﹣≠0，∴t﹣1＝0，∴t＝1，∴点P的横坐标为1．18．解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，），∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，∴顶点D坐标为（2，3）．（2）如图1，过点D作DK⊥x轴于点K，∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的对称轴为直线x＝2，A（﹣2，0），顶点D（2，3），∴B（6，0），∴AB＝6﹣（﹣2）＝8，∵DK⊥x轴，∴K（2，0），∴AK＝BK＝4，DK＝3，∴DA＝DB＝＝5，∴∠DAB＝∠DBA，∵∠DEF＝∠DAB，∴∠DEF＝∠DBA，∵∠AED+∠DEF+∠BEF＝180°，∠AED+∠DAB+∠ADE＝180°，∴∠ADE＝∠BEF，∴△ADE∽△BEF，∴＝，∵AE＝x，BF＝y，BE＝8﹣x，AD＝5，∴＝，∴y＝﹣x2+x，其中0＜x＜8．（3）可能．如图2，∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），∴AB＝8，AD＝BD＝5，①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，∵∠D