北师大九上数学线段的垂直平分线导学案

线段的垂直平分线学习目标、重点、难点【学习目标】线段垂直平分线的性质定理；线段垂直平分线的性质定理的逆定理；作已知线段的垂直平分线；三角形三边垂直平分线的性质定理【重点难点】1、线段垂直平分线的性质定理；2、线段垂直平分线的性质定理的逆定理；3、三角形三边垂直平分线的性质定理.知识概览图线段的垂直平分线线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离等线段的垂直平分线线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上画法：尺规作图三角形三边垂直平分线的性质定理：三角形二条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等新课导引如右图所示，在一条河的同一侧有A，B两个仓库，如果要在河岸边建一个码头，使两仓库到码头的距离相等，那么应该怎样确定码头C的位置呢?【问题链接】连接AB，作出线段AB的垂直平分线，与河岸的交点（图中的点C）为码头位置．【解析】线段AB的垂直平分线上的点到线段AB的两个端点A和B的距离相等．教材精华知识点1线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．用符号语言表示为：如图1－53所示，MN丄AB于点O，P是直线MN上任意一点，若AO=BO，则PA=PB可叙述为：∵MN丄AB，AO=BO，∴PA=PB.定理的证明：∵MN丄AB，∴∠POA=∠POB=90°∵AO=BO，PO=PO，∴△POA≌△POB（SAS）∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．定理的作用：证明两条线段相等．拓展对于线段的垂直平分线，应注意以下两点：（1）线段的垂直平分线简称中垂线，它可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合．（2）线段是轴对称图形，中垂线是它的一条对称轴．知识点2线段垂直平分线的性质定理的逆定理线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．用符号语言表示为：如图l－54所示，∵直线MN是线段AB的垂直平分线，PA＝PB，∴点P在直线MN上．定理的证明．过点P作直线丄AB于O，则∠POA=∠POB=90°.∵PA=PB，PA=PB，∴Rt△POA≌Rt△POB（HL）.∴AO=BO.∴平分AB.∴直线是线段AB的垂直平分线．又∵线段AB只有一条垂直平分线.∴点P在AB的垂直平分线MN上．定理的作用：证明一点在某条线段的垂直平分线上．拓展要注意定理与逆定理的区别，且在应用时不要缺少条件知识点3三角形三边垂直平分线的的性质定理三角形三边垂直平分线的性质定理三角形三条边的垂直平分线的性质定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．用符号语言表示为：如图1－55所示，∵直线MN，EF，PQ分别垂直平分BC，AB，AC，∴直线MN，EF，PQ相交于点O，且OA＝OB＝OC．定理的证明．如图1－56所示，在△ABC中，设AB，BC的垂直平分线相交于点P，连接AP，BP，CP．∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA＝PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）．同理PB=PC．∴PA=PB＝PC．∴点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）．定理的作用：证明点在线段的垂直平分线上或证明一条直线是一条线段的垂直平分线．知识点4作已知线段的垂直平分线已知线段AB，如图1－57所示，求作线段AB的垂直平分线．作法如下：（1）分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点．（2）作直线CD．则直线CD就是所求作的线段AB的垂直平分线．（如图1－58所示）证明如下．如图1－58所示，连接AC，BC．∵AC＝BC，∴点C在线段AB的垂直平分线上．同理，点D也在线段AB的垂直平分线上，∴直线CD是线段AB的垂直平分线．作用：作已知线段的中点．规律方法小结转化思想：在证明线段垂直平分线的性质定理及其逆定理时，都是转化为三角形全等来解决的．探究交流三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点称为三角形的外心，一个三角形的外心一定在三角形的内部吗？找几个三角形试一试．解析不一定．锐角三角形的外心在其内部，直角三角形的外心在其斜边上，钝角三角形的外心在其外部．课堂检测基础知识应用题1、如图l－59所示，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于D.求证AD=DC.2、如图1－60所示，AD是∠BAC的平分线，DE丄AB，DF丄AC，垂足分别喂E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证AD垂直平分EF.综合应用题3、如图1－63所示，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，求△AEC的周长．4、如图l－64所示，已知AB＝AC，BD=DC，AD，BC相交于点O，求证AD丄BC探索与创新题5、在△ABC中，AB＝AC≠BC，在△ABC所在的平面内有一点P（不与A，B，C任何一点重合），使△APC，△BPC，△APB都是等腰三角形，这样的点一共可以找到几个?简要说明理由．体验中考1、如图l－70所示，A，B，C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．AB中点B．BC中点中点D．∠C的平分线2、如图1－71所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD．（1）求证BE＝AD；（2）求证AC是线段ED的垂直平分线；（3）△DBC是等腰三角形吗?并说明理由．学后反思 附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析连接BD，由线段垂直平分线的性质定理，可得AD=BD，因此欲证AD=DC，只需证BD=DC.由题意可证∠A=∠C=30°，∠CBD＝90°，∴BD=DC，结论得证.证明：连接BD．∵AB的垂直平分线交AC于D，∴DA＝DB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）．∵BA=BC，∴∠A=∠C（等边对等角）∵∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，∴∠ABD=∠A=30°，∴∠DBC=90°在Rt△DBX中，∵∠C=30°，∴BA=DC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半），∴AD=DC【解题策略】解此类问题的关键是把垂直平分线上的点和线段两个端点连接起来，从而得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性质解题．2、分析解决本题的关键是正确理解垂直平分线的含义．证明：AD平分∠BAC，DE丄ABDF丄AC，∴∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD，又AD＝AD，∵△AED≌△AFD，∴AE=AF∴点A在EF的垂直平分线上．同理，点D也在EF的垂直平分线上．∴AD垂直平EF（两点确定一条直线）．规律·方法线段垂直平分线的判定有两种方法：定义法；应用判定定理．其中应用判定定理较为简单．3、分析由DE垂直平分AB，得AE=BE，所以△AEC的周长=AE＋CE＋AC＝BE＋EC＋AC．解：∵DE为AB边的垂直平分线，∴BE＝AE．∴△AEC的周长＝AE＋CE＋AC＝BE＋CE＋AC=BC＋AC＝8＋5=13．即△AEC的周长为13．【解题策略】线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的连线构成了等腰三角形，因此，等腰三角形的性质（如两腰相等，两底角相等，“三线合一”等）的应用显得极其重要，应引起高度重视．4、分析此题证法比较多，可利用等腰三角形的性质或线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证明，这里我们选用线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证明．证明：∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．同理，点D在线段BC的垂直平分线上，∴AD是线段BC的垂直平分线．∴AD丄BC．【解题策略】一条线段的垂直平分线只有一条，又两点确定一条直线，因此只要能够确定一条线段的垂直平分线上的两点，就能够确定它的垂直平分线．5、解：如图l－67所示，在平面内符合条件的点P的位置有四个，其中一个是△ABC各边垂直平分线的交点，另外三个在BC的垂直平分线上．理由如下．∵P1M为AC的垂直平分线，∴P1A＝P1C∵P1N是AB的垂直平分线，∴P1A＝P1B，即点P1也在线段BC的垂直平分线l1上．以A为圆心，AB长为半径画弧，交l1于P2，P3，两点，连接BP2，CP2，BP3，CP3，则△P2AB，△P2BC，△P2AC，△P3AB，△P3BC，△P3AC都是等腰三角形．以B为圆心，BA长为半径画弧，交l1于点P4，连接P4B，P4C.则△P4AB，△P4AC，△P4BC也都是等腰三角形，∴当AB=AC≠BC时，符合条件的点有四个．体验中考1、分析由三角形三边垂直平分线的性质定理可得，三角形的外心到三个顶点的距离相等．又已知长度，由勾股定理知△ABC为直角三角形，而直角三角形的外心与其斜边中点重合．故选A．2、分析判定△BAD与△CBE全等是解决本题的关键．证明：（1）∵∠A6C＝90°，BD⊥CE，∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，∴∠1＝∠2．∵∠ABC=∠DAB＝90°，AB＝BC，∴△BAD≌△CBE，∴AD=BE．（2）∵E是AB中点，∴EB=EA．又∵AD＝BE