北师大八上数学平行四边形的性质导学案

平行四边形的性质学习目标、重点、难点【学习目标】1、知道什么样的四边形是平行四边形．2、记住平行四边形的边、角两方面的性质，并且会灵活应用来解决一些简单的实际问题．3、明白什么是平行线间的距离，会用平行线间的距离处处相等的结论解决问题．【重点难点】1、探索平行四边形的性质的过程．2、平行四边形的性质的应用．知识概览图定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形的性质性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分平行四边形的性质平行线间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离新课导引【问题链接】如右图所示，将长方形沿它的一条对角线剪开，得到两个全等的直角三角形，将它们的一组相等的直角边重合，能拼出几种四边形?它们各有什么特点呢?与同伴交流一下．教材精华知识点1平行四边形的概念(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．(2)平行四边形的对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线．(3)平行四边形的表示：平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”，其中AB与DC，AD与BC是两组对边；AB与BC是邻边；∠A与∠C，∠B与∠D是两组对角；∠A与∠B是邻角．边、角、对角线是平行四边形的基本元素．拓展平行四边形定义的作用：①由定义知平行四边形的两组对边分别平行．②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形．知识点2平行四边形的性质将平行四边形绕某个顶点旋转180°后，再平移旋转后的平行四边形，并与原平行四边形比较，得到平行四边形边和角的性质，再通过画对角线，利用三角形全等，可得到平行四边形对角线的性质．另外，我们还可以将平行四边形绕对角线的交点旋转180°，与原平行四边形比较，可以得到平行四边形的所有性质．边——对边平行且相等．平行四边形的性质角——对角相等．平行四边形的性质对角线——对角线互相平分．对称性——中心对称图形(以后会学到)．拓展由此进一步得出：由平行四边形的对角线分得的四个三角形的面积相等．如图4－1所示，在□ABCD中，有如下结论：边：AD∥BC，AB∥DC，AD＝BC，AB＝DC角：∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∠BAD＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BCD＋∠CDA＝180°，∠CDA＋∠BAD＝180°．面积：S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△DOA．对角线：OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD．知识点3两条平行线间的距离(1)定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离．(2)两条平行线间的距离还有一条性质，就是平行线间的距离处处相等．拓展(1)两条平行线间的距离是指垂线段的长度，是大于0的．(2)平行线的位置确定后，它们之间的距离是定值，不随垂线段的位置改变而改变．(3)两条平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高线时，可根据需要灵活选择位置．规律方法小结变换思想：通过平移、旋转和轴对称等变换解决图形问题是常用的解题方法之一，它的应用十分广泛．课堂检测基本概念题1、如图4－2所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，你能说明该四边形是平行四边形吗?2、如图4－3所示，如果l1∥l2，那么△ABC的面积与△DBC的面积相等吗?请说明理由．基础知识应用题3、如图4－4所示，在ABCD中，∠C＝108°，BE平分∠ABC.求∠ABE的度数．4、如图4－5所示，直线l1∥l2,∠DAB＝135°，且AB＝50mm，求两平行线l1和l3之间的距离．+综合应用题5、(1)在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B＝2∶3，求各角的度数；(2)已知平行四边形ABCD的周长为28cm，AB∶BC＝3∶4，求它的各边的长．探索创新题7、如图4－8(1)所示，某市有一个呈四边形的休闲广场，在它的四个角A，B，C，D处均有一棵古树．为了响应建设文明优美城市的需要，决定将广场面积扩大为原来的2倍，但必须保留这四棵古树，并要求扩建后的休闲广场呈平行四边形，则该市能否实现这一设想?若能，请设计并画出图形；若不能，请说明理由．体验中考1、如图4－9所示，在ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点正，则BE等于()A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm2、如图4－10所示，已知在ABCD中，E，F分别是对角线BD上的两点，且BF＝DE．求证AE＝CF．学后反思 附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析由∠1＝∠2，可知AD∥BC，由∠3＝∠4，可知AB∥DC，由平行四边形的定义可以得出结论．解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．2、分析观察发现△ABC与△DBC有一公共边BC，说明底相等，面积是否相等，取决于它们在BC边上的高是否相等，由于l1∥l2，它们之间的距离处处相等，说明高也相等，因此它们的面积相等．解：△ABC与△DBC的面积相等．理由：∵l1∥l2，∴它们之间的距离处处相等，∴△ABC与△DBC是同底等高的两个三角形，S△ABC＝S△DBC．【解题策略】l1上任意一点与B，C连接所构成三角形的面积都等于△ABC的面积，这样的三角形有无数个．3、解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，所以∠ABC＋∠C＝180°．又因为∠C＝108°，所以∠ABC＝180°－∠C＝72°．又因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠ABC＝36°．【解题策略】由平行四边形的定义可得出它的两组对边分别平行，从而得出有关角之间的关系，再进行计算．4、解：过点A作AC⊥l2于点C，则线段AC的长就是l1和l2之间的距离．因为∠DAB＝135°，∠DAC＝∠ACB＝90°，所以∠BAC＝45°，∠ABC＝45°，所以BC＝AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即2AC2＝502，所以AC＝＝25(mm)，即两平行线l1和l2之间的距离是25mm．【解题策略】要求两平行线之间的距离，先要作出两条平行线之间的一条垂线段，再求其长度．在本题中，求垂线段AC的长时利用了勾股定理．5、分析(1)在平行四边形中，邻角是互补的，而对角是相等的，因为∠A与∠B是邻角，所以其和为180°，可据此列式求出角度．(2)平行四边形的对边相等，所以周长为邻边长之和的2倍，可据此列式求出各边长．解：(1)由于∠A，∠B是平行四边形的两个邻角，所以∠A＋∠B＝180°．又因为∠A：∠B＝2：3，不妨设∠A＝2k，∠B＝3k，那么2k＋3k＝180°，解得k＝36°，则∠A＝∠C＝72°，∠B＝∠D＝108°．(2)在ABCD中，AB＝CD，BC＝AD．所以AB＋BC＋CD＋AD＝28，即AB＋BC＝14．因为AB：BC＝3：4，因此可设AB＝3K，BC＝4k，所以3k＋4k＝14，解得k＝2，则AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝8cm．【解题策略】平行四边形相关性质要比较熟练地掌握，平行四边形的对角相等，邻角互补，平行四边形的对边相等，相邻两边长的和等于平行四边形周长的一半．6、分析因为A点在与BC平行的轨道上滑动，BC所在直线和轨道间的距离是处处相等的，BC边长不变，所以面积不变．解：因为A点在与BC平行的轨道上滑动，所以根据平行线间的距离处处相等，可得△ABC中BC边上的高不变，又BC边长不变，所以△ABC的面积不变．【解题策略】利用平行线的特征：平行线间的距离处处相等以及三角形的面积公式可得到结论．7、分析四边形ABCD是不规则图形，要将它的面积扩大为原来的2倍，并呈平行四边形，可通过添加对角线，将四边形变为三角形，化不规则图形为规则图形，利用平行四边形的一条对角线将原图形分成两个面积相等的三角形进行画图．解：能．如图4－8(2)所示，连接AC，BD，分别过A，C，B，D作对角线BD，AC的平行线，得到平行四边形EFGH，则四边形EFGH就是符合条件的平行四边形，因此该市能实现这一设想．体验中考1、分析由ABCD得ADBC，AD＝AB=6cm，∴∠1＝∠2，由DE平分∠ADC得∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴EC＝AD＝6cm，∴BE=BC－EC＝8－6＝2(cm)．故选A．【解题策略】利用平行四边形的性质：对边平行且相等．2、分析要证AE＝CF，可证AE，C