北师大版2022高考总复习数学理考点演练直接证明与间接证明

第六节直接证明与间接证明1.命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立()A.不成立B.成立C.不能断定D.能断定2.(2022·济南模拟)若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中一定有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是()A.0B.1C.23.若a>b>0，则下列不等式中总成立的是()A.a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)B.eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1)C.a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b)D.eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)4.设a，b是两个实数，给出下列条件：(1)a＋b＞1；(2)a＋b＝2；(3)a＋b＞2；(4)a2＋b2＞2；(5)ab＞1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是A.(2)(3)B.(1)(2)(3)C.(3)D.(3)(4)(5)5.设0<x<1，则a＝eq\r(2x)，b＝1＋x，c＝eq\f(1,1－x)中最大的一个是()A.aB.bC.cD.不能确定6.设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，则a，b，c三数()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于27.(创新题)已知a，b为不相等的实数且a＞0，b＞0，x＝eq\f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，y＝eq\r(a＋b)，则x，y的大小关系是________．8.(改编题)等差数列{an}中，a1＋a2＝4，a3＋a4＝12，则a5＋a6＝________.9.(改编题)若x≥1，则x与lnx的大小关系为________．10.完成反证法证题的全过程．已知：a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列．求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则____________均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________________________＝____________________________＝0.但奇数个奇数之和不可能为偶数，这一矛盾说明p为偶数．11.已知a，b，c，d都是正数，且bc>ad，求证：eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d).12.(2022·江苏启东中学模拟)已知a＞b＞0，求证：eq\f(a－b2,8a)＜eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)＜eq\f(a－b2,8b).

第六节直接证明与间接证明1.解析：∵Sn＝2n2－3n，∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5.当n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式．∵an＋1－an＝4(n≥1)为常数，∴{an}是等差数列．答案：B2.答案：C3.解析：∵a>b>0，∴eq\f(1,b)>eq\f(1,a)，又a>b，∴a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a).答案：A4.解析：本题可用特值法，令a＝b＝eq\f(3,4)知(1)不行，令a＝b＝1知(2)不行，令a＝b＝－2知(4)(5)都不成立．答案：C5.解析：由已知易得1＋x＞2eq\r(x)＞eq\r(2x)，∴b＞a.∵(1＋x)(1－x)＝1－x2＜1，又0＜x＜1，即1－x＞0，∴(1＋x)－eq\f(1,1－x)＝eq\f(1＋x1－x,1－x)＜0.∴1＋x＜eq\f(1,1－x)，∴c＞b.答案：C6.解析：假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6，而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,y)＋y＋eq\f(1,z)＋z＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＋2eq\r(y·\f(1,y))＋2eq\r(z·\f(1,z))＝6，与a＋b＋c＜6矛盾，故假设a，b，c都小于2错误．答案：C7.解析：x2＝eq\f(a＋b＋2\r(ab),2)＜eq\f(2a＋b,2)＝a＋b＝y2，∴x＜y.答案：x＜y8.解析：a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝4＋4d＝12，∴4d＝8，a5＋a6＝a3＋2d＋a4＋2d＝a3＋a4＋4d＝12＋8＝20.答案：209.解析：设f(x)＝x－lnx(x≥1)，则f′(x)＝1－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x)，当x≥1时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)＝x－lnx在[1，＋∞)上是增函数．又f(1)＝1－ln1＝1＞0，∴x＞lnx.答案：x＞lnx10.答案：a1－1，a2－2，…，a7－7(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)11.证明：∵eq\f(a＋c,b＋d)－eq\f(a,b)＝eq\f(a＋cb－ab＋d,b＋db)＝eq\f(bc－ad,b＋db)，a，b，c，d∈R＋且bc>ad，∴eq\f(bc－ad,b＋db)>0，∴eq\f(a＋c,b＋d)>eq\f(a,b).又eq\f(c,d)－eq\f(a＋c,b＋d)＝eq\f(cb＋d－da＋c,db＋d)＝eq\f(bc－ad,db＋d)>0，∴eq\f(c,d)>eq\f(a＋c,b＋d)，∴不等式成立．12.证明：欲证eq\f(a－b2,8a)＜eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)＜eq\f(a－b2,8b)，只需证eq\f(a－b2,8a)＜eq\f(\r(a)－\r(b)2,2)＜eq\f(a－b2,8b).∵a＞b＞0，∴只需证eq\f(a－b,2\r(2a))＜eq\f(\r(a)－\r(b),\r(2))＜eq\f(a－b,2\r(2b))，即eq\f(\r(a)＋\r(b),2\r(a))＜1＜eq\f(\r(a)＋\r(b),2\r(b))，欲证eq\f(\r(a)＋\r(b),2\r(a))＜1，只需证eq\r(a)＋eq\r(b)＜2eq\r(a)，即eq\r(b)＜eq\r(a)，该式显然成立．欲证1＜eq\f(\r(a)＋\r(b),2\r(b))，只需证2eq\r(b)＜eq\r(a)＋eq\