湖北省仙桃市田家炳实验高级中学2022-2023学年高三上学期9月月考 数学试题（解析版）

实验高中2022年秋季学期高三9月月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义直接求解作答.【详解】解不等式得：，即，解不等式得：，即，所以.故选：C2.当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（）A. B.C.或 D.以上都不正确【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义和单调性即得.【详解】因为函数既是幂函数又是的减函数，所以，解得：.故选：B.3.设函数，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定的函数，分析其奇偶性、单调性，再比较的大小即可判断作答.【详解】函数定义域为R，，即函数是R上的偶函数，当时，在上单调递增，而，因此，而，所以.故选：D4.函数在区间上的图象为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，然后代入计算，从而得正确答案.【详解】，

为奇函数，排除A；又，排除B；，即，排除C，故选：D5.已知函数且，则“”是“在上单调递增”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由在R上单调递增求得a的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得.【详解】若R上单调递增，则，所以，由“”可推出“”，但由“”推不出“”，所以“”是“在R上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.6.若，则的最小值为（）A.4 B.8 C.9 D.16【答案】C【解析】【分析】由题可得，然后利用“1”的妙用结合均值不等式即得.【详解】由题意，得，，且，所以，即，所以，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：C.7.若直线是曲线与的公切线，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求出，，由点、点在切线上，得切线方程，进而即得.【详解】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，，所以，，由点在切线上，得切线方程为；由点在切线上，得切线方程为，故，解得，，故.故选：B.8.已知函数满足：，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】赋值法得到，进而得到，即是以6为周期的函数，且得到，从而利用函数周期性求解出.【详解】，令得：，因为，所以，令，得：，即，则，上面两式子联立得：，所以，故，故是以6为周期的函数，且，所以故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，则下列大小关系中不正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据给定的不等式，利用指数函数单调性确定实数a，b的大小关系，再逐项判断作答.【详解】因，则，因此，A不正确；，B正确；，C不正确；而，即有，D不正确.故选：ACD10.下列说法中正确的是（）A.若集合只有2个子集，则B.命题“”的否定是“”C.不等式的解集是D.是R上的奇函数，当时，，则当时，【答案】BD【解析】【分析】分析集合A的元素个数判断A；写出存在量词命题的否定判断B；解对数不等式判断C；由奇偶性求解析式判断D作答.【详解】因集合A只有两个子集，于是得集合A中只有一个元素，当时，集合A中只有一个元素-1，当时，由，得，集合A中只有一个元素-2，因此或，A不正确；命题“”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，它是：，B正确；不等式，解得，即原不等式的解集为，C不正确；是R上的奇函数，当时，，则当时，，，D正确.故选：BD11.已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（）A.B.在区间上单调递增C.是R上的偶函数D.函数有6个零点【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，分析函数的性质，结合指定区间上的解析式，逐项分析计算、判断作答.【详解】对都有，则，即函数是周期函数，周期为4，函数的图像向左平移1个单位得函数的图象，又函数的图像关于点对称，因此函数的图象关于点对称，即函数是R上的奇函数，当时，，即函数在上递增，在上单调递增，而，因此在上递增，由得：，则的图象关于直线对称，函数在上递减，对于A，，A正确；对于B，因函数在上递增，函数的周期为4，则在上递增，B正确；对于C，因，即有，函数不是R上的偶函数，C不正确；对于D，函数的零点，即函数与图象交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数与的部分图象，如图，因函数的最大值为1，而当时，，因此函数与图象的交点在内，观察图象知，函数与图象在内只有6个交点，所以函数有6个零点，D正确.故选：ABD12.已知定义在上的函数满足，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据给定的等式，变形并构造函数，探讨函数的单调性，再逐项分析判断作答.【详解】，，令，则，即，显然在上单调递增，有，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，有，即，A正确；，则，即，B不正确；，则，即，C正确；因，则令，C为常数，，即，则，即，D不正确.故选：AC【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的等式或不等式，根据等式或不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的单调递增区间为______【答案】【解析】【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数单调性分析求解.详解】令，解得或，故函数的定义域为.∵在R上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴在上单调递减，在上单调递增，故函数的单调递增区间为.故答案为：.14.若曲线在点处的切线平行于x轴，则a＝______．【答案】1【解析】【分析】利用导数的几何意义与平行的性质得到方程，解之即可.【详解】由已知得，故，即，则.故答案为：1．15.若不等式（其中是自然对数的底数）对恒成立，则实数的取值范围为________【答案】【解析】【分析】根据给定条件，分离参数构造函数，求出函数最小值即可作答.【详解】，，令，，求导得：，当时，当时，，即函数在上递减，在上递增，因此当时，，则，所以实数取值范围为.故答案为：16.已知函数，则不等式的解集为______________．【答案】【解析】【分析】先根据函数特点构造，得到其奇偶性和单调性，再对不等式变形得到，根据单调性得到，解不等式求出答案.【详解】令，定义域为R，且，所以为奇函数，变形为，即，其，当且仅当，即时，等号成立，所以在R上单调递增，所以，解得：，所以解集为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，．（1）求，；（2）若集合，且，求实数的取值范围.【答案】（1）；或；（2）.【解析】【分析】（1）解一元二次不等式化简集合B，再利用补集、交集的定义求解作答.（2）由（1）的结论，利用集合的包含关系列式求解作答.【小问1详解】解不等式，即，解得或，则或，所以，而或，则或.【小问2详解】由（1）知，，因，当，即，时，满足，则，当时，，解得，于是得，所以实数的取值范围是.18.已知二次函数满足，且．（1）求的解析式；（2）当时，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设出二次函数的解析式，利用待定系数法求解作答.（2）变形给定的不等式，构造函数并求出函数的最大值，即可作答.【小问1详解】依题意，设，则，于是得，解得，有，，解得，所以的解析式是.【小问2详解】由（1）知，不等式，令，依题意，存在，成立，而，则当时，，即，所以实数的取值范围是.19.已知函数．（1）求在处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值.【答案】（1）；（2）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算出和的值，利用点斜式写出切线的方程；（2）解方程，然后列表对函数进行分析，可得出函数的单调区间和极值.【小问1详解】∵，，，，因此，函数在点处的切线方程为，即；【小问2详解】因为，令，得或，当变化时，，变化如下：极大值极小值因此，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为.20.已知函数．（1）当时，求函数在上的值域；（2）若函数与轴有交点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，利用指数函数单调性，借助二次函数求解值域作答；（2）把函数与轴有交点问题转化为方程有解，构造函数求出值域作答.【小问1详解】当时，，当时，，当，即时，，当，即时，，所以函数在上的值域是.【小问2详解】函数与轴有交点，即方程有解，由得，，而函数在R上单调递减，其值域为，因此，解得，所以实数的取值范围是.21.已知定义在R上的函数满足．（1）求、的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据，可得，再由即可求解；（2）判断在R上为减函数，结合函数为奇函数可得，然后根据二次不等式恒成立即得.【小问1详解】因为定义在R上的函数满足，所以，即，解得，从而有，又由，知，解得，经检验，当时，，满足题意，所以，；【小问2详解】由（1）知，所以在R上为减函数，由题可知函数是奇函数，从而不等式，等价于.因为是R上的减函数，所以，即对一切有，从而，解得，∴k的取值范围为.22.已知函数（1）若，试讨论的单调性；（2）若，实数为方程的两不等实根，求证：.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】分析】（1）根据题意得，分与讨论即可得到函数的单调性；（2）根据题意构造函数，得，参变分离得，分析不等式，即转化为，设，再构造函数，利用导数得单调性，进而得证.【详解】（1）依题意，当时，，①当时，恒成立，此时在定义域上单调