2022年山西省太原市东社中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2022年山西省太原市东社中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设双曲线的右顶点为，为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线分别交于两点，其中为坐标原点，则与的大小关系为（

）A．

B．

C．

D．不确定参考答案：C2.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P，使最短，则的最小值为（

）A. B.C. D.2参考答案：A如图所示，把对角面绕旋转至，使其与在同一平面上，连接，则为所求的最小值，故选A.

3.等比数列｛｝的各项均为正数，且=

（

）A、10

B、12

C、6

D、5参考答案：D略4.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】几何概型．【分析】根据安全飞行的定义，则安全的区域为以棱长为1的正方体内，则概率为两正方体的体积之比．【解答】解：根据题意：安全飞行的区域为棱长为1的正方体∴p=故选B5.设P，Q分别为直线x﹣y=0和圆x2+（y﹣6）2=2上的点，则|PQ|的最小值为(

)A． B． C． D．4参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】先由条件求得圆心（0，6）到直线x﹣y=0的距离为d的值，则d减去半径，即为所求．【解答】解：由题意可得圆心（0，6）到直线x﹣y=0的距离为d==3，圆的半径r=，故|PQ|的最小值为d﹣r=2，故选：A．【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．6.若平面α外的直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l∥α的是（）A．=（1，﹣3，5），=（1，0，1） B．=（1，0，0），=（﹣2，0，0）C．=（0，2，1），=（﹣1，0，1） D．=（1，﹣1，3），=（0，3，1）参考答案：D【考点】平面的法向量．【分析】由题意l∥α，?=0，分别计算选项A、B、C、D中?的值，判断正确选项．【解答】解：若l∥α，则?=0，而A中?=6，B中?=﹣2，C中?=1，D选项中?=0．故选：D．7.已知一组数的平均数是，方差，则数据的平均数和方差分别是A．3，4

B．3，8

C．2，4

D．2，8参考答案：B8.下列向量中，与垂直的向量是（

）．

A.B.

C.

D.参考答案：C9.已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则

（

）

A．

B．

C．

D．4参考答案：C略10.设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m?α，则m⊥β B．若α⊥β，m⊥α，则m∥βC．若m∥α，α∩β=n，则m∥n D．若m∥α，m∥β，α∩β=n，则m∥n参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】在A中，m与β相交、平行或m?β；在B中，m∥β或m?β；在C中，m与n平行或异面；在D中，由直线与平面平行的性质定理得m∥n．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：在A中，若α⊥β，m?α，则m与β相交、平行或m?β，故A错误；在B中，若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m?β，故B错误；在C中，若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故C错误；在D中，若m∥α，m∥β，α∩β=n，则由直线与平面平行的性质定理得m∥n，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.与直线平行，并且距离等于3的直线方程是__________________________________________。参考答案：7x+24y-80=0或7x+24y+70=0略12.函数的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是

.参考答案：(0,3)试题分析：由于函数在上单调递增，且函数的一个零点在区间(1,2)内，则有且，解得.考点：1.函数的单调性；2.零点存在定理13.以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，K为非零常数，若｜PA｜－｜PB｜＝K，则动点P的轨迹是双曲线.②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.③双曲线与椭圆有相同的焦点.④已知抛物线,以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切.其中真命题为

（写出所有真命题的序号）.参考答案：②③④14..(x2＋2x＋1)dx＝_________________参考答案：1/3

略15.函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是．参考答案：{a|a＜﹣1或a＞2}【考点】函数在某点取得极值的条件．【专题】计算题．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，可以得到导函数为0的方程有两个不等的实数根，从而有△＞0，进而可解出a的范围．【解答】解：f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），要使函数f（x）有极大值又有极小值，需f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）=0有两个不等的实数根，所以△=36a2﹣36（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2．故答案为：{a|a＜﹣1或a＞2}【点评】本题主要考查了函数的极值问题及导数的应用，利用导数作为工具去研究函数的性质非常方便．16.设幂函数的图像经过点(4,2)，则__________．参考答案：由题意得17.抛物线的准线方程是

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.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知,点在曲线上且

（Ⅰ）求证:数列为等差数列,并求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为,若对于任意的,存在正整数t,使得恒成立,求最小正整数t的值．参考答案：t最小值=219.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．参考答案：【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．20.设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足anbn=log3an，数列{bn}的前n项和为Tn．求|Tn﹣|．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；方程思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）当n≥2时，通过an=Sn﹣Sn﹣1计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）、利用对数性质可知数列{bn}的通项公式，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵2Sn=3n+3，∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（3n+3）﹣（3n﹣1+3）=3n﹣1，又∵a1=S1=（3+3）=3不满足上式，∴an=；（Ⅱ）由（I）可知bn==，∴Tn=+++…+，∴Tn=+++…++，两式错位相减得：Tn=+﹣+++…+﹣=﹣+（+++…+）﹣=+﹣=﹣，∴Tn=﹣，∴|Tn﹣|=．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法计算即得结论，注意解题方法的积累，属于中档题．21. 已知命题：，命题：方程表示焦点在轴上的双曲线．（Ⅰ）命题为真命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围．

参考答案：解：（1）当命题为真时，由已知得，解得∴当命题为真命题时，实数的取值范围是

…5分（2）当命题为真时，由解得

…7分由题意得命题、中有一真命题、有一假命题

………8分当命题为真、命题为假时，则，解得或.

…………………10分当命题为假、命题为真时，则，无解.

…………12分∴实数的取值范围是或.

…………13分

略22.某市为节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，为了较为合理地确定居民日常用水量的标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），右表是100位居民月均用水量的频率分布表，根据右表解答下列问题：（1）求表中a和b的值；（2）请将频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数．参考答案：解：（1）由频率分布表得出第二小组的频数为：20，a=20；…由频率分布表得出第四小组的频率为：0.20b=0.20．…（2）众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，∴中间的第三个矩形最高，故2与3的中点是2.5，众数是2.5即根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数为2.5…（说明：第二问中补充直方图与求众数只要做对一个得，两个全对的．）考点：频率分布直方图；众数、中位数、平均数．分析：（1）利用频数之和等于样本容量求出a处的数；利用频率和为1求出b处的数；（2）根据各小组的频率比即频率分布直方图的高度比即可补全频率分布直方图；根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标即可．解答： 解：（1）由频率分布表得出第二小组的频数为：20，a=20；