精选新课标热点训练-武汉市2023届高三四月适应性调研测试理科数学试题

精选新课标热点训练-武汉市2023届高三四月适应性调研测试理科数学试题高考资源网〔〕，您身边的高考专家欢送广阔教师踊跃来稿，稿酬丰厚。高考资源网〔〕，您身边的高考专家欢送广阔教师踊跃来稿，稿酬丰厚。新课标热点训练武汉市2023届高三四月适应性调研测试理科数学试题数学〔理科〕2023.4.18一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，点F为BC上靠近点B的一个三等分点，那么eq\o(\s\up7(→),EF)＝〔A〕eq\f(1,2)eq\o(\s\up7(→),AB)－eq\f(1,3)eq\o(\s\up7(→),AD)〔B〕eq\f(2,3)eq\o(\s\up7(→),AB)＋eq\f(1,2)eq\o(\s\up7(→),AD)〔C〕eq\f(1,3)eq\o(\s\up7(→),AB)－eq\f(1,2)eq\o(\s\up7(→),AD)〔D〕eq\f(1,2)eq\o(\s\up7(→),AB)－eq\f(2,3)eq\o(\s\up7(→),AD)2．“复数eq\f(a＋i,2＋i)〔a∈R，i为虚数单位〕在复平面内对应的点位于第二象限〞是“a＜－1〞的〔A〕充分而不必要条件〔B〕必要而不充分条件〔C〕充要条件〔D〕既不充分也不必要条件3．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为〔A〕0.35〔B〕0.25〔C〕0.20〔D〕0.154．一个体积为12eq\r(,3)的正三棱柱的三视图如下图，那么该三棱柱的侧视图的面积为〔A〕6eq\r(,3)〔B〕8〔C〕8eq\r(,3)〔D〕125．(3EQ\R(3,x2)－eq\f(1,eq\r(,x)))n的展开式中各项系数之和为256，那么展开式中第7项的系数是〔A〕－24〔B〕24〔C〕－252〔D〕2526．执行如下图的程序框图，假设输出的结果是9，那么判断框内m的取值范围是〔A〕(42，56]〔B〕(56，72]〔C〕(72，90]〔D〕(42，90)7．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝eq\f(1,x)〔x＞0〕图象下方的区域〔阴影局部〕，从D内随机取一个点M，那么点M取自E内的概率为〔A〕eq\f(ln2,2)〔B〕eq\f(1－ln2,2)〔C〕eq\f(1＋ln2,2)〔D〕eq\f(2－ln2,2)8．直线l：Ax＋By＋C＝0〔A，B不全为0〕，两点P1〔x1，y1〕，P2〔x2，y2〕，假设(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0，且|Ax1＋By1＋C|＜|Ax2＋By2＋C|，那么直线l〔A〕与直线P1P2不相交〔B〕与线段P2P1的延长线相交〔C〕与线段P1P2的延长线相交〔D〕与线段P1P2相交9．抛物线y2＝2px〔p＞0〕的焦点为F，点A、B在此抛物线上，且∠AFB＝90°，弦AB的中点M在其准线上的射影为M′，那么eq\f(|MM′|,|AB|)的最大值为〔A〕eq\f(eq\r(,2),2)〔B〕eq\f(eq\r(,3),2)〔C〕1〔D〕eq\r(,3)10．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋1，x≤0，,log2x，x＞0。))那么以下关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的选项是〔A〕当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有1个零点〔B〕当a＞0时，有3个零点；当a＜0时，有2个零点〔C〕无论a为何值，均有2个零点〔D〕无论a为何值，均有4个零点二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．〔一〕必考题〔11—14题〕11．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据〔单位：百万元〕．x24568y304060t70根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up2(^))＝6.5x＋17.5，那么表中t的值为．12．α∈[eq\f(π,12)，eq\f(3π,8)]，点A在角α的终边上，且|OA|＝4cosα，那么点A的纵坐标y的取值范围是．13．球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，那么棱锥S-ABC的体积为．14．在平面直角坐标系xOy中，三点A〔a，b〕，B〔b，c〕，C〔c，a〕，且直线AB的倾斜角与AC的倾斜角互补，那么直线AB的斜率为．〔结果中不含字母a，b，c〕〔二〕选考题〔请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，那么按第15题作答结果计分．〕15．〔选修4-1：几何证明选讲〕如图，P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C点．AB⊥AC，PA＝2，PC＝1，那么圆的面积为．16．〔选修4-4：坐标系与参数方程〕在极坐标系下，直线l的方程为ρcos(θ－eq\f(π,3))＝eq\f(1,2)，那么点M〔1，eq\f(π,2)〕到直线l的距离为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〔本小题总分值12分〕在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，B＝60°．〔Ⅰ〕假设cos(B＋C)＝－eq\f(11,14)，求cosC的值；〔Ⅱ〕假设a＝5，eq\o(\s\up7(→),AC)·eq\o(\s\up7(→),CB)＝5，求△ABC的面积．18．〔本小题总分值12分〕在等差数列{an}中，满足3a5＝5a8，Sn是数列{an}的前n项和．〔Ⅰ〕假设a1＞0，当Sn取得最大值时，求n的值；〔Ⅱ〕假设a1＝－46，记bn＝eq\f(Sn－an,n)，求bn的最小值．19．〔本小题总分值12分〕如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB＝90°，AB＝2AD．〔Ⅰ〕证明：PA⊥BD；〔Ⅱ〕假设PD＝AD，求二面角A-PB-C的余弦值．20．〔本小题总分值12分〕为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示．〔Ⅰ〕频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图〔如图〕，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数；〔Ⅱ〕在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁〞的人数为X，求X的分布列及数学期望．分组〔单位：岁〕频数频率[20，25)50.05[25，30)①0.20[30，35)35②[35，40)300.30[40，45]100.10合计1001.0021．〔本小题总分值13分〕如图，椭圆Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别是F1〔－c，0〕、F2〔c，0〕，Q是椭圆外的一个动点，满足|eq\o(\s\up7(→),F1Q)|＝2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点M在线段F2Q上，且满足eq\o(\s\up7(→),PM)·eq\o(\s\up7(→),MF2)＝0，|eq\o(\s\up7(→),MF2)|≠0．〔Ⅰ〕求点M的轨迹C的方程；〔Ⅱ〕设不过原点O的直线l与轨迹C交于A，B两点，假设直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围；〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕求解的结果，试对椭圆Γ写出类似的命题．〔只需写出类似的命题，不必说明理由〕22．〔本小题总分值14分〕函数f(x)＝ln(1＋x)－ax在x＝－eq\f(1,2)处的切线的斜率为1．〔Ⅰ〕求a的值及f(x)的最大值；〔Ⅱ〕证明：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)＞ln(n＋1)〔n∈N*〕；〔Ⅲ〕设g(x)＝b(ex－x)，假设f(x)≤g(x)恒成立，求实数b的取值范围．武汉市2023届高三4月调研测试数学〔理科〕试题参考答案及评分标准一、选择题：每题5分，总分值50分．1．D2．B3．B4．A5．D6．B7．C8．B9．A10．A二、填空题：每题5分，总分值25分．11．5012．[1，2]13．eq\f(4eq\r(,3),3)14．eq\f(－1±eq\r(,5),2)15．eq\f(9π,4)16．eq\f(eq\r(,3)－1,2)三、解答题：本大题共6小题，共75分．17．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕在△ABC中，由cos(B＋C)＝－eq\f(11,14)，得sin(B＋C)＝eq\r(,1－cos2(B＋C))＝eq\r(,1－(－eq\f(11,14))2)＝eq\f(5eq\r(,3),14)，∴cosC＝cos[(B＋C)－B]＝cos(B＋C)cosB＋sin(B＋C)sinB＝－eq\f(11,14)×eq\f(1,2)＋eq\f(5eq\r(,3),14)×eq\f(eq\r(,3),2)＝eq\f(1,7)．…………〔6分〕〔Ⅱ〕由eq\o(\s\up7(→),AC)·eq\o(\s\up7(→),CB)＝5，得|eq\o(\s\up7(→),AC)|·|eq\o(\s\up7(→),CB)|cos(180°－C)＝5，即abcosC＝－5，又a＝5，∴bcosC＝－1，①由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(a,sin(120°－C))＝eq\f(b,sin60°)，∴eq\f(5,eq\f(eq\r(,3),2)cosC＋eq\f(1,2)sinC)＝eq\f(b,eq\f(eq\r(,3),2))，即eq\r(,3)bcosC＋bsinC＝5eq\r(,3)，②将①代入②，得bsinC＝6eq\r(,3)，故△ABC的面积为S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×5×6eq\r(,3)＝15eq\r(,3)．……〔12分〕18．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕设{an}的公差为d，那么由3a5＝5a8，得3(a1＋4d)＝5(a1＋7d)，∴d＝－eq\f(2,23)a1．∴Sn＝na1＋eq\f(n(n－1),2)×(－eq\f(2,23)a1)＝－eq\f(1,23)a1n2＋eq\f(24,23)a1n＝－eq\f(1,23)a1(n－12)2＋eq\f(144,23)a1．∵a1＞0，∴当n＝12时，Sn取得最大值．…………………〔6分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕及a1＝－46，得d＝－eq\f(2,23)×(－46)＝4，∴an＝－46＋(n－1)×4＝4n－50，Sn＝－46n＋eq\f(n(n－1),2)×4＝2n2－48n．∴bn＝eq\f(Sn－an,n)＝eq\f(2n2－52n＋50,n)＝2n＋eq\f(50,n)－52≥2eq\r(,2n×eq\f(50,n))－52＝－32，当且仅当2n＝eq\f(50,n)，即n＝5时，等号成立．故bn的最小值为－32．……………………〔12分〕19．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕由∠ADB＝90°，可得BD⊥AD．因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BD．又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD，因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA．…………………〔4分〕〔Ⅱ〕建立如下图的空间直角坐标系D-xyz，设AD＝a，那么A〔a，0，0〕，B〔0，eq\r(,3)a，0〕，C〔－a，eq\r(,3)a，0〕，P〔0，0，a〕，eq\o(\s\up7(→),AB)＝〔－a，eq\r(,3)a，0〕，eq\o(\s\up7(→),BC)＝〔－a，0，0〕，eq\o(\s\up7(→),AP)＝〔－a，0，a〕，eq\o(\s\up7(→),PC)＝〔－a，eq\r(,3)a，－a〕．设平面PAB的法向量为n＝〔x，y，z〕，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(\s\up7(→),AB)＝0，,n·eq\o(\s\up7(→),AP)＝0。))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－ax＋EQ\R(,3)ay＝0，,－ax＋az＝0。))设y＝eq\r(,3)，那么x＝z＝3，可得n＝〔3，eq\r(,3)，3〕．同理，可求得平面PBC的一个法向量为m＝〔0，－1，－eq\r(,3)〕．所以cos＜m，n＞＝eq\f(m·n,|m|·|n|)＝－eq\f(2eq\r(,7),7)．由图形知，二面角A-PB-C为钝角，因此二面角A-PB-C的余弦值是－eq\f(2eq\r(,7),7)．…………………〔12分〕20．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕①处填20，②处填0.35；补全频率分布直方图如下图．根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)的人数为500×0.35＝175．…………〔4分〕〔Ⅱ〕用分层抽样的方法，从中选取20人，那么其中“年龄低于30岁〞的有5人，“年龄不低于30岁〞的有15人．由题意知，X的可能取值为0，1，2，且P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,,15),Ceq\o\al(2,20))＝eq\f(21,38)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,15),Ceq\o\al(2,20))＝eq\f(15,38)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,,5),Ceq\o\al(2,20))＝eq\f(2,38)＝eq\f(1,19)．∴X的分布列为：X012Peq\f(21,38)eq\f(15,38)eq\f(1,19)∴E(X)＝0×eq\f(21,38)＋1×eq\f(15,38)＋2×eq\f(2,38)＝eq\f(1,2)．………〔12分〕21．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕设M〔x，y〕为轨迹C上的任意一点．当|eq\o(\s\up7(→),PM)|＝0时，点〔a，0〕和点〔－a，0〕在轨迹C上．当|eq\o(\s\up7(→),PM)|≠0且|eq\o(\s\up7(→),MF2)|≠0时，由eq\o(\s\up7(→),PM)·eq\o(\s\up7(→),MF2)＝0，得eq\o(\s\up7(→),PM)⊥eq\o(\s\up7(→),MF2)．又|eq\o(\s\up7(→),PQ)|＝|eq\o(\s\up7(→),PF2)|〔如图〕，所以M为线段F2Q的中点．在△QF1F2中，|eq\o(\s\up7(→),OM)|＝eq\f(1,2)|eq\o(\s\up7(→),F1Q)|＝a，所以有x2＋y2＝a2．综上所述，点M的轨迹C的方程是x2＋y2＝a2．…………〔4分〕〔Ⅱ〕由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y＝kx＋m〔m≠0〕，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,x2＋y2＝a2．))消去y并整理，得(1＋k2)x2＋2kmx＋m2－a2＝0，那么△＝4k2m2－4(1＋k2)(m2－a2)＝4(k2a2＋a2－m2)＞0，且x1＋x2＝eq\f(－2km,1＋k2)，x1x2＝eq\f(m2－a2,1＋k2)．∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2．∵直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，∴eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2,x1x2)＝k2，即eq\f(－2k2m2,1＋k2)＋m2＝0，又m≠0，∴k2＝1，即k＝±1．设点O到直线l的距离为d，那么d＝eq\f(|m|,eq\r(,k2＋1))，∴S△OAB＝eq\f(1,2)|AB|d＝eq\f(1,2)eq\r(,1＋k2)|x1－x2|·eq\f(|m|,eq\r(,k2＋1))＝eq\f(1,2)|x1－x2||m|＝eq\f(1,2)eq\r(,m2(2a2－m2))．由直线OA，OB的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2a2且m2≠a2，∴0＜eq\r(,m2(2a2－m2))＜eq\f(m2＋(2a2－m2),2)＝a2．故△OAB面积的取值范围为〔0，eq\f(1,2)a2〕．…………………〔10分〕〔Ⅲ〕对椭圆Γ而言，有如下类似的命题：“设不过原点O的直线l与椭圆Γ交于A，B两点，假设直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，那么△OAB面积的取值范围为〔0，eq\f(1,2)ab〕．〞……………〔13分〕22．〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕函数f(x)的定义域为〔－1，＋∞〕．求导数，得f′(x)＝eq\f(1,1＋x)－a．由，得f′(－eq\f(1,2))＝1，即eq\f(1,1＋(－eq\f(1,2)))－a＝1，∴a＝1．此时f(x)＝ln(1＋x)－x，f′(x)＝eq\f(1,1＋x)－1＝eq\f(－x,1＋x)，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0；当x＞0时，f′(x)＜0．∴当x＝0时，f(x)取得极大值，该极大值即为最大值，∴f(x)max＝f(0)＝0．……………〔4分〕〔Ⅱ〕法〔一〕：由〔Ⅰ〕，得ln(1＋x)－x≤0，即ln(1＋x)≤x，当且仅当x＝0时，等号成立．令x＝eq\f(1,k)〔k∈N*〕，那么eq\f(1,k)＞ln(1＋eq\f(1,k))，即eq\f(1,k)＞lneq\f(k＋1,