2021年安徽省蚌埠市梅桥中学高三数学理测试题含解析

2021年安徽省蚌埠市梅桥中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于四点，四边形的面积为，则双曲线的离心率为A. B. C. D.参考答案：B本题主要考查双曲线与圆的性质，考查了圆锥曲线的位置关系与计算能力.双曲线的渐近线方程为,a=1,圆的方程为,将代入圆的方程可得交点坐标为,由四边形的面积为可得,则c=2，所以双曲线的离心率e=22.已知全集U=R，集合，则=

A．（0，2）

B．

C．

D．参考答案：C3.陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜”或“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，从前的制作材料多为木头，现代多为塑料或铁制，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，下图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网络纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，故所求几何体的体积，故选B.4.函数的图象大致为

A． B． C． D．参考答案：A5.下列四个命题中真命题的个数是（）①若y=f（x）是奇函数，则y=|f（x）|的图象关于y轴对称；②若logm3＜logn3＜0，则0＜m＜n＜1；③若函数f（x）对任意x∈R满足f（x）?f（x+4）=1，则8是函数f（x）的一个周期；④命题“在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件；⑤命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1＞0”A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由函数奇偶性的性质判断①；由对数函数的性质结合不等式判断②；由已知求出函数的周期判断③；由三角形中的边角关系、正弦定理及充分必要条件判定方法判断④；写出命题的否定判断⑤．【解答】解：①若y=f（x）是奇函数，则y=|f（x）|是偶函数，其图象关于y轴对称，故①正确；②若logm3＜logn3＜0，则＜0，∴lgn＜lgm＜0，则0＜n＜m＜1，故②错误；③若函数f（x）对任意x∈R满足f（x）?f（x+4）=1，则f（x+4）=，∴f[（x+4）+4]==，则8是函数f（x）的一个周期，故③正确；④在△ABC中，a＞b?A＞B?sinA＞sinB，∴命题“在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件，故④正确；⑤命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1≥0”，故⑤错误．∴真命题的个数是3个．故选：C．6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．12 B．11 C．10 D．9参考答案：B【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，依次计算运行的结果，直到满足条件T＞2016，即可得到n的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=2，x=2，y=2，s=4，T=4，执行循环体，n=3，x=4，y=4，s=8，T=12，执行循环体，n=4，x=8，y=6，s=14，T=26，执行循环体，n=5，x=16，y=8，s=24，T=50，执行循环体，n=6，x=32，y=10，s=42，T=92，执行循环体，n=7，x=64，y=12，s=76，T=168，执行循环体，n=8，x=128，y=14，s=142，T=310，执行循环体，n=9，x=256，y=16，s=272，T=582，执行循环体，n=10，x=512，y=18，s=530，T=1112，执行循环体，n=11，x=1024，y=20，s=1044，T=2156，满足条件T＞2016，退出循环，输出n的值为11．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题．7.如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，是上的一个动点，过点作平面平面，截棱锥所得图形面积为，若平面与平面之间的距离为，则函数的图象是（

）A．

B．

C.

D．[KS5UKS5UKS5U]参考答案：D8.双曲线﹣=1的顶点到渐近线的距离为（）A．2 B．3 C．2 D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得该双曲线的顶点坐标以及渐近线方程，进而由双曲线的对称性可知：无论哪个焦点到任何一条渐近线的距离都是相等的；由点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣=1，其中a==2，b=2，则其顶点坐标为（±2，0）；其渐近线方程为y=±x，即x±3y=0，由双曲线的对称性可知：无论哪个焦点到任何一条渐近线的距离都是相等的；则顶点到渐近线的距离d==；故选：D．【点评】本本题考查双曲线的简单几何性质，关键是利用双曲线的对称性，其次要利用其标准方程求出该双曲线的顶点坐标以及渐近线．9.若向量a与向量b的夹角为60°，且|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()A．2

B．4

C．6

D．12参考答案：【知识点】向量的模；平面向量数量积的运算.F2F3C

解析：（a+2b）?（a﹣3b）=|a|2﹣|a||b|cos60°﹣6|b|2=|a|2﹣2|a|﹣96=﹣72，∴|a|2﹣2|a|﹣24=0．∴（|a|﹣6）?（|a|+4）=0．∴|a|=6．故选C【思路点拨】分解（a+2b）?（a﹣3b）得|a|2﹣|a||b|cos60°﹣6|b|2，因为向量的夹角、已知，代入可得关于的方程，解方程可得．10.若x，y满足约束条件，设的最大值点为A，则经过点A和B的直线方程为（

）A． B． C． D．参考答案：A在直角坐标系中，满足不等式组可行域为：表示点到可行域的点的距离的平方减4．如图所示，点到点的距离最大，即，则经过A，B两点直线方程为．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式的常数项是

。参考答案：12.圆心在y轴上，且与直线2x+3y﹣10=0相切于点A（2，2）的圆的方程是．参考答案：x2+（y+1）2=13考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设圆心为A（0，b），则=，求出b，即可得出圆的方程．解答：解：设圆心为A（0，b），则=，∴b=﹣1，∴圆的方程是x2+（y+1）2=13．故答案为：x2+（y+1）2=13．点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆相切，求出圆心坐标是关键13.（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为

．参考答案：40【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a的值来，然后再由规律求出常数项【解答】解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40故答案为4014.在△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若则c=___________参考答案：,；由正弦定理，得，解得.考点：正弦定理.15.若的展开式的常数项是

．参考答案：516.（理）设为数列的前项和，若不等式对任意等差数列及任意正整数都成立，则实数的最大值为参考答案：略17.已知A={x|x＜﹣1或x＞5}，B={x|a≤x＜a+4}，若A?B，则实数a的取值范围是

．参考答案：a≤﹣5或a＞5【考点】子集与真子集．【专题】计算题．【分析】集合A是两部分组成，集合B是集合A的真子集分两种情况，一种在左边则有a+4≤﹣1；一种在右边则有a＞5．【解答】解：∵A={x|x＜﹣1或x＞5}，B={x|a≤x＜a+4}，若A?B∴a+4≤﹣1或a＞5解得a≤﹣5或a＞5故答案为：a≤﹣5或a＞5【点评】本题考查集合与集合的包含关系已知，求参数范围，关键是判断出两个集合的端点的大小，经验总结：A集开可取等号；A集闭，B集闭可取等号；A集闭，B集开，不取等号．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知中心在坐标原点、焦点在轴上椭圆的离心率，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

⑴求该椭圆的标准方程；

⑵设椭圆的左，右焦点分别是和，直线且与轴垂直，动直线轴垂直，于点，求线段的垂直平分线与的交点的轨迹方程，并指明曲线类型.参考答案：解：⑴依题意设所求椭圆方程为得：

①又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.即原点到直线的距离为，所以代入①中得所以，所求椭圆方程为.

…………6分

⑵由得、点的坐标分别为，，

设点的坐标为，由题意：点坐标为，因为线段的垂直平分线与的交点为，

所以

故线段的垂直平分线与的交点的轨迹方程是，

该轨迹是以为焦点的抛物线.…………12分19.已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．（Ⅱ）已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．参考答案：考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）根据题意和平方关系求出曲线C1的普通方程，由ρ2=x2+y2和题意求出C2的直角坐标方程；（2）法一：求出曲线C2参数方程，设P点的参数坐标，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）2，利用正弦函数的最值求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值；法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4，求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|）2，再求出（|PM|+|PN|）2的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值．解答： 解：（1）因为曲线C1的参数方程为（θ为参数），所以曲线C1的普通方程为，…由曲线C2的极坐标方程为ρ=2得，曲线C2的普通方程为x2+y2=4；…（2）法一：由曲线C2：x2+y2=4，可得其参数方程为，所以P点坐标为（2cosα，2sinα），由题意可知M（0，），N（0，）．因此|PM|+|PN|==+…则（|PM|+|PN|）2=14+2．所以当sinα=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…因此|PM|+|PN|的最大值为．…法二：设P点坐标为（x，y），则x2+y2=4，由题意可知M（0，），N（0，）．因此|PM|+|PN|=+=+…则（|PM|+|PN|）2=14+2．所以当y=0时，（|PM|+|PN|）2有最大值28，…因此|PM|+|PN|的最大值为．…点评：本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，两点间的距离公式，以及求最值问题，考查化简、计算能力．20.已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．

（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；（2）当0＜x＜y＜e2且x≠e时，试比较与的大小．参考答案：

(1）函数f（x）的导数f′（x）=a﹣．通过在x=1处取得极值，得出a=1；将f（x）≥bx﹣2恒成立，即（1﹣b）x＞lnx﹣1，将b分离得出，b＜1﹣，令g（x）=1﹣，只需b小于等于g（x）的最小值即可．利用导数求最小值．（2）由（1）g（x）=1﹣在（0，e2）上为减函数，g（x）＞g（y），1﹣＞1﹣，整理得＞，考虑将1﹣lnx除到右边，为此分1﹣lnx正负分类求解．

解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a﹣．∵函数在x=处取得极值，∴a=1，f（x）=x﹣1﹣lnx，∵f（x）≥bx﹣2，移项（1﹣b）x＞lnx﹣1，将b分离得出，b＜1﹣，令g（x）=1﹣，则令g′（x）=，可知在（0，e2）上g′（x）＜0，在（e2，+∞）上g′（x）＞0，∴g（x）在x=e2处取得极小值，也就是最小值．此时g（e2）=1﹣，所以b≤1﹣．（1）由（1）g（x）=1﹣在（0，e2）上为减函数．0＜x＜y＜e2且x≠e时，有g（x）＞g（y），1﹣＞1﹣，整理得＞①当0＜x＜e时，1﹣lnx＞0，由①得，＞当e＜x＜e2时，1﹣lnx＜0，由①得＜．

略21.（本题满分14分）已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上．（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，