第一方案一轮复习模拟试题直线平面垂直的判定及其性质

第9章第五节直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题(6×5分＝30分)1．已知直线a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：如图，α⊥β且a⊥α，b⊥β，∴a⊥b.当a⊥b时，a⊥α，b⊥β⇒α⊥β.答案：C2．(2022·浙江宁波调研)如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上 B．直线BC上C．直线AC上 D．△ABC内部解析：∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，且交线是AB.故平面ABC1上一点C1在底面ABC的射影H必在交线AB上．答案：A3．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AG⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°解析：对于A，∵BD∥B1D1，B1D1⊂平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1；对于B，∵AC1在平面ABCD上的射影是AC，而AC⊥BD，∴AC1⊥BD；对于C，同B可证AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，∴AC1⊥面CB1D1.对于D，连接A1D，则DA1∥CB1，∴∠ADA1等于异面直线AD与CB1所成的角，∴∠ADA1＝45°.答案：D4．(2022·西城模拟)已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a，在平面α内一定存在一条直线b，使得a与b()A．平行 B．相交C．异面 D．垂直解析：当a∥α时，显然存在b⊥a，当a与α斜交时，过a上一点A作AB⊥α于B，设a与α的交点为O，连OB，在α内过B作BC⊥OB，又∵AB⊥BC，∴BC⊥面AOB，而a⊂面AOB，∴存在b，使得a⊥b，当a⊥α时，显然存在b⊥a，综上可知，选项D正确．答案：D5．(2022·东莞一模)若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：对于①，α与β可能平行，故错．②③正确，故选C.答案：C6．(2022·漳州模拟)设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是()A．若a⊥b，a⊥α，则b∥α B．若a∥α，α⊥β，则a⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥α D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析：A中，b可能在α内；B中，a可能在β内，也可能与β平行或相交(不垂直)；C中，a可能在α内；D中，a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β.答案：D二、填空题(3×5分＝15分)7．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的即可)解析：∵四边形ABCD的边长相等，∴四边形为菱形．∴AC⊥BD，又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥面PAC，∴BD⊥PC.若PC⊥面BMD，则PC垂直于面BMD中两条相交直线．∴当BM⊥PC，PC⊥面BMD，∴面PCD⊥面BMD.答案：BM⊥PC(其它合理即可)8．(2022·合肥模拟)设m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α⊥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，m∥β，则α∥β④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是________．解析：①∵n∥α，∴过n的一个平面γ与α的交线n′∥n，又∵m⊥α，∴m⊥n′，而n′∥n，∴m⊥n，②∵α∥β，β∥γ，∴α∥γ，又∵m⊥α，∴m⊥γ.③m∥α，m∥β，则α与β可能平行，也可能不平行．④α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交．答案：①②9．(2022·长沙模拟)a、b表示直线，α、β、γ表示平面．①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a⊥b；④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；⑤若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.上述五个命题中，正确命题的序号是________．解析：对①可举反例如图，需b⊥β才能推出α⊥β.对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b不垂直．对④a只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线．所以只有②⑤是正确的．答案：②⑤三、解答题(共37分)10．(12分)(2022·池州一模)四面体ABCD中，AC＝BD，E、F分别是AD、BC的中点，且EF＝eq\f(\r(2),2)AC，∠BDC＝90°.求证：BD⊥平面ACD.证明：如图所示，取CD的中点G，连接EG、FG、EF.∵E、F分别为AD、BC的中点，∴EG綊eq\f(1,2)AC，FG綊eq\f(1,2)BD.又AC＝BD，∴EG＝FG＝eq\f(1,2)AC.在△EFG中，EG2＋FG2＝eq\f(1,2)AC2＝EF2.∴EG⊥FG.∴BD⊥AC.又∠BDC＝90°，即BD⊥CD，AC∩CD＝C，∴BD⊥平面ACD.11．(12分)(2022·漳州模拟)如图所示，已知△ABC是等边三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，且EC、DB在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE＝2BD.求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.证明：如图，取AC中点N，连结MN、BN，∵EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，∴EC∥BD.△ECA中，M、N分别是EA、CA中点，∴MN∥EC，且MN＝eq\f(1,2)EC.又∵EC＝2BD，∴MN∥BD且MN＝BD.∴四边形MNBD是平行四边形．∴MD∥BN.∵EC⊥平面ABC，且BN⊂平面ABC，∴EC⊥BN.∵正三角形ABC中，N是AC中点，∴BN⊥AC.又AC∩EC＝C，∴BN⊥平面ECA.∴MD⊥平面ECA.(1)∵MD⊥平面ECA，EA⊂平面ECA，∴MD⊥EA.∵EM＝MA，∴Rt△DME≌Rt△DMA.∴DE＝DA.(2)∵MD⊥平面ECA，MD⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.(3)∵MD⊥平面ECA，MD⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.12．(13分)(2022·东北六校一模)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明：(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC，因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所