向量数乘运算及其几何意义 教学设计

2．2.3向量数乘运算及其几何意义预习课本P87～90，思考并完成以下问题(1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？(2)向量数乘运算满足哪三条运算律？(3)向量共线定理是怎样表述的？(4)向量的线性运算是指的哪三种运算？eq\a\vs4\al([新知初探])1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.[点睛](1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算．(2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0.2．向量共线的条件向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.[点睛](1)定理中a是非零向量，其原因是：若a＝0，b≠0时，虽有a与b共线，但不存在实数λ使b＝λa成立；若a＝b＝0，a与b显然共线，但实数λ不唯一，任一实数λ都能使b＝λa成立．(2)a是非零向量，b可以是0，这时0＝λa，所以有λ＝0，如果b不是0，那么λ是不为零的实数．3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2eq\a\vs4\al([小试身手])1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)λa的方向与a的方向一致．()(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．()(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.()答案：(1)×(2)×(3)×2．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是()A．b＝2a B．b＝－C．a＝2b D．a＝－2b答案：A3．在四边形ABCD中，若＝－eq\f(1,2)，则此四边形是()A．平行四边形 B．菱形C．梯形 D．矩形答案：C4．化简：2(3a＋4b)－7a答案：－a＋8b向量的线性运算[例1]化简下列各式：(1)3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7[解](1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a向量线性运算的方法向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．[活学活用]化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)(2)eq\f(1,6)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(22a＋8b－44a－2b)).解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a(2)原式＝eq\f(1,6)(4a＋16b－16a＋8b)＝eq\f(1,6)(－12a＋24b)＝－2a＋4b.用已知向量表示未知向量[典例]如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.[解]由三角形中位线定理，知DE綊eq\f(1,2)BC，故＝eq\f(1,2)，即＝eq\f(1,2)a.＝＋＋＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝－eq\f(1,2)a＋b.＝＋＋＝eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)a－b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,4)a－b.用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．[活学活用]如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形．又＝eq\f(1,3)，＝eq\f(1,3)，试用a，b表示，，.解：∵＝eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)＝eq\f(1,6)(－)＝eq\f(1,6)(a－b)，∴＝＋＝b＋eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.∵＝eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，∴＝＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)(＋)＝eq\f(2,3)(a＋b)．∴＝－＝eq\f(2,3)(a＋b)－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.共线向量定理的应用题点一：判断或证明点共线1．已知两个非零向量a与b不共线，＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴，共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．题点二：利用向量的共线确定参数2．已知a，b是不共线的两个非零向量，当8a＋kb与ka＋2b共线时，求实数k解：∵8a＋kb与ka＋2b∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.∵a与b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－λk＝0，,k－2λ＝0，))解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.题点三：几何图形形状的判定3.如图所示，正三角形ABC的边长为15，＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,5)，＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)AC.求证：四边形APQB为梯形．证明：因为＝＋＋＝－eq\f(1,3)－eq\f(2,5)＋＋eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)＝eq\f(13,15)，所以∥.又||＝15，所以||＝13，故||≠||，于是四边形APQB为梯形．用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．层级一学业水平达标1．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝()A．eq\f(5,7)b B．－eq\f(5,7)bC．eq\f(7,5)b D．－eq\f(7,5)b解析：选Bb与a反向，故a＝λb(λ＜0)，|a|＝－λ|b|，则5＝－λ×7，所以λ＝－eq\f(5,7)，∴a＝eq\f(5,7)b.2．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c＝(A．5e B．－5eC．23e D．－23e解析：选C2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e3．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则()A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线解析：选B＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．4．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)，又＝t，则t的值为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,3)解析：选A由题意可得＝－＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)－＝eq\f(1,3)(－)＝eq\f(1,3)，又＝t，∴t＝eq\f(1,3).5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝()A．eq\f(1,3)a＋b B．eq\f(1,2)a＋bC．a＋eq\f(1,3)b D．a＋eq\f(1,2)b解析：选A由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝eq\f(1,3)AB，∴＝＋＝＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)a＋b.6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b∴x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3答案：4b－37．下列向量中a，b共线的有________(填序号)．①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－eq\f(2,5)e2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1－\f(1,10)e2))＝4b；④中，当e1，e2不共线时，a≠λb.故填①②③.答案：①②③8．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线且向量a，b是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，即(m－λ)a＋(mλ－2λ－3)b＝0，因为a与b不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝λ，,mλ－2λ－3＝0，))解得m＝－1或m＝3.答案：－1或39．计算：(1)eq\f(2,5)(a－b)－eq\f(1,3)(2a＋4b)＋eq\f(2,15)(2a＋13b)；(2)(2m－n)a－mb－(m－n)(a－b)(m，n为实数)解：(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(2,3)＋\f(4,15)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)－\f(4,3)＋\f(26,15)))b＝0.(2)原式＝2ma－na－mb－m(a－b)＋n(a－b)＝2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb＝ma－nb.10．已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．解：∵a与b是共线向量，∴a＝λb，∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λk＝2，,λ＝－1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,λ＝－1，))∴k＝－2.层级二应试能力达标1．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相同B．a与－λa的方向相反C．a与λ2aD．|λa|＝λ|a|解析：选C只有当λ>0时，a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，且|λa|＝λ|a|.因为λ2>0，所以a与λ2a2．已知O是△ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且2＋＋＝0，则()A．＝ B．＝2C．＝3 D．2＝解析：选A∵在△ABC中，D为边BC的中点，∴＋＝2，∴2(＋)＝0，即＋＝0，从而＝.3．已知向量a，b不共线，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b，且A，B，C三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为()A．λ1＝λ2＝1 B．λ1＝λ2＝－1C．λ1λ2＝1 D．λ1＋λ2＝1解析：选C∵A，B，C三点共线，∴＝k(k≠0)．∴λ1a＋b＝k(a＋λ2b)＝ka＋kλ2b又∵a，b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝k，,1＝kλ2，))∴λ1λ2＝1.4．已知平面内有一点P及一个△ABC，若＋＋＝，则()A．点P在△ABC外部 B．点P在线段AB上C．点P在线段BC上 D．点P在线段AC上解析：选D∵＋＋＝，∴＋＋－＝0，∴＋＋＋＝0，即＋＋＝0，∴2＝，∴点P在线段AC上．5．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k＝______.解析：∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝8λ，,2＝λk，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,k＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,k＝－4.))∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ＝－eq\f(1,2)，k＝－4.答案：－46.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，AN