名师教案 高中数学人教B版 必修 第二册 随机事件的独立性

5.3.5随机事件的独立性本节课是概率的第5节内容，安排在学习了古典概型，频率与概率的关系之后，统计和概率的综合应用之前。随机事件的独立性是概率论非常重要的概念之一，它的引进极大地推动了概率论的发展，概率论中很多重要地结论大都是在独立论地假定下获得的。对于高中阶段的概率知识来说，独立性的概念的引入，一方面很大程度上简化了多个事件同时发生的概率的求法，另一方面也为后续二项分布等的介绍做铺垫。不过，需要注意的是，随机事件的独立性是一个比较抽象的概念，要对独立性产生准确理解，并不是一件容易的事。本节课的教学重点是通过实例，让学生理解两个随机事件的独立性的意义，培养学生数学抽象的核心素养，并掌握相互独立事件的概率乘法公式，运用公式求事件的概率，提升数学运算，逻辑推理的核心素养.考点教学目标核心素养独立事件的定义结合实例，理解两个随机事件独立的意义，并会判断两个事件的独立性数学抽象、逻辑推理概率的乘法公式理解概率的乘法公式数学抽象、逻辑推理互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式掌握并综合运用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式解题逻辑推理，数学运算【教学重点】独立事件的定义、概率的乘法公式、互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式【教学难点】判断两个随机事件的独立性，互斥和独立的区别与联系引入：解答：如果用表示甲选的是第i天，乙选的是第j天，则样本空间可以记为：共包含6个样本点.又因为：因此，可以算出：知识点1：随机事件独立性的定义（1）一般地，当时，就称A与B相互独立（简称独立），事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.（2）如果事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立.（3）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．知识点2：独立事件的概率乘法公式（1）若A与B相互独立，则，同时，，;(2)若两两独立，则.例1.甲、乙两人各掷一个骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：甲得到的点数为2，B：乙得到的点数为奇数.（1）求，判断事件A与B是否相互独立；（2）求解：如果用表示甲得到的点数，乙得到的点数，则样本空间可以记为：而且这个样本空间可用如图直观表示.（1）不难看出，图中橙色框中的点代表事件A，绿色框中的点代表事件B因此，可以算出又因为，所以因为，所以A与B相互独立.(2)由A与B相互独立可知，与B也相互独立，因此：【解题方法】有两种方法判断两事件是否具有独立性(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．【变式练习】坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是()A．互斥的事件B．相互独立的事件C．对立的事件D．不相互独立的事件解析：∵P(A1)＝eq\f(3,5).若A1发生了，P(A2)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)；若A1不发生，P(A2)＝eq\f(3,4)，即A1发生的结果对A2发生的结果有影响，∴A1与A2不是相互独立事件．答案：D例2.(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B()A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥(2)掷一颗骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是()A．互斥但不相互独立B．相互独立但不互斥C．互斥且相互独立D．既不相互独立也不互斥解析：(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．(2)事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．所以P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．[答案](1)A(2)B【解题方法】随机事件互斥的区别与联系（1）二者都是刻画随机事件的关系（2）两事件互斥是指两个随机事件不会同时发生，此时两事件独立是指两个事件不相互影响，此时【变式练习】已知下列各对事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．今从甲、乙两组中各选一名同学参加游园活动．“从甲组中选出一名男生”与“从乙组中选出一名女生”．(2)一盒内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．“从8个球中任取1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取1个，取出的仍是白球”．(3)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任取1个，取出的是苹果”与“取出第一个后放回筐内，再取1个是梨”．其中为相互独立事件的有()A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)D．(2)(3)答案：B例3.已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8（1）若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少？（2）若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少？解：（1）记事件A：甲投中，B：乙投中，因为A与B相互独立，所以即都命中的概率为0.56（2）记事件：甲第i次投中，其中，则恰好投中一次，可能是第一次投中且第二次没投中，也可能是第一次没投中且第二次投中，即注意到与相互独立，且互斥，因此：【变式练习】甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是()A．p1p2B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)C．1－p1p2D．1－(1－p1)(1－p2)解析：恰好有1人解决可分为：甲解决乙没解决、甲没解决乙解决．这两个事件显然是互斥的．所以恰好有1人解决这个问题的概率为：p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选B.答案：B例4.某同学在参加一次考试时，有三道选择题不会，每道选择题他都随机选择了一个答案，且每道题他猜对的概率均为（1）求该同学三道题都猜对的概率；（2）求该同学至少猜对一道题的概率.解：记事件：该同学第i题猜对了，其中，则（1）三道题都猜对可以表示为，又因为相互独立，因此：（2）“至少猜对一道题“的对立事件时“三道都猜错”，后者可以表示为，所以：【解题方法】求P(AB)时注意事件A、B是否相互独立，求P(A＋B)时同样应注意事件A、B是否互斥，对于“至多”“至少”型问题的解法有两种思路：①是分类讨论；②是求对立事件，利用P(eq\x\to(A))＝1－P(A)来运算．【变式练习】1．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为eq\f(1,5)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，则此密码能译出的概率是()A.eq\f(1,60)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(59,60)解析：用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，则P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,4)，且P(eq\x\to(A)·eq\x\to(B)·eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))·P(eq\x\to(C))＝eq\f(4,5)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(2,5).∴此密码被译出的概率为1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).答案：C2．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是eq\f(1,2)，乙能解决的概率是eq\f(1,3)，2人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．解析：都未解决的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).问题得到解决就是至少有1人能解决问题，∴P＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(1,3)eq\f(2,3)例5.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．解析：如图所示，记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A、B、C.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(eq\x\to(A)·eq\x\to(B)·eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝[1－P(A)][1－P(B)]·[1－P(C)]＝(1－0.7)×(1－0.7)×(1－0.7)＝0.027.于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是1－P(eq\x\to(A)·eq\x\to(B)·eq\x\to(C))＝1－0.027＝0.973.即这段时间内线路正常工作的概率是0.973.【变式练习】(1)如图①添加第四个开关JD与其他三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．(2)如图②两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．①②解析：(1)[1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))]·P(D)＝0.973×0.7＝0.6811.(2)法一：P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＋P(ABC)＋P(ABeq\x\to(C))＝P(A)P(eq\x\to(B))P(C)＋P(eq\x\to(A))P(B)P(C)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(eq\x\to(C))＝0.847.法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除JC开且JA与JB至少有1个开的情况．则1－P(eq\x\to(C))[1－P(AB)]＝1－0.3×(1－0.72)＝0.847.小结：1.随机事件的独立性定义有两种方法判断两事件是否具有独立性(1)定义法：直接判定两个事件发