名师教案 高中数学人教B版 必修 第一册 函数的单调性

课程基本信息课题函数的单调性教科书书名：《普通高中教科书·数学（B版）·必修·第一册》出版社：人民教育出版社出版日期：2019年7月教学目标教学目标：通过本节的学习，初步了解增函数、减函数、函数的平均变化率的概念，掌握判断某些函数的增减性的方法，掌握用定义证明函数单调性的一般步骤。教学重点：（1）单调区间是定义域的子区间，对于单调性，首先要考虑函数的定义域；（2）用定义法判断或证明函数单调性的步骤.教学难点：（1）单调区间是定义域的子区间，对于单调性，首先要考虑函数的定义域；（2）用定义法判断或证明函数单调性的步骤.教学过程40分教学环节一、引入：二次函数：，当时，函数值随自变量的增大而减小；当时，函数值随自变量的增大而增大.反比例函数：，当时，函数值随自变量的增大而增大；当时，函数值随自变量的增大而增大.再看一个函数的图像：观察以上图像，按照函数值的增减与自变量的增减的关系，可以将这些区间分为两类：，，一类；，一类.那么，怎么用数学语言来刻画这个特点呢？二、新课讲解1．单调性定义一般地，设函数的定义域为，且：(1)如果对任意，当时，都有，则称在上是增函数(也称在上单调递增)，如图（1）所示；(2)如果对任意，当时，都有，则称在上是减函数(也称在上单调递减)，如图（2）所示.两种情况下，都称函数在上具有单调性（当为区间时，称为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）.由定义知，前面给出的例子中，二次函数的增区间为，减区间为；反比例函数的增区间为和，没有减区间.想一想：能否说在定义域内是增函数？为什么？注：(1)单调区间是定义域的子区间，对于单调性，首先要考虑函数的定义域。因此，单调性是函数的局部性质.(2)对于某个具体函数，单调区间可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域的一部分(如二次函数)，也可以没有单调区间(如常函数).(3)函数的单调性是对于区间而言的，对于某一点无所谓单调性。为了统一起见，单调区间一般均取闭，除非端点无定义。(4)单调区间一般不能取并。如函数的增区间为和，但不能说其增区间为。因为，若取，，则。于是，这与单调递增矛盾.例1．判断函数的单调性，并证明。解：任取且则，那么所以，这个函数在上是增函数.在这个例题中，由不等式的知识得到：因为，所以，即2．最值的定义一般地，设函数的定义域为，且：如果对任意，都有，则称的最大值为，而称为的最大值点；如果对任意，都有，则称的最小值为，而称为的最小值点。最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.不难看出，如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，则可利用函数的单调性求出函数的最值点和最值.如例1，函数是单调增函数，因此，当时，有，从而这个函数的最小值为，最大值为.3．函数的平均变化率我们已经知道，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，这一结论当然也成立.一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，当时，称.为直线的斜率；当时，称直线的斜率不存在.直线的斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度.若记，相应的，则当时，斜率可记为.下面我们用直线的斜率来研究函数的单调性.由函数的定义可知，任何一个函数图像上的两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在.由图像可以看出，函数递增的充要条件是其图像上任意两点的连线的斜率都大于0，函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0.一般地，若是函数的定义域的子集，对任意且，记（即），则：（1）在上是增函数的充要条件是在上恒成立；（2）在上是减函数的充要条件是在上恒成立.一般地，当时，称为函数在区间上的平均变化率.例2.求证：函数在区间和上都是减函数.证法2：设，那么.如果，则，此时，所以函数在上是减函数.同理，函数在上也是减函数.例3.判断一次函数的单调性.解：设，那么因此，一次函数的单调性取决于的符号：当时，一次函数在上是增函数；当时，一次函数在上是减函数.例4.证明函数在上是减函数，在上是增函数，并求这个函数的最值.证明：设，则因此：当时，有从而，因此在上是减函数；当时，有从而，因此在上是增函数.由函数的单调性知，函数没有最大值；而且，当时，有，当时，不等式也成立，因此是函数的最小值.试试用类似的方法判断并证明二次函数的单调性，并求它的最值.（1）当时，在上单调递_____，在上单调递_____，函数没有最_____值，但有最____值________________；（2）当时，在上单调递_____，在上单调递_____，函数没有最_____值，但有最____值_________________.三、总结用定义证明函数的单调性的基本步骤：(1)在定义域的子区间内任取，且;(2)对和进行作差，记作；(3)对差进行变形、因式分解；(4)判断差的符号；(5)得出结论.用平均变化率的正负性证明函数单调性的