优选教案：高中数学人教A版 必修 第一册 《函数的概念》

课程基本信息课题函数的概念教科书书名：普通高中教科书数学必修第一册A版出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教学目标教学目标：

能用集合-对应的语言描述函数的概念，初步理解函数的抽象符号表示，了解函数的三要素；在初中变量说的基础上，能归纳抽象出函数的概念，认识函数的本质；经历函数概念的抽象过程，培养学生的数学抽象素养.教学重点：在学生初中已有函数认识的基础上，通过实例归纳概括出函数的基本特征（要素），用集合与对应的语言建立函数的概念.教学难点：从实例中抽象出本质特征，并用抽象的符号去表达.教学过程时间教学环节主要师生活动1分钟一.温故知新引导语：在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.(1)正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x，而且对于每一个确定的x，都有唯一确定的l与之对应，所以l是x的函数，这个函数与正比例函数y=4x相同吗？为什么？(2)你能用已有的函数知识判断y=x与是否相同吗？为什么？要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念.12分钟二．函数概念的抽象今天从高中数学角度重新再认识函数，首先我们看实际生活中的几个问题.问题1：请同学们根据如下情境回答问题：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.（1）这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系如何表示？这是一个函数吗？为什么？（2）如果有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗？（3）你认为如何表述S与t的对应关系才更精确？师生活动：教师给出问题后让学生先独立思考并写出回答要点，再小组交流，并提醒学生先不要看教科书．让学生分组收集并归纳问题的回答要点，并将要点反馈给老师（有条件的学校可以利用信息技术平台收集与呈现学生的回答要点），教师在全班交流的基础上进行适当点评.学生对问题（3）可能会有困难，教师可以在学生回答的基础上给出精确表述的示范.设计意图：问题（1）是为了让学生回顾初中所学函数概念，学生们对解析式S=350t并不陌生，并且容易说明对确定时刻t有唯一的路程S与之对应.用“是否满足定义要求”来回答问题（1）；但在初中，并不强调变量t和函数S的变化范围.因此安排了问题（2），目的是要激发认知冲突，引导学生发现其中的不严谨；问题（3）是为了让学生关注到t的变化范围，并尝试用精确的语言表述.问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？你能仿照问题1中对S与t的对应关系的精确表示，给出这个问题中w与d的对应关系的精确表示吗？追问：问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？师生活动：学生阅读题目后，自主回答.设计意图：问题（1）是引导学生使用不同的表示方法，例如表格的形式：解析式w=350d；等等.问题（3）是让学生模仿问题1的方法给出描述，既让他们熟悉表述方法，又训练抽象概括能力.通过追问，使学生进一步关注到定义域、值域问题.问题3：图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）变化图.（1）如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数（AQI）的值I？（2）你认为这里的I是t的函数吗？如果是，你能仿照前面的方法描述I与t的对应关系吗？师生活动：给学生适当时间阅读思考.有些学生可能认为I不是时间t的函数，对此可进行如下追问.追问：（1）你能根据图3.1-1找到中午12时的AQI的值吗？这个值是否唯一存在？（2）对于数集中的任意一个值t，你会用什么方法寻找此时对应的I值？在追问的基础上，教师阐释：因为对于数集中的任意一个值t，都有唯一确定的AQI的值与之对应，所以我们可以根据初中所学的函数定义，得出I是t的函数，而且还可以断定I的取值范围也是确定的，不过从图中我们不能确定这个范围.如果我们设I的取值范围为C，那么从图中可以确定，.这样我们可以把I与t的对应关系描述为：对于数集中的任一时刻t，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集中都有唯一确定的AQI的值I与之对应，因此I是t的函数.设计意图：学生根据图象描述对应关系有困难，特别是在值域不能完全确定时，通过引入一个较大范围的集合，使函数值“落入其中”，这是学生经验中不具备的.实际上，如果用映射的观点看，这时的映射就是非满射.为此，在问题（1）之后，先让学生认可图象表示一个函数，然后再通过教师讲解，给出对应关系的描述方法，从而化解难点.这里，只要学生能够理解I是t的函数，并能够接受这种描述方式就可以了.问题4：国际上常用恩格尔系数r反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.表3.1-1我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？为什么？如果是，你能仿照前面的方法给出精确的刻画吗？如果我们引入，将对应关系表述为“对于任意一个年份y，都有中唯一确定的r与之对应”，你认为有道理吗？师生活动：先让学生思考，然后通过举手表决的方式对“恩格尔系数r是年份y的函数吗”进行“是”与“不是”的选择性投票，教师根据投票情况进行点评，从而解决问题（1）.让学生不看教科书，分组练习用集合与对应的语言刻画函数，并让学生代表发言，教师给予点评，从而解决问题（2）.学生给出的函数值取值范围可能是表中r的10个值，教师在肯定的基础上进行引导：根据恩格尔系数的定义，r的取值范围是，以为年份与所对应的r的值所在的集合更具有一般性.设计意图：与问题3的情况类似，学生对用表格表示的对应关系是否为函数关系的判断存在疑惑，通过问题引导学生思考，教师再作适当讲解，从而使学生接受.另外，对于函数值所在的集合的合理性，以教师从恩格尔系数的定义的角度进行解释即可.问题5：上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数的本质特征吗？师生活动：给学生充分的思考时间，引导学生重新回顾用集合与对应的语言刻画函数的过程.如果学生归纳、概括有困难，可以给出如下的表格帮助学生思考.教师引导学生得出它们的共同特征：（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.在上述归纳的基础上，教师先讲解：事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法，为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系，然后给出函数的一般概念，并解释函数的记号y=f(x)，xA.设计意图：让学生通过归纳四个实例中函数的共同特征，体会数学抽象过程，概括出用集合与对应语言刻画的一般性函数概念.在此过程中，要突破“从实例中抽象出本质特征，并用抽象的符号去表达”这一教学难点，突出“在学生初中已有函数认识的基础上，通过实例归纳概括出函数的基本特征（要素），用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点.3分钟三.函数概念的理解问题6：如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述这些函数？师生活动：在学生思考后，教室用一次函数与二次函数进行示范，学生用反比例函数进行练习.学生完成教科书中练习的第3题，教师对学生的共同出现的问题之处进行点评.设计意图：用函数定义重新认识已学函数，加深对函数定义的理解，进一步体会定义域、对应关系、值域是函数的三个要素.5分钟四.函数概念的巩固应用问题7：例1.函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反应的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如，正比例函数y=kx（k≠0）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系，一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等.试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x（10-x）来描述.师生活动：在学生思考后，教师以例1进行示范．若学生学习基础好，则让他们完成教科书例1后“探究”栏目的问题；若学生基础一般，则要求他们完成教科书练习第4题.设计意图：让学生在完成例1的过程中，进一步体会函数模型应用的广泛性，加深对函数概念的理解.4分钟五．课堂小结、布置作业教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答下列问题：什么是函数？其三要素是什么？对于对应关系f，你有哪些认识？与初中学习过的函数概念相比，你对函数又有什么新的认识？本节课我们是怎样得到函数概念的？结合本节课的学习，你对如何学习数学又有什么体会？师生活动：教师出示问题后，先由学生思考后再进行全班交流，最后老师再进行总结.要强调如下几点：函数的定义是判断一个对应关系是不是函数的标准；要通过具体例子理解函