高考理科数学全国二卷真题版

............2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ）(青海、西藏、甘肃、贵州、内蒙古、新疆、宁夏、吉林、黑龙江、云南、辽宁、广西、海南等)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={-2,-1,0,1,2}，B={X|（X-1）（X+2）<0}，则AB=（）A．{-1,0}B．{0,1}C．{-1,0,1}D．{0,1,2}2.若a为实数，且（2+ai）（a-2i）=-4i，则a=（）A．-1B．0C．1D．23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关4.已知等比数列{错误!未找到引用源。}满足错误!未找到引用源。=3，错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=21，则错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=（）A．21B．42C．63D．845.设函数f（x）=错误!未找到引用源。则f（-2）+f（错误!未找到引用源。）=（）A．3B．6C．9D．126.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．错误!未找到引用源。B．错误!未找到引用源。C．错误!未找到引用源。D．错误!未找到引用源。7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1，-7）的圆交y轴于M，N两点，则IMNI=（）A．2错误!未找到引用源。B．8C．4错误!未找到引用源。D．108.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90o，C为该球上的动点，若三棱锥O-ABC的体积最大值为36，则球O的表面积为（）A．B．C．D．14.若x，y满足约束条件A．36πB．64πC．144πD．256π10.如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，A．B．C．D．14.若x，y满足约束条件11.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A．5B．2C．3D．212.设函数f’(x)是奇函数f(x)(x错误!未找到引用源。R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf’(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（）A．（错误!未找到引用源。，-1）∪（0,1）B．（错误!未找到引用源。，0）∪（1,+错误!未找到引用源。）C．（错误!未找到引用源。，-1）∪（-1,0）D．（错误!未找到引用源。，1）∪（1,+错误!未找到引用源。）填空题13.设向量a,b不平行，向量λa+b与a+2b平行，则实数λ=，则z=x+y的最大值为15.(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=16.设S是数列｛a｝的前n项和，且a1,ass，则S= n n 1 n1 nn1 n解答题17.△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍sinB求sinC若AD=1，DC=2，求BD和AC的长2218.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机抽查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果互相独立。根据所给的数据，以事件发生的频率作为响应事件的概率，求C的概率19.如图，长方形ABCDABCD中，AB=16，BC=10，AA8,点E,F分别在AB,DC111111111上，AEDF4.过点E,F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. 1 1（Ⅰ）在途中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值。20.已知椭圆C:9x2+y2=M2(m>0),直线l不过圆点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M。（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；m（Ⅱ）若l过点（,m）,延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边3形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。.............21.设函数f(x)=emx+x2-mx.（1）证明：f(c)在（-，0）单调递减，在（0，+）单调递增；（2）若对于任意x1，x2[-1,1]，都有︱f(x1)-(x2)︳e-1,求m的取值范围。22.选修4—1：几何证明选讲如图，O为等腰三角形ABC内一点，⨀O与△ABC的底边BC交于M,N两点，与底边的高AD交于点G，切与AB，AC分别相切与E，F两点。（Ⅰ）证明：EF∥BC；（Ⅱ）若AG等于O的半径，且23AEMN，求四边形EBCF的面积。23.选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线1C：cos,sin,xtyt（t为参数，t0），其中0<在以错误!未找到引用源。为极点x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线错误!未找到引用源。：错误!未找到引用源。=2sin错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。：错误!未找到引用源。=23cos.（Ⅰ）求错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。交点的直角坐标；（Ⅱ）若错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。相交于点错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。相交于点错误!未找到引用源。,求|错误!未找到引用源。|的最大值24.选修4-5：不等式选讲设,b,c,d均为正数，且+b=c+d，证明：（Ⅰ）若b>cd,则+b>c+d；（Ⅱ）+b>c+d是|-b|<|c-d|的充要条件。2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)《理科数学》试卷参考答案一、选择题1.A解析过程：x1x20解得2x1，Bx2x1，AB1,0.2.B解析过程：2aia2i2a2aa24i4i，a244解得a0.3.D解析过程：由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关4.B解析过程：aaaaaq2aq431q2q4211 3 5 1 1 11q2q47，整理得q23q220解得q22aaaaq2aq4aq6 3 5 7 1 1 1aq21q2q43274215.C解析过程：f21log223,2flog122log21212log23log2412log23log222log266,22f2flog129.26.D解析过程：.... .......1 1如图所示截面为ABC，设边长为a，则截取部分体积为S DBa3， 3ADC 61 a3 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为6 111a35 6 7.C解析过程： 19D3EF0 D2 由题可得1044D2EF0，解得E4， 149D7EF0 F20所以圆方程为x2y22x4y200，令x0，解得y226，所以MN226226468.B解析过程：输入a14,b18第一步ab成立，执行ab，不成立执行bba18144第二步ab成立，执行ab，成立执行aab14410，第三步ab成立，执行ab，成立执行aab1046第四步ab成立，执行ab，成立执行aab642第四步ab成立，执行ab，不成立执行bba422第五步ab不成立，输出a2.选B9.C解析过程： 1 11 1设球的半径为r，三棱锥OABC的体积为VS hr2hr2h， 3ABO 32 61点C到平面ABO的最大距离为r，r336，解得r6，6球表面积为4r2144.10.B解析过程：由已知得，当点P在BC边上运动时，即0x时，4PAPBtan2x4tanx；3当点P在CD边上运动时，即x,x时， 4 4 2 1 2 1 2PAPB 11 11， tan2x tan2x当x时，PAPB22；23当点P在边DA上运动时，即x时，4PAPBtan2x4tanx，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线x对称，2且ff，且轨迹非线性，故选B4211.D解析过程：x2y2a0,b0，设双曲线方程为1a2b2如图所示，ABBM，ABM120，过点M作MDx轴，垂足为D.在RtBMD中，BDa,MD3a，故点M的坐标为M2a,3a，4a23a2代入双曲线方程得 1，化简得a2b2，22222c22222cabaa所以e 2.故选D12.A解析过程：记函数gxfx，则gxxfxfx，x x2因为当x0时，fxfx0，故当x0时，gx0，所以gx在0,单调递减；又因为函数fx是奇函数，故函数gx是偶函数，所以gx在,0单调递减，且g1g10．当0x1时，gx0，则fx0；当x1时，gx0，则fx0，综上所述，使得fx0成立的x的取值范围是,10,1，故选A.二、填空题113.2解析过程：x 1设abxa2b，可得 ，解得x. 12x 2314.2解析过程：如图所示，可行域为ABC，直线yxz经过点B时，z最大..............x1 x2y0 13联立 解得1，所以z1. x2y20 y2 max 2215.3解析过程：ax1x4C0aC1axC2ax2C3ax3C4ax4 4 4 4 4 4C0xC1x2C2x3C3x4C4x5，44444所以C1aC3aC0C2C432，解得a3. 4 4 4 4 4116.n解析过程： 1 1aSSSS，=1n1n1nnn1SSn n11 1 1即1，是等差数列，SS Sn1 n n11n11n1n即S1.S S n n n 1三、解答题117.（Ⅰ）（Ⅱ）BD2，AC12解析过程：（Ⅰ）如图所示，1由题意可得S ABADsinBAD， ABD 21SADC2ACADsinCAD，S 2S ,BADDAC， ABD ADC sinB AC 1AB2AC， . sinC AB 2 1 1 2（Ⅱ）设BC边上的高为h，则S BDh2S 2h， ABD 2 ADC 22解得BD2，设ACx,AB2x，14x212 x21则cosBAD，cosDAC 2. 4x 2x1x214x212cosDACcosBAD 2，解得1x解得1x或1x（舍去）.1AC.18.（Ⅰ）如图所示.通过茎叶图可知A地区的平均值比B地区的高，A地区的分散程度大于B地区.（Ⅱ）记事件不满意为事件A，B，满意为事件A，B， 1 1 2 2非常满意为事件A，B.则由题意可得 3 3PA4,PA12PA4,PB10,PB8,PB220 2 20, 3 20 1 20 2 20 3 20则PCPAPBPAPBPB.1 3 1 2121041081220202020202519.（Ⅰ）如图所示（Ⅱ）建立空间直角坐标系.由题意和（Ⅰ）可得A10,0,0,F0,4,8,E10,4,8,G10,10,0则AF10,4,8,EF10,0,0,EG0,6,8.设平面EFHG的一个法向量为nx,y,z，nEF010x0则 即 ，nEG06y8z0解得x0，令y4,z3，则n0,4,3所以直线AF与平面所成角的正弦值为 AFn 1624 22sincosAF,n . AFn 1001684169 520.（Ⅰ）设直线l的方程为ykxb,k0，点Ax,y,Bx,y， 11 2 2xxyyykxb则M12,12.联立方程，229x2y2m2消去y整理得9k2x22kbxb2m20（*） 2kb 2kb 18b所以xx,yyk2b，1 2 9k2 1 2 9k2 9k2yy所以kOM•kAB12x2•k918bk2•9k2•k9.x1 2 2kb2............m1km3k（Ⅱ）假设直线l存在，直线方程为ykx,b. 3 3设点Px,y，则由题意和（Ⅰ） p p 2kb 18b可得xxx,yyy，因为点P在椭圆上，p 1 2 9k2 p 1 29k2所以92kb218b2m2，整理得36b2m29k2，9k29k2即36m3k2m29k2， 3 化简得k28k90，解得k47，有（*）知4k2b249k2b2m20，验证可知k47都满足.21.（Ⅰ）因为fxemxx2mx，所以fxmemx2xm，fxm2emx20在R上恒成立，所以fxmemx2xm在R上单调递增.而f00，所以x0时，fx0；所以x0时，fx0.所以fx在,0单调递减，在0,单调递增.（Ⅱ）有（Ⅰ）知fxf01，min当m0时，fx1x2，此时fx在1,1上的最大值是2.所以此时fxfxe1. 1 2当m0时，f1em1m，f1em1m令gmf1f1emem2m，所以gmemem20所以gmf1f1emem2m在R上单调递增.而g00，所以m0时，gm0，即f1f1.所以m0时，gm0，即f1f1当m0时，fxfxf11emme1m1 1 2当m0时，fxfxf11emmemm 1 2e1m11m0所以，综上所述m的取值范围是1,122.（Ⅰ）如图所示，连接OE,OF，则OEAB,OFAC即AEOAFO90.因为OEOF，所以OEFOFE，所以AEF90OEF,AFE90OFE，即AEFAFE.因为AEFAFEEAF180，所以AEFAFE1180