迎春杯分类计数与数论标准答案及详解

迎春杯类计数与论答案及详国象棋中“马”的走法如图1所，位于○位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日果“马”在8×的际象棋棋盘中位于第行第二2中有△的位置第八行第五图2中有★的位置短路线有条。（）给你一天平和两个砝码，这两个砝码分别重50克和克，如果再上3个码，则这5个砝码能称出的重量种类最多是种.天平的左右两盘均可放砝码）【答案】【解析】只有，100两种砝码，可以组的重量50，，150即：3种当加入砝码a，可以组成的重量：是50，，150分加减a，还有50100本，还要有a，所以此时有：3×种再加入一枚砝码，同理：有103+1=31种，再加一枚：为×3+1=94种.分析教师：辛洪涛将下图的2007成若干个×2的长方形，共有种分.【答案】【解析】从右下角，观察发现，从右向上只有唯一的分法，右面的区域只有唯一的情况事上只有左边和中间的两块有选择余地左边有5情况，中间有3种况所以一共就有53=15种已九位数□eq\o\ac(□,12)2既的数，又是倍数；那么，这个九位数是。将～9填下算式数字只能用一次么满足条件的正确填法共有□＋□□＋□□□＝□□□□

种。

因为3个加数只有一个达到三位所以结果的千位只能1各位可能的进位最多2，所以十位上的和最大9+8+2=19进位不超1所加数中三位数的百位只能9同时结果中的百位只能0，因为十位必须要向百位进一位，且个位三位数之和最小9最大为1且不满足题意，所以个位数必向十位进1。因十位的数字组合只能为（3，，7，8，，7）（，，，，）一枚举5数可行：十位（3，8位4，5，十位（，位3，，位，8位2，，7位6，位2，4，7位78位34组可能的组合21×××种故正确填法共有2×5=60种。有10个数克的砝码（允许砝码重量相同中个或几个放在天平的右边，待称的物品放在天平的左边，能称出1，2，3，„200的所有整数克的物品来；那么，这个砝码中第二重的砝码最少是克【案18【解析】首先此题是一道关于砝码的计数问题，涉及到最值问题和对称原理从最后所求进行分析要求第二的砝码最少无进行直接突破使用的是最值原理的重点思路之一：从反面考虑。第二重砝码最少，那么就应该使其他的砝码尽量大。分析10个码的总重量很显然应该是中最重的砝码应该最大是100因为如果有超过100克的砝码克物品就无法称出。这样其他9个砝码总和应该是克。根据对称原理，只要惩处1克的就可以称出199的（只要在克相应的拿出1克的就可以以只要能称出1100克就可以称出101199克同理，要能称出1到100克，只要能称出1到50克可以，所以要称出克，就应该有1克，克，4克8克16克18克，样离200克差51克同时还差个砝码，把51平均分成三份，所以每个砝码应该是，样得到10个码，分别是81617171718，100，所以第二种的砝码至少应该是18克。一棋子被摆成了一个四层的空心方阵（右图是一个四层空心方阵的示意图来林又添入个子，这些棋子恰好变成了一个五层的空心方阵（不能移动原来的棋子么开始最少有个子．【答案】【解析】将四层空心方阵变成五层空心方阵有三种方法：1、在最外层增加一圈则五层方最外层至少有40枚子所以不符合题意；2、在最内层增加一圈则最外层有8×4+28=60枚子，最开始应有60+52+44+36=192枚棋子；3、在最内层增加一行一列，在外层的另外两个方向也增加一行一列，那么五层方阵最内层边长为x层长为×2=x+8增棋子（x+8-1=4x+124x+12=28，解得x=4，最外层边长，有棋子12-(4-2)-28=112，所以最开始最少有112个子。将枚子放入右侧编号的×表的格子中，每个格子最多放一枚，如果要求每每列都有棋子．那么共有种不同放法．

432【解析】本题采用分类、分步讨论将枚子放入×的格中以发现不论怎么放一定会2个棋子在一条直线上的情形，所以我们不妨先从2棋子开始放，选定一行4种选法，

23467810然后在一行中选2个格子，2，有

24

种选法，故填完2个共线棋子有4×6=24种法。如右图示例，接下来我们填第三枚棋子，第三枚棋子填入后又会有种情形出现：第枚棋子2个△所在的列线：那么第三枚棋子共有个子可以填，6种填法。

△△而最后枚子只可能成对填2圆圈或个□中，

△

△则此类情况共

14

24

16

288

种

△

○

□第枚棋子与前个所在的列不共线那么第三枚棋子也有种法，而最后2枚棋子必须填入同一列，

□

○△△△△△△

共有C1214446

种○○

答案288+144=43210.对由1~5组的无重复数字的五位数，如果它的首位数字不是，那么可以进行如下的一次置换操作：记首位数字为k则将数字k与位上的数字对换．如可以进行两次置换：→42513→．可以进行4次换五位数有个【答案】【解析】经过4次置换后最后结果必12345，以可进4次换的五位数可由2345进行次位与其他位的调换得到规则为从首上调换出的数不能再与首位调换么样的调换方法共有

4

种，即可进4次换的五位数2个。

一五位数恰好等于它各位数字和的2007倍则这个五位是36126或54189

4.在上写着一列自然数12„次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后例如一次操作后得到，，„，，；两次操作后得到7，，„，，6，15.样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是.4950有4个同的数字共可组成不同的位数将这个同的4位由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数，则这个中最大的数是.9810有个同的数字共可组成18个同的4位。将这个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数。那么这个数的平均数是：。如两个合数互质，它们的最小公倍数是，那么它们的和是23从1,2,3,4,5,6中取若干数，使得它们的和是的数，但不是5的数．那么共有种不同的选取方法．19取出的和的可能为3、6、、、、21。和为3的1+2、，共种和为6的1+5、2+4、1+2+3、，4种；和为的3+6、、1+2+6、1+3+5、2+3+4，共5种于所有

数之和为21所和为12与和情况相（为12数即为除和为9之的数共5种，同理3的情相同，共2种和为21的种，此共有2+4+5+5+2+1=19种。9.将字4,5,6,7,8,9各用次，组成一个被667除的6位，那么，这个6位除以667的果是．【答案】【解析】因为

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是3的倍数所以此六位数是3和667的倍，且×667=2001，以此六位数是2001的倍数我们发现六位数中2001倍的征为：前三位是后三位的2倍。所以下面将六位数分成2段，据倍数关系验证即可，结果为956478.10.200名同学编为1至号向南站成一排．第1次体同学向右转（转后所有的同学面朝西2次号为2的倍数的同学向右转；第3次号为3的数的同学向右转；„„；第200次号为200的数的同学向右转；这时，面向的同学有名．【答案】【解析】因为开始所有人面向南，最后的结果是面向东，所以转3、11……次的人即为所求。根据题意有个约数就向转几次最面向东面的数必是奇数个数的倍数，即这个数的约数是奇数个，且个数为4n+3。哪些数的约数是奇数个呢？由于是奇数个约数，这些数一定是平方数。如的约数有1三个的约有三个的约有125三个…64的约数有1、、、、16、3264七个…但是：如平方数16既是1416的数，还是8的数，即16的约有5个不符合个数为4n+3这要求。所以要删除。以下这些数是最后面向东面的同学、、254964144169。8位学。11.在式eq\o\ac(□,B)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(△,))Ceq\o\ac(○,D)eq\o\ac(○,))中，eq\o\ac(□,,)eq\o\ac(□,)△eq\o\ac(○,,)表的是三个互不相同的四则运算符号（即加、减、乘、除BD是个互不相同的非零阿拉伯数字．如果无eq\o\ac(□,论)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(△,,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(○,,)体代表的是哪三个互不相同的四则运算符号，(A□)△(C○)的算结果都是整数．那，四位数ABCD是．【答案】9321【解析】本题中主要会出现非整数的原因就是÷的位置，所以只需要考虑÷出现在什么地方。当□是÷时，就需要A一定的数，同理C一定是D倍数，最后只要Aeq\o\ac(□,B)eq\o\ac(□,)的果也是Ceq\o\ac(○,D)eq\o\ac(○,)的倍数即可。本题严密的推理论证过程相对复杂为数字比较小妨用符合前一组条件的数枚举尝试便容易得到答案12.如一五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的倍．那么，这个五位数的最