量纲分析和相似理论

量纲分析和相似理论1.:

为了定量地描述某个物理量，就需要用一定的标准去衡量和表示。如果所取的标准不同，那么测得的结果也就不同。我们把所取的这个标准就称为单位。一是表示被测物理量的类型，二是表示测量的“尺度”。在实验中，各种物理量测量时需要选用适当的单位。如测量物体的长度，可选用米、厘米、毫米等单位，测量某段时间间隔可选用小时、分、秒等单位。尽管力学实验存在各种各样的物理量，但一般只需对其中三种基本物理量定出单位，其他物理量的单位可以由基本物理量的单位导出。基本物理量的单位称为基本单位，其物理量的单位称为导出单位。

1960SI

1)基本单位

第十一届国际计量大会（1954年）和第十四届计量大会，决定选取七个有严格定义的单位作为国际单位制的基本单位。这七个单位是：米(长度)﹑千克(质量)﹑秒(时间)﹑安培(电流强度)﹑开尔文(热力学温度)﹑摩尔(物质的量)和坎德拉(发光强度)，它们在量纲上是彼此独立的，这七个国际单位称为基本单位。2)导出单位

导出单位是借助乘和除的数字符号通过代数式用基本单位的表示。有些导出单位已具有专门名称和特有的代号，这些专门名称和代号本身又可以用来表示其它导出单位，从而比用基本单位表示更简单。

3)辅助单位

有些个别单位，国际计量大会尚未规定它们是属于基本单位还是导出单位，这些国际制单位被列为第三类，即所谓"辅助单位"，而且可以随意把它们当作基本单位或导出单位。这类单位目前只有两个，即平面角的国际制弧度和立体角的国际制球面度。

2.量纲：

是物理量的单位种类，又称因次。如长度、宽度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），用L表示。基本量纲和导出量纲：

基本量纲是具有独立性的量纲，在力学领域中有三个基本量纲：长度量纲L、时间量纲T、质量量纲M导出量纲由基本量纲组合表示，如：加速度的量纲[a]=LT-2

力的量纲[F]=[ma]=MLT-2任何物理量B的量纲可写成[B]=MLT。

无量纲量：指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量。例如角度，可以用弧长和半径的值来度量，其单位可用弧度表示。但由于与基本量纲无关，故角度是无量纲的。物理量量纲物理量量纲物理量量纲长度

[L]力

[MLT-2]力矩

[ML2T-2]时间

[T]能、功

[ML2T-2]惯性矩

[ML]质量

[M]功率

[ML2T-3]角速度

[T-1]面积

[L2]密度

[ML-3]角加速度

[T-2]体积

[L3]频率

[T-1]弹性系数[ML-1T-2]速度

[LT-1]压强

[ML-1T-2]加速度

[LT-2]应力

[M-1T-2]力学中常见物理量的量纲第二节量纲分析

量纲和谐性原理：量纲和谐性原理又被称为量纲一致性原理，也叫量纲齐次性原理。指一个物理现象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程中每项的量纲应该是和谐的、一致的、齐次的。物理方程量纲的均匀性：一个正确的物理方程，式中的每项的量纲应该相同，并应采用同一度量单位。物理方程量纲的齐次性：当量度单位改变时，方程的结构形式不变的性质。如果已知有哪些物理量参与某一物理现象，即可借助量纲分析方法导出某一物理现象的基本方程式，建立它们之间的一般关系。例如，已知物体做匀速圆周运动与物体质量M、圆半径R，线速度V及向心力F诸物理量有关，试求其关系。首先写出量纲表达式：这几个物理量的量纲是故有根据量纲齐次原则，必须使解得所以从而此即匀速圆周运动线速度公式。量纲的相互关系：两个物理量相等，不仅数值相等，且量纲也要相同。两个同量纲参数的比值是无量纲参数，其值不随所取单位的大小而变。导出量纲可和基本量纲组成无量纲组合，但基本量纲之间不能组成无量纲组合。一个完整的物理方程式中，各项的量纲必须相同,因此方程才能用加、减并用等号联系起来。——量纲和谐当度量单位改变时，方程的结构形式不变，即方程可以转换为无量纲综合数群间的关系。——量纲齐次力学分析理论计算实验研究原型试验模型试验模型试验是将发生在原型中的力学过程,在物理相似条件下，经缩小(或放大)后在模型上重演。对模型中的力学参数进行测量、记录、分析，并根据相似关系换算到原型中去，达到研究原型力学过程的目的。第三节相似理论

物理现象相似是指除了几何相似之外，在进行物理过程的系统中，在相应的地点（位置）和对应的时刻，模型与原型的各相应物理量之间的比例应保持常数。在两个系统中，所有向量在对应点和对应时刻方向相同、大小成比例，所有标量也在对应点和对应时刻成比例模型试验的优点：经济性好－模型尺寸小针对性强－突出主要因素，略去次要因素数据准确－室内试验模型试验的应用：代替大型结构试验或作为大型结构试验的辅助试验。作为结构分析计算的辅助手段。验证和发展结构计算理论。模型试验的理论基础——结构相似理论一、结构相似定理相似第一定理——牛顿（1786）彼此相似的现象，单值条件相同，其相似准数相同。单值条件：几何相似物理参数相似边界条件相似初始条件相似以牛顿第二定律为例来说明第一相似定理性质牛顿第二定律，即作用力F等于质量m与加速度a的乘积，其方向与加速度方向相同，即：对于第一现象对于第二现象若此两现象各物理量之间存在下列关系：分别为力、质量和加速度的相似系数上式表明，若两现象转变时不破坏原有方程式，则必须使令：若此两现象相似，必须使：上式表明其中两个相似系数任意选定后，第三个相似系数必须由上式决定，因此上式是判别现象相似的条件，称为“相似指标”。上式也可以写成另一种形式可以看出，对所有相似现象，其相似判据是相同的，它是一个不变量，因此，可以用相似判据，来确定两个相似现象中的物理量之间的关系。K称为相似准数。相似第一定理，也可以用文字归纳为，对于彼此相似的现象，其相似指标为1，或其相似判据为一不变量，或者说相似系统的相似准数相等。

上式表示彼此相似现象中的各物理量之间有一定关系，如去掉上标可写成一般形式，称为相似判据：小结:相似常数:在两相似现象中，两个相应的物理量为常数。对于与此两现象彼此相似的第三个现象中,可以具有不同的数值。相似指标:由彼此相似现象中各相似常数组成的无量纲量,彼此相似的现象都满足相似指标等于1的条件。相似准数:在所有相似的现象中是一个不变量，无量纲量,所有相似的系统相似准数应相等。确定相似准数有两种方法:方程分析法－已知描述物理过程的方程。量纲分析法－已知系统中相关的物理量而无法建立方程。2.相似第二定理

描述物理现象的方程式必须是量纲的齐次方程，因此我们用与方程各项相同量纲去除方程的各项，则该方程式可变为无量纲综合数群的方程形式。相似第二定理指出互相相似现象中，其相似判据可不必利用相似指标来导出，只要将方程转变为无量纲方程形式，无量纲方程各项即为相似判据。因表示现象各物理量之间的关系方程式，均可转变为无量纲方程形式，因此都可以写出相似判据方程式。举例如下：布金汉（Buckingham）定理设有一等截面直杆，两端受偏心拉力P，偏心距为l。已知杆中最大拉应力为无量纲方程为显然，模型实验中各物理量也应满足上式，于是有模型和实物的同类物理量应满足相似，即有为相似系数（c）(b)(a)将式（c）代入(b)式得到将上式与(a)相比较可知，若要两现象相似，必须使或者(d)式(d)称为相似判据，表明彼此相似现象的判据为不变量。它就是相似理论第二定理，也称为定理，即一个现象中各物理量之间的关系方程式都可以转换成无量纲方程，无量纲方程中的各项就是相似判据。因此描述一现象各物理量之间的关系方程式，都可转换成由相似判据组成的方程。写成一般形式得：3.相似第三定理（相似逆定理）

相似第三定理指出，在物理方程相同的情况下，如两个现象的单值条件相似，亦即从单值条件下引出的相似判据若与现象本身的相似判据相同，则这两个现象一定相似。相似第一、第二定理明确了相似现象的性质，它们是在假定现象相似为已知的基础上导出的，但是没有给出相似现象的充分条件。

单值条件，是指一个现象区别于一群现象的那些条件。属于单值条件的因素有：系统的几何特性、对所研究的对象有重大影响的介质特性、时间、系统的初始条件和边界条件等。（下标p表示实物，下标M表示模型）（2）时间相似：对于结构的动力问题，在随时间变化的过程中，要求模型与原型在对应时刻进行比较，要求相对应的时间成比例。在随时间变化的过程中，每一时刻都对应着一批确定的物理量。由于其总是在相同的时间基础上进行的，因此必须保持不变的时间比例关系（1）几何相似：两个系统的几何相似是指它们的对应边成比例、对应角相等。几何尺寸之比称为几何相似常数。在几何相似系统中，任何相应点（i点）的坐标应满足（3）物理参数的相似：对于弹性结构有影响的物理参数，有弹性模量E、泊松比密度等，在模拟时，应满足下列比例关系：（4）初始条件的相似：物理现象一方面取决于该现象的本质，另一方面也取决于它的初始条件，因此要求模型与原型在初始时刻的运动参数相似。包括初始几何位置、质点的位移、速度和加速度。模型上的速度、加速度和原型的速度和加速度在对应的位置和对应的时刻保持一定的比例，并且运动方向一致。（5）边界条件的相似：

在两个相似现象中，除了具有相同的基本方程外，还要求模型与原型在与外界接触的区域内的各种条件（支承条件、约束条件和边界上的受力情况等）保持相似。例如四周固支的板与四周简支的板，其处理方法是不同的。在物理方程相同的条件下，单值条件决定所研究过程中各物理量的大小。这时，单值条件相似就成为相似的充分条件。应该指出我们在叙述上面三个相似定理时，为了简便起见，没有采用微积分运算方程式，但此三个定理对微积分方程同样适用，例如：对于微分符号dx，我们可以看成x2-x1，因此dx与x具有同样的物理意义，在确定相似系数与相似判据时可不考虑微积分符号。此外还有载荷、质量相似等四、用方程式分析结构相似

对于物理量之间的关系方程式已经知道的问题，应用相似理论可以很容易求得模型与原型的相应物理量之间的关系式。现利用上述定律解决拉伸试件相似律的问题。拉伸试件的残余伸长由实验得知所以均匀伸长量局部伸长量或写为无量纲方程的各项就是相似判据，故相似判据为将相似系数代入，可得因此，用相同材料的比例试件代替标准试件进行拉伸试件，并要求得到相同的延伸率的话，则必须满足上式。对同种材料由于要求延伸率相同，故这样，拉伸试件的相似判据（拉伸试件相似率）应为标准圆试件标距与直径的比值为10或5，所以所以，比例试件应满足以上两式。在结构计算中，经常会遇到微分方程式，利用边界条件来求解时十分困难，而我们应用相似理论可以很容易建立判据方程，利用判据方程可得模型与原型之间诸物理量之间的关系，用模型测得结果换算成实际需要数值，所以用方程式来分析结构的相似条件，在这类问题中有实际价值。利用描述现象的基本微分方程组和全部单值条件来导出相似准数。具体步骤：写出现象的基本微分方程组和全部单值条件；写出相似常数的表达式；将相似常数表达式代入微分方程组进行相似转换，从而得到相似准数；用相同的办法，从单值条件方程中得到相似准数。当单值条件化为数值而无方程时，从单值条件得不出相似准数。例1：单自由度系统有阻尼受迫振动相似准数的导出。振动微分方程如下：

解：对于原型系统振动微分方程对于模型系统振动微分方程设模型和原形各物理量的相似常数为模型系统各物理量为将上式代入模型系统，得：与原型系统相比较，得：由上式得

若要模型与原型相似，根据相似第一定理，相似指标等于1。PLa则相似系统的结构相似常数为例2：一悬臂梁结构，在梁端作用一集中荷载P，截面高h，宽b,求相似准数。解：对于原型结构，在任意截面a处弯矩、正应力和挠度为：将以上各式代入原型系统方程，将上式并与模型系统相比较，得相似准数如下由相似条件得到原型受力分布解：相似系统的对应各物理量的相似常数为：例3：受均布载荷q′作用的简支梁在截面x处的挠度、弯矩和正应力如下，求相似准数。模型系统各物理量为原型系统方程模型系统方程将模型系统各物理量代入上式整理得则相似条件为相似第二定理也称为π定理，其一般形式可表述为：

如有n个物理量参与某一物理现象，并且其中有k个物理量量纲是彼此独立的，那么n个物理量之间的关系方程式可简化为(n-k)个无量纲乘积之间的关系方程式。五、用量纲分析法分析结构相似（π定理）

把表示物理过程的方程转换成由相似准数表示的方程。五、用量纲分析法分析结构相似（π定理）

假定一物理现象中有n个物理量，则其关系方程式可表示如下此方程可用级数形式表示：式中N为无量纲数。因为方程式必须是量纲的齐次方程各项同除以任意一项得如果上式中有m个互相独立的物理量可作为基本单位，设为基本单位，因此我们建立n-m个无量纲数群，称为项：为导出单位，以上诸式分子和分母的量纲相同，因此均为无量纲项，代入上式可得：上式又是无量纲方程，因此因为为基本单位，彼此无合并可能，的指数综合为零所以上式可写成由此定理可表达如下：所有的量纲齐次方程均可化为无量纲综合数群之和的形式，无量纲数群项的数目为n-m个，其中n为方程中不同物理量的数目，m表示彼此独立可作基本单位的物理量数目。例4：单自由度系统有阻尼受迫振动导出相似准数

解1：设现象中各物理量的关系方程如下：取m，y，t为量纲独立的物理量，有：各物理量的量纲：由无量纲量π1、π2、π3得比较可得所以由于π数对于相似的物理现象具有不变的形式，故模型设计时需模型物理量与原型物理量满足下式，即：将各物理量的相似常数代入上式，即得相似条件解2：设现象中各物理量的关系方程