矩阵位移法解连续梁

矩阵位移法解连续梁§3-1概述矩阵位移法是以结构力学原理为基础，以结点位移为基本未知量，借助矩阵进行分析，并用解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。理论基础：是传统的位移法；分析工具：矩阵代数；计算手段：一、方法的选择建立在手算基础上的超静定结构计算方法(力法、位移法、渐进法等)。当基本未知量较多时机算是很好的手段。机算方法要求计算过程规格化、程序化、自动化。分析过程公式紧凑、形式统一;根据计算中选取基本未知量的不同，结构矩阵分析方法可分为：位移法(刚度法)——以结点位移为基本未知量，建立结点平衡方程，通过计算结点位移反推杆件内力力法(柔度法)——以杆端力为基本未知量，建立位移协调方程，直接计算杆件内力位移法与力法之不同就在于选取的基本未知量不同，因此计算次序不同

混合法——以部分杆端力和部分结点位移为基本未知量，建立位移协调方程和平衡方程，通过叠加计算杆件内力。力法

需要选择基本体系和多余约束。所以较多地依赖于结构的具体情况，不宜实现计算机计算的自动化，但其优点是计算出的结果就是力；位移法

是先求结点位移，再换算成力，该法的计算自动化和通用性强，目前广为采用。结构结点力杆件杆端力杆件结点位移结构结点位移位移法力法二、基本假设和基本原理线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理三、结构矩阵分析的基本思路化整为零

（单元分析）集零为整

（结点力平衡、位移协调）矩阵位移法的基本思想:化整为零

------结构离散化将结构拆成杆件,杆件称作单元.单元的连接点称作结点.单元分析

对单元和结点编码.634512135642e单元杆端力集零为整------整体分析单元杆端力结点外力单元杆端位移结点外力单元杆端位移(杆端位移=结点位移)结点外力结点位移基本未知量:结点位移整体分析：研究整体的平衡条件、平衡方程的组成规律和求解方法。编制程序：根据矩阵位移法的分析原理，绘制程序运行框图并选择一种计算机语言给予实现，又称为程序设计。离散化：确定座标、单元编码、结点编码（总体码和局部码）、位移编码（总体码和局部码）单元分析：研究单元的力学特性，建立单元杆端力和杆端位移的关系。四、拟解决的问题五、正负号规定（采用右手法则）指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的座标与杆轴重合；12eEAIl(a)图(b)表示的杆端位移均为正方向。单元编号杆端编号局部座标12(b)杆端位移编号12杆端力编号(c)杆端位移、杆端力的正负号规定一般单元：结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也取荷载作用点。图中1、2、3、4点均为结点。将结构分解为杆件集合，为进行分析，事先需做下面称为离散化的工作六、结构的离散化1342xyyx右手系①②③21221112----单元编码1,2,3----结构结点编码（总码）----杆端结点编码（局码）(1,2,3)----结点位移编码121(1,2)2(3,4)3(5,6)单元结点单元方向例如FPFP不考虑轴向变形时的结构离散化ABDE①②③④C1(0,0)2(0,1)3(2,3)4(0,4)5(0,5)ABDE①②③④C1(0,0,0)2(1,0,2)3(3,4,5)4(6,0,7)6)5(8,0,9)考虑轴向变形时的结构离散化123n④

1(1)2(2)3(3)4(4)5(5)6(6)连续梁的结构离散化（16,17,18）XY（1,2,3）634512135642（4,5,6）（7,8,9）（13,14,15）

后处理法先处理法（0,0,0）（10,11,12）634512135642（0,0,0）（1,2,3）（7,8,9）（4，5，6）（0,0,0）（10,11,12）634512123654（0,0,0）（1,2,3）（4,5,6）（7，8，9）(10,11,12)较合理ABCD12m6m不考虑轴向变形ABCD12m6m1（0，0，0）2（0，0，0）3（1，0，0）4（1，0，0）3（1，2，0）4（1，3，0）1（0，0，0）2（0，0，0）考虑轴向变形考虑轴向变形FADBC2(1,2,3)4(4,0,5)3(0,0,0)不考虑轴向变形1(0,0,0)FADBC2(0,0,1)4(0,0,2)3(0,0,0)1(0,0,0)4(0,8,0)2(0,4,0)F1(1,2,3)3(5,6,7)5(0,0,0)F1(0,0,1)3(0,0,3)5(0,0,0)2(0,2,0)4(0,4,0)3.2矩阵位移法解连续梁一.离散化----整体编码12----单元编码1,2,3----结点编码(1),(2),(3)----结点位移编码结点转角位移逆时针为正,结点力矩逆时针为正.12123(1)(2)(3)

1（1）

2（2）

12

3

n

n+1

n

3（3）

二.单元分析单元分析的目的:

建立单元杆端力和单元杆端位移的关系.根据两端固定的等截面单跨梁的转角位移方程

……（3-3）

……（3-4）

所以，（3-3）上式可改写为计算结构力学的符号规定：单元杆端力矩和单元杆端转角位移以逆时针转向为正.1,2----局部编码e12=11=+若用矩阵表达，则（3-4）可写成

………（3-5）

----单元杆端力矩----单元杆端转角位移----单元杆端转角位移（3-5）可改写为

………（3-6）

---单元刚度方程----单元杆端力矩

………（3-5）

----梁的单元刚度矩阵(简称作单刚)1）对称矩阵单元刚度矩阵性质:根据反力互等定理

2）单元刚度矩阵中元素的物理意义---发生位移时在i端所需加的杆端力矩.3）对角线上的元素恒为正，这些元素称为单元刚度矩阵的主元素；其余的各元素称为副元素，副元素可为正，可为负，也可为零。

4）只与单元的抗弯刚度、杆长等有关而与外荷载无关;

三.整体分析整体分析的目的:建立结点力与结点位移的关系.

2）单元分析

单元①

单元②

1）结构的离散化

将连续梁分解为两个独立的单元①、②。按照单元分析的表示方法，单元两端编码为①、②；结点的编号为1、2、3；基本未知量为结点转角位移（以逆时针方向为正）。用矩阵形式表示为：

3）整体分析（1）利用变形协调条件（2）利用结点处的平衡条件

………（i）

用矩阵形式表示为：

上式可简写为：

结构刚度矩阵或整体刚度矩

结构刚度方程或整体刚度方程

结构结点荷载列阵结构结点位移列阵其中每个元素就是与未知结点转角位移对应的作用在结点上的外力偶（以逆时针转向为正）；

刚度集成法的步骤：

1）对单元刚度矩阵进行換码，扩大各单元刚度矩阵的阶，形成扩大的单元刚度矩阵。

单元①：

单元②：

为換码扩大后的单元刚度矩阵，它们与整体刚度矩阵同阶，称为扩大的单元刚度矩阵。

式中：

………（1）

………（2）

2）将各扩大后的单元刚度矩阵集合成整体刚度矩阵

用矩阵形式表示整体平衡方程式（i）

………（i）

即

可见，叠加各扩大的单元刚度矩阵，便得到整体刚度矩阵：

整体刚度矩阵的元素的物理意义简记为12123=11=1---结构刚度方程--结构刚度矩阵(总刚)111求结构刚度方程的另一方法：简记为---结构刚度方程--结构刚度矩阵(总刚)

单元刚度矩阵中元素的物理意义---发生其它结点位移为零位移时在i结点所需加的结点力.结构刚度矩阵性质:对称矩阵12123=1=1=1111简记为12123---结构刚度方程--结构刚度矩阵(总刚)

单元刚度矩阵中元素的物理意义---发生其它结点位移为零位移时在i结点所需加的结点力.总刚的形成方法---“对号入座”12123四.计算杆端力计算结点位移计算杆端力例:计算图示梁解:1.离散化12123(1)(2)(3)2.计算总刚,荷载列阵3.解方程,求位移4.求杆端力M063五.(零位移)边界条件处理方法:先处理法后处理法12123(1)(2)(3)后处理法:置0置1法乘大数法(1)置0置1法00010作弯矩图练习:123(1)(2)(3)12M1/2121引入支承条件的具体做法是修改整体刚度矩阵

1）将与固定端相应的主对角线上的主元素改为1；2）相应的行、列上其它的元素改为0；3）相应的结点荷载列阵中对应行的元素改为0。

六、非结点荷载处理

例3-3如图3-9a所示连续梁承受非结点荷载的作用，试求其等效结点荷载。

第一步，在各结点加约束阻止结点转动（图3-9b）

用矩阵表示，则可写成

第二步，计算各结点的约束力矩。

第三步，去掉各结点的约束，使结构恢复原状，这相当于在各结点处施加与约束力矩大小相等、方向相反的力矩，如图3–9c所示，

结点荷载向量称作原非结点荷载的等效结点荷载。

第四步，根据叠加原理，将图3–

9b、c两种情况叠加，就得到图3-9a所示非结点荷载的情况。