江苏省连云港市2020-2021学年高二上学期期末数学试题

2020-2021学年第一学期期末调研考试高二数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“，”的否定是（）．A．，B．，C．，D．，2．函数，的最小值是（）．A．4B．6C．8D．163．“”是“”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）．已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号装置与卫星接收天线中心的距离为（）．A．B．C．D．5．已知空间三点，，，向量，且向量分别与，垂直，则（）．A．4B．C．2D．6．某港口在一天内潮水的高度（单位：）随时间（单位：；）的变化近似满足关系式，则17点时潮水起落的速度是（）．A．B．C．D．7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为（）．A．B．C．D．8．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）．A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．已知曲线，则下列说法正确的是（）．A．若，，则曲线是椭圆B．若，则曲线是焦点在轴上的椭圆C．若，则曲线是焦点在轴上的双曲线D．曲线可以是抛物线10．已知正数，满足，则下列说法正确的是（）．A．的最小值是B．的最小值是C．的最小值是D．的最小值是11．据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年（按365天计算）是每73天翻一番，则下列说法正确的是（）．A．2006年底人类知识总量是B．2009年底人类知识总量是C．2019年底人类知识总量是D．2020年底人类知识总量是12．下列曲线中，与直线相切的是（）．A．曲线B．曲线C．曲线D．曲线三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．函数的最小值是________．14．以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是________．15．已知数列满足，且，则数列的前100项和为________．16．在正方体中，，，，，，分别是，，，，，各棱的中点，则直线与平面所成角的大小为________；若，是六边形边上两个不同的动点，设直线与直线所成的最小角为，则的值为________．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：已知等差数列的前项和为，，________，若数列满足，求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）已知，函数的单调递减区间，区间．（1）求和的值；（2）“”是“”的充分条件，求的取值范围．19．（本小题满分12分）已知直线与抛物线交于，两点．（1）若直线的斜率为-1，且经过抛物线的焦点，求线段的长；（2）若点为坐标原点，且，求证：直线过定点．20．（本小题满分12分）在正三棱柱中，，点，分别为，的中点．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面所形成的锐二面角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆的一个焦点为，且椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，，求面积的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数，．（1）令，求函数的单调递增区间；（2）当，时，求证：与函数，图象都相切的直线有两条．高二数学试题参考答案及评分建议1．D2．B3．B4．A5．D6．B7．A8．C9．BC10．AC11．BCD12．ABD13．14．15．16．；（2分+3分）17．解：（1）选择①，设公差为由，得，所以，解得，所以，5分又因为，所以，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，所以．10分（2）选择②，设公差为因为，所以可得又因为，所以，所以，所以．5分又因为，所以，所以数列是以16为首项，2为公比的等比数列，所以10分（3）选择③，设公差为因为，可得，即，所以，又因为，所以．所以．5分又因为，所以，．10分18．解：（1）2分由，有，得又的单调递减区间为，所以，．6分（2），有得．又是的充分条件，可知，有，得，故实数的取值范围为12分19．解：（1）抛物线为，所以焦点坐标为，直线斜率为-1，则直线方程为：，设，，由得：，2分可得4分由抛物线定义可得，所以6分（2）证明：设直线方程为：，设，，因为，所以．所以，由得：8分所以，；；所以，解得，或10分当时，直线过原点，不满足题意；当时，直线过点故当时，直线过定点12分20．解：如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，则，，，故以为基底，建立空间直角坐标系，∵，，，，，，．（1）∵为的中点，∴，∴，，，2分设平面的一个法向量为，由，可取，4分设直线与平面所成角为，，∴直线与平面所成角的正弦值为6分（2），，，设平面的法向量为则可得，，由，得：，令，可得，，故，9分由（1）得平面的一个法向量为，，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．12分21．解：（1）由题意可得解得：，，故椭圆的方程3分（2）由题意可得直线，斜率均存在设的斜率为，斜率为，设，直线的方程为，由得：，则，可得点的横坐标为，代入，得点的纵坐标为，故点坐标为，6分则将换为，得，8分故面积10分令，，故，，当时，，故在单调递减，故，，所以面积的最大值12分22．解：（1）由得1分若，，恒成立，为上的单调增函数．若，时，恒成立，为上的单调增函数．时，由，得和3分综上，时，的单调增区间为．时，的单调增区间为和4分（2）记直线分别切，的图象于点，，由，得的方程为，即：．由，得的方程为，即．所以．（*）6分消去得（**）