压弯构件稳的失稳

第三章压弯构件的失稳轴力偏心作用的构件或同时受轴力和横向荷载作用的构件称为压弯构件。由于压弯构件兼有受压和受弯的功能，又普遍出现在框架结构中，因此又称为梁柱。钢结构中的压弯构件多数是截面至少有一个对称轴，且偏心弯矩作用在对称平面的单向偏心情况。对单向偏心的压弯构件，有可能在弯矩平面内失稳，即发生弯曲失稳；也有可能在弯矩作用平面外失稳，即弯扭失稳。其弯曲失稳为第二类稳定问题，即极值点失稳；其弯扭失稳对理想的无缺陷的压弯构件属于第一类稳定问题，即分支点失稳，但对实际构件则是极值点失稳。对理想的两端简支的双轴对称工形截面压弯构件，在两端作用有轴线压力P和使构件产生同向曲率变形的弯矩M，如果在其侧向有足够的支撑(如图3.1(b))，构件将发生平面内的弯如果在侧向没有设置支撑(如图3.1(c))，则构件在荷载P未达到平面内极限荷载P时，u可能发生弯扭失稳，即在弯矩作用平面内产生挠度v，在平面外剪心产生位移u，并绕纵轴产生弯曲失稳一般在弹塑性阶段出现，而弯扭失稳可能发生在弹性阶段，也可能出现在弹塑性阶段。段3.1压弯构件平面内失稳发当用弹性理论分析理想压弯构件的荷载挠度关系，可以得到图3.3中的二阶弹性曲线b，它荷载挠度曲线将是图中曲线OABC。曲线上A点标志着杆件中点截面边缘开始屈服，对应的荷载为Pe，随后塑性向截面内部发展，构件变形快速增加，形成OAB上升段，构件处于稳定平衡u状态；点为曲线的极值点，对应的荷载P为构件在弯矩作用平面内失稳的极限荷载；到达u点以后，由于弹性区缩小到导致构件抵抗力矩的增加小于外力矩的增加程度，出现下降段BC，于二阶弹塑性分析的极值点失稳，不能用弹性理论和平衡微分方程求解极限荷载Pu，而可用数值积分法通过得出荷载挠度曲线后求得极限荷载。此有必要先研究压弯构件平面内弹性失稳。3.1.1压弯构件平面内弹性弯曲性能在第二章讨论初始几何缺陷对轴心受压构件稳定性能的影响时，对图2.13所示有偏心的轴心受压杆已作过分析，即当作偏心压弯构件得出了荷载P与构件中点挠度δ之间的关系曲线。EPE拉荷载P为极值。然而实际材料都是有限弹性的，由于压弯构件平面内弯曲失稳时，构件为弹E塑性工作状态，因此弹性分析只有理论意义。下面仅讨论两端铰接受轴向压力和平面内横向荷载共同作用的弹性压弯构件的内力与变形1.横向均布荷载作用的压弯构件c所示隔离体，在距左端x处截面的内力矩M=EIy，外力矩M=Py+qx(lx)2，平衡方程fe为EIyPyqxlx2令k2=PEI，则(3.1)(3.1)23方程(3.1)的特解可写作y=cx2+cx+c，代入方程(3.231231(3.3)(3.4)上式是恒等式，故(3.3)(3.4)yAsinkkq∕－qlχ∕－EIqP(3.2)由边界条件y(0)=0,y(l)=0得则y=q-qx(l-x)k4EI(2)2k2EI构件在x=l2处有最大挠度y，令u=kl2，可得max式中：y=5ql4(384EI)是均布荷载作用下简支梁的最大挠度，即当P=0时，由式(3.4)求得0的最大挠度。式(3.4)中括号内的值为考虑轴线压力后最大挠度的放大系数。将secu展开成幂级数，有2247208064式中kllP"u===PP22EI2E0EE01-PPE(3.5)(3.5)mEEPE跨中最大弯矩为构件中点的最大弯矩为EPE跨中最大弯矩为式中M=ql28是均布荷载作用下简支梁跨中的最大弯矩；b为等效弯矩系数；A为弯矩放大0mm2.横向集中荷载作用的压弯构件令k2=P(EI)，则(3.7)(3.7)通解为2Pky=Q2Pk(2) 令u=kl2,当x=l2时，跨中最大挠度为maxPuEIu0u3maxPuEIu0u30最大挠度放大系数。几几2Emax0(3.10)max0(3.10)EE01-PPE(3.11)式中M=Ql4是集中荷载作用下简支梁最大弯矩；b为等效弯矩系数；弯矩放大系数0mE对于弹性压弯构件，根据各种荷载作用和支撑情况，可以计算出跨中弯矩M的表达通式M=bMmmax1-PPE再考虑初始缺陷的影响，假定各种缺陷的等效初弯曲呈跨中挠度为v(3.12)的正弦曲线，则在任意横0向荷载或端弯矩作用下跨中总弯矩应为bM+PvM=m0E当压弯构件长度中点截面边缘纤维达到屈服时，其应满足E令(3.14)中M=0，则得到有初始缺陷的轴心压杆边缘纤维屈服时的表达式EyEy等效弯矩系数b取值见表3.1。m(3.13)(3.14)(3.15)(3.16)(3.17)3.1.2压弯构件平面内弹塑性弯曲失稳开构件抗弯能力增加小于外力作用效应的增加，达到极限状态时(图3.3极值点B)，内外力开始无法平衡，构件发生平面内弹塑性整体失稳。同，弯曲失稳时构件塑性发展的范围可能只出现m解析法求解可以求出精确度比较高的极限荷载。其假设为：()材料为理想的弹塑性体；()构件的变形曲线为正弦曲线的一个半波。e下面分别加以讨论：1)第一种情况：塑性区仅出现在受压区(图3.7b)P=P=A1(+)bh或+=2PPy(3.18)y2yteytbhe(3.19)MPvoobhhhe)(3.19)2yte(23)由上式可解出弹性区高度(3.20)3h3(M+由上式可解出弹性区高度(3.20)h=-he2P-PyyyyC=yC=yt=yt=yee根据变形曲线假定，挠曲线为中央截面处的曲率为由式(3.21)式中央截面处的曲率为由式(3.21)式(3.22)知v=y(3.24)e将(3.20)代入(3.22)后，得到构件压力P与挠度v的函数关系(3.25)(3.25)dPd由极值条件=0(3.26)(3.26)11由于P=0时，截面边缘纤维开始屈服时的弯矩M=bh2装=Ph，且全截面的惯性矩y6y6y1I=bh3，则构件在平面内弯曲失稳的弹塑性极值荷载x12度ul2(h)l2ul2(h)l2式中，I是弹性区截面惯性矩，说明塑性发展使构件抗弯刚度下降至EI，极限荷载与以弹性区为截面的轴心受压构件的欧拉临界力相当。euy也可写作yuy2)第2种情况：塑性区同时出现在受压、受拉区(图3.7e)yuy图3.7g所示的应力分布，可以分别列出轴线压力和力矩平衡方程eyeyhEhl2eev P P)(3.38))(3.38)euy3MyP="2EIx(|he)|3="2EIexul2(h)l2(3.39)(3.40)(3.41)法确定压弯构件的极限荷载。数值法有多种，数值积分法是常用的一种。M，压力P和曲率C之v荷载。m以图3.8(a)为例，说明数值积分法的计算过程。mrcrt图3.9()表示划分为很多单元的工形截面，单元的面积为A，截面任一点的应变c是轴0iririi0iri 当截面处于弹性状态时，应力E，根据内力平衡条件PidAiEzdAEA(b)MzdAAz0z2dEIy(c)AiiA0iriiAix由式(c)可知，当截面处于弹性状态时，压弯构件和受弯构件一样，弯矩M与曲率成正比，而与轴线压力P无关。但在弹塑性状态，因各截面塑性发展程度不同，MP相关。E表示屈服应变，任一单元面积A上的应力均取平均值，E表示屈服应变，任一单元面积A上的应力均取平均值，yyyiiiyiy截面的轴向压力P和弯矩M分别为当时yiy当当时iy时iyPAii MAAziiiA联合(a)﹑()，通过对式(e)数值积分即可得到构件在弹塑性状态的MP关系。具体算法见如下框图)求解压弯构件的极限荷载Pu以图3.11所示两端铰接、几何条件和荷载作用均对称的压弯构件为例，具体求解过程见框a力P1情况下，端部挠度y0=0，而转角90未知，不过可以先给定一个9的初始值，使其满足构件中点的转角9=0即可，若给定的9不能使9足0m0m够小(如9<105)，则调整9重新迭代，直至9足够小，满足计算精度要求。这样就可以得m0m到与给定轴力P对应的构件中点的挠度v值，如图3.11(b)所示。1m1同理，可以得到不同的轴力P对应的构件中点的挠度v值，最终可以画出图3.11(b)所示mmu分析压弯构件在平面内的极限荷载，才可以推演出压弯构件的稳定设计公式。3.1.3压弯构件弯矩作用平面内的稳定理论在设计中的应用1.边缘纤维屈服准则准(3.43)vAx(3.43)vAx参照式(3.17)，给合压弯构件弯矩作用平面内的稳定概念，可以得到按边缘纤维屈服准则导出的相关公式(3.42)(3.42)式中v为弯矩作用平面内轴心受压构件的整体稳定系数；W为受压最大纤维的毛截面抵抗矩；x1xb为等效弯矩系数，参见表3.1。将式(3.42)写成设计公式，即PbMPbM式中f为钢材屈服强度设计值。限承载力准则面塑性有一定发展，因此应该以弹塑性稳定理论为基础，以失稳时的极限荷载为计算准则。压弯构件的初偏心和初弯曲对构件的影响性质上相同，因此在制定规范时考虑构件存在法计算出近200条压弯构件的极限承载力曲线。将用数值方法得到的压弯构件极限承载力P与u用边缘纤维屈服准则导出的相关公式(3.42)中的轴心压力P比较后发现，对于短粗实腹杆，式 (3.42)偏于安全；而对细长实腹杆，式(3.42)偏于不安全。因此，规范借用了弹性压弯构件公式，即规范所采用的实腹式压弯构件弯矩作用平面内的稳定计算公式 式中M——所计算构件段范围内的最大弯矩；v弯矩作用平面内的轴心受压构件的稳定系数；xW——弯矩作用平面内较大受压纤维的毛截面抵抗矩；P——欧拉临界力；ExRRRb——等效弯矩系数，参见表3.1。对于T型钢、双角钢T形等单轴对称截面压弯构件，当弯矩作用于对称轴平面且使较大翼可能在受拉区首先屈服而导致构件失去承载能力，因此除了按式(3.44)计算外，还应按下式计PbMmxx试fmxx试f(3.45)W——受拉侧最外纤维的毛截面抵抗矩；2xY——与W相应的截面塑性发展系数。x2x其余符号同式(3.44)，上式第二项分母中的1.25也是经过与理论计算结果比较后引进的修3.2压弯构件平面外失稳临界荷载P之前，就可能导致压弯构件发生空间的弯扭失稳，也称平面外弯扭屈曲。当构件长u细比较大时，有可能在弹性阶段失稳；在长细比较小等情况下也有可能在弹塑性阶段失稳。对于外力作用和端部支撑条件较简单的压弯构件，可以用平衡法求解弯扭屈曲荷载的精确解；如果外力作用或端部支撑条件较复杂，可以用能量法求解。在弹塑性阶段发生弯扭屈曲的压3.2.1压弯构件的弹性弯扭失稳1.平衡法求解单轴对称截面压弯构件的弹性弯扭屈曲荷载分析中采用两个坐标系，即截面的固定坐标系oxyz和移动坐标系o,ξηζ(图3.13)，且②发生弯曲与扭转变形时，截面的形状不变；陷的等截面直杆；以分别得到绕ξ轴和η轴的弯矩平衡方程。EIv,+Pv+M=0yx0(3.46)(3.47)a点的正应力 x(3.48)AIxAxy0IAx0Ar0yxAxy0IAx0Ar0yx0xy0y2I0Ar0yx是截面的几何性质参数，b为不对称截面常数，对于单轴对称工形截面，b中前一项数值常比yyy小得多，对图3.13c所示坐标系，剪心矩y是正值，则b将是负值。00y外弯矩M在纵轴ζ方向的分量为MMsinM=Mu,xxx0000G0yxx0uw0yxtx0联立方程(3.46)、(3.47)和(3.50)，得到适合任何边界条件的压弯构件微分方程组EIvIVPv(3.51)w0yxtx0得为1l2l0P"2Ex0P"2Exy0w0yxx0(3.54)(3.55)方程(3.55)中的M以弯矩使形心以上的负方向受压时为正，受拉时为负；而偏心矩e符号与xyy0w0yy0yPywywyyywbeyyeywyyyPywywyyywbeyyeywyyy0yy0y相应的弯扭屈曲应力 (3.58)ywy(3.59)对双轴对称截面压弯构件，因y对双轴对称截面压弯构件，因ywx0解出弯扭屈曲荷载解出弯扭屈曲荷载(3.61)无对称轴截面压弯构件，开始施加压力P，构件就产生双向弯曲变形和扭转，因此属于极值点失稳问题。对此类问题用平衡法求解析解较困难，一般采用能量法[19]或数值法求解其极限为4m，构件的两端作用有弯矩M=10kN.m，截面尺寸如图y件在弯矩作用平面内的极限荷载P=735kN求此压弯构件的屈u)计算截面的几何性质截面积x12k3w对翼缘边缘抵抗矩对腹板边缘抵抗矩W=Ix=307.07cm3xxxywyywi2wwkk088.46wi2wwkk088.460确定屈曲荷载由于翼缘边缘纤维的压应力 y (2248.2)腹板边缘纤维的压应力 y又因为P<P，说明此压弯构件的屈曲荷载为弹性弯扭屈曲荷载P=713.86kN。ywuyw能量法求解无对称轴截面压弯构件的弹性弯扭屈曲荷载大，由于弯曲变形很小，计算时可以不计附加弯矩的作用，用平衡分岔理论求解，可以得到这种曲前变形的影响，计算结果误差会很大。当无对称轴截面构件的荷载作用条件或边界条件比较复杂时，如沿构件纵轴方向的弯矩Mx和M随z而变，或在构件的侧向有弹簧约束时，用平衡法很难求出解析解，而采用能量法可以y得到足够精度的近似解。由于构件的压缩应变能和剪切应变能的影响很小，可以忽略，则应变能U＝U＋U＋U＋U(3.63)1234式中U为平面内弯曲应变能，U为侧向弯曲应变能，U为纯扭转应变能，U为翘曲应变能，1234有120xUjlEIudz(3.65)220y320k420wxykI分别为截面的抗扭惯性矩和翘曲惯性矩；u、v和Q分别为位移和扭转角，如图3.15所示。w20xywk(3.68)(3.69)bQB0B0则20B0B0BB总外力功为20ABB面任一点的正应力，以压应力为正值，考虑残余应力幸后，有(3.70)(3.71)(3.72)rPMyMx装=-xPMyMxAIIrxy(3.73)bA-xx2I0bA-xx2I0b=A-yy2Ib=A-yy2I0Aryxxy0x0y更一般的情况，式(3.75)中还应包含构件两端外荷载所做功的负值；如果压弯构件上还作用着其它类型荷载，如横向荷载，则外力势能V中应加进横向荷载与其位移乘积的负值；如果U根据势能驻值原理(见第二章)，即可求出压弯构件的弯扭屈曲荷载。【例题3.2】已知两端简支的形截面压弯构件的跨中作用着如图3.16所示的集中荷载y用能量法求此压弯构件的弯扭屈曲荷载。由得(an由得(an1l2ll40ll2k21020120l+Q"2bC2jl2zcos2"zdz-Q"2CCjl2zsin2"zdzl2y20ll2120l4l34lk210201216y21612令稳定方程为yyPGIi2,wk00-Py-0-P00)-Py-)-Py-00w00"2-My0"2在分析压弯构件平面外失稳时，E,可采用抛物线变化假定，即在分析压弯构件平面外失稳时，E,可采用抛物线变化假定，即yw0y0弹塑性弯扭失稳压弯构件在弹塑性状态发生弯扭失稳时，求解屈曲荷载的方法主要有解析法和数值法。1.折减翼缘厚度解析法[20]性失稳时,最大受压翼缘的平均应力(超过比例极限(但尚未达到屈服极限(，或其值已超过1PS屈服极限而出现一部分塑性区(如图3.17所示)。折减翼缘厚度法就是针对受压最大翼缘的平均压应力(满足(<(<(，或在最大受压边1p1S然后将折算后的截面按弹性解析法计算临界荷载。在压弯构件屈曲前的瞬间，当截面最大受压翼缘中的平均应力(处于(<(若用N1表示此截面整个翼缘的内力，当(1有一个增量d(1时，与d(1相应的应变增量de1为de=dN1(3.76)btEtdedN(3.77)式中E为e所对应的变形摸量。此时如果不用EtdedN(3.77)t1t1btE1根据相等，得到受压最大翼缘的换算厚度t的表达式1tttt(3.78)E当截面中已有一部分塑性区出现时，有(=(，与(对应的应变e所对应的变形摸量定义为E,，即E,义为E,，即E,是(进入屈服平台之后的变形摸量，其值在屈服前的E和硬化摸量E之间，1tst11同理可以求出截面有塑性区时受压最大翼缘的折算厚度Ett1E(3.79)(3.80)形成图3.17c所示的单轴对称截面，重新计算截面的几何性质果偏小外，理论值与实验结果吻合程度较好。2.弹塑性弯扭失稳荷载数值计算法假定材料为理想弹塑性体，当截面上某一点的应变小于屈服应变时，弹性摸量为E时，剪y图3.18的左侧为截面残余应力分布情况，和分别为残余压应力和残余拉应力峰值。rcrt用数值法求解压弯构件弹塑性弯扭失稳荷载的步骤如下：残余应变以压应变为正、拉应变为负，曲率也以产生压变为正。截面上任一点的应力和应残余应变以压应变为正、拉应变为负，曲率也以产生压变为正。截面上任一点的应力和应iiyii0iriEiiEiiiiiy，，iy,当yGGiiGG4当i时iy时y时y则PAMiii(3.81)(3.82)根据图3.10所示电算框图，就可以建立MP关系；同时可以确定截面弹性区域面积。2)分级给定轴向荷载P后计算平面内弯矩Mix将构件沿纵向轴线划分成若干单元，取单元中点截面的弯矩M作为单元弯矩M，则单元mix弯矩M记为MMP，其中M为全部外荷载产生的一阶弯矩，而为第i单元中点的xmimimi挠度，计算M可参见电算框图3.12前半部分。mi3)计算各单元中点截面的抗弯刚度EI和EI，抗扭刚度GIGI，抗翘曲刚度EI，exeyekipkew00EIEIEAy2exixiiiiEIEIEAx2eyiyiiii(3.83)(3.84)对于弹性区为单轴对称的工形截面y1翼缘IAx2E腹板IyE0EIyiiiiiyiiiewEIyiiiiyiiiieyk2Ax2y22yyy2Aiiiiii0i0ixiyi式中I和I分别为单元对中性轴x和yxiyi4)建立单元中点截面弯曲和扭转的平衡方程，求解弯扭失稳荷载Pyw参照弹性压弯构件平衡方程建立微分方程EIPM0EIyGIGIx0MPyEIyGIGIx0MPyu0ewekiPkx0(3.85)(3.86)(3.87)(3.88a)(3.88b) 若用有限积分法或有限差分法联合求解式(3.88b)和式(3.88c)，可以得到各分段点的位移或其高阶导数的线性代数方程组，由其系数行列式K0，即可得到弯扭失稳荷载Pyw。实际电算中，可以用荷载P和荷载P的两个系数行列式的乘积，当满足KK0时为构件失稳ii1ii13.2.3压弯构件弯矩作用平面外的稳定理论在设计中的应用面外没有足够支承以阻止其侧向位移和扭转时，构件就可能发生弯扭失稳破坏(图3.13)。根据式(3.60)，对双轴对称截面压弯构件，当发生弯扭失稳时，其临界条件为式中M为双轴对称纯弯曲梁的临界弯矩，且crx式中M为双轴对称纯弯曲梁的临界弯矩，且crxwcrx00Eyw(3.89)(3.90)PEyxMcrx之间相关