北京市海淀区一零一中学2020届高三数学上学期期中试题(含解析)

北京市海淀区一零一中学2020届高三数学上学期期中试题（含分析）一、选择题共8小题。在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项1.设会合A{1,1,2},B{a1,a22}，若A?B{-1,2}，则a的值为（）A.﹣2或﹣1B.0或1C.﹣2或1D.0或﹣2【答案】C【分析】∵会合A1,1,2,Ba1,a22,AB1,2，a11a12∴22或21，a2a2解得a=-2或a=1.此题选择C选项.2.已知向量a(1,2),b(m,4)，且a∥b,那么2a-b=( )A.（4，0）B.（0，4）C.（4，-8）D.（-4，8）【答案】C【分析】因为向量a1,2,bm,4，且a∥b,∴14(2)m,m2,2ab(2m,44)(4,8).此题选择C选项.3.已知(,3)，且tan2，那么sin22A.3B.6C.6D.33333【答案】B【分析】【剖析】直接利用同角三角函数基本关系求出结果．【详解】因为(,3)，tansin2>0，故(,3)22cos2即sin2cos，又sin2cos21，6解得：sin3应选：B【点睛】此题考察的知识重点：同角三角函数基本关系,主要考察学生的运算能力和变换能力，属于基础题型．4.在数列an中，若a11，an12an3nN，则a101（）A.21003B.21013C.21021D.21023【答案】D【分析】【剖析】利用待定系数法可得悉数列an3是等比数列，并确立该数列的首项和公比，可求出数列an的通项公式，即可得出a101的值.【详解】Qan12an3，an132anan1334，3，2，且a1an3所以，数列an3是以4为首项，以2为公比的等比数列，an342n12n1，an2n13，所以，a10121023.应选：D.【点睛】此题考察利用待定系数法求数列项的值，解题时要熟习待定系数法对数列递推公式的要求，考察运算求解能力，属于中等题.5.若定义在R上的函数f(x)知足：对随意x1,x2R有f(x1x2)f(x1)f(x2)1则下列说法必定正确的选项是A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C.f(x)1为奇函数D.f(x)1为偶函数【答案】C【分析】【详解】x1=x2=0，则f0f0f01，f01，令x1=x，x2=-x，则f0fxfx1，所以fx1fx10，即fx1fx1，f(x)1为奇函数，应选C.6.在ABC中，“cosAcosB”是“sinAsinB”的（）A.充分而不用要条件B.必需而不充分条件C.充分必需条件D.既不充分也不用要条件【答案】C【分析】【剖析】由余弦函数的单一性找出cosAcosB的等价条件为AB，再利用大角对大边，联合正弦定理可判断出“cosAcosB”是“sinAsinB”的充分必需条件.【详解】Q余弦函数ycosx在区间0,上单一递减，且0A，0B，由cosAcosB，可得AB，ab，由正弦定理可得sinAsinB.所以，“cosAcosB”是“sinAsinB”的充分必需条件.应选：C.【点睛】此题考察充分必需条件的判断，同时也考察了余弦函数的单一性、大角对大边以及正弦定理的应用，考察推理能力，属于中等题.7.设x1、x2、x3均为实数，1x1log2x1，1x2logx，1x3log2x，则3133233（）A.x1x3x2B.x3x2x1C.x3x1x2D.x2x1x3【答案】A【分析】【剖析】x在座标系中作出函数y1，ylog2x1，ylog3x，ylog2x的图象，将x1、31xx2、x3分别视为函数y与ylog2x1、ylog3x、ylog2x交点的横坐标，3利用数形联合思想可得出这三个实数的大小关系.x【详解】作函数y1，ylog2x1，ylog3x，ylog2x的大概图象，如图3所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右挨次为x1、x3、x2，所以x1x3x2．应选A．【点睛】此题考察方程根的大小比较，利用数形联合思想转变成函数交点横坐标的大小关系是解题的重点，考察数形联合思想的应用，属于中等题.8.设函数fx=sin（x）(＞0)，已知fx在0,2有且仅有5个零点，5下述四个结论：fx在（0,2fx在（0,2③fx在（0,10

）有且仅有3个极大值点）有且仅有2个极小值点）单一递加④1229的取值范围是[，)510此中全部正确结论的编号是A.①④B.②③C.①②③D.①③④【答案】D【分析】【剖析】此题为三角函数与零点联合问题，难度大，经过整体换元得526，联合正5弦函数的图像剖析得出答案．【详解】当x?[0,2]时，x5,2，55∵f（x）在[0,2]有且仅有5个零点，∴5256，∴1229，故④正确，510由5256，知x5,2时，55令x,59时获得极大值，①正确；52,22极小值点不确立，可能是2个也可能是3个，②不正确；所以由选项可知只要判断③能否正确即可获得答案，当x0,时，x5,(2)，10510若f（x）在0,单一递加，10则(2)，即<3，102∵1229，故③正确．510应选D．【点睛】极小值点个数动向的，易错，③正确性考察需仔细计算，易犯错，此题主要考察了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．二、填空题共6小题9.已知复数z知足z30，则|z|_____________．z【答案】3【分析】剖析：设zabi(a,bR)，代入z23，由复数相等的条件列式求得a,b的值得答案．详解：由z30，得z23，z设zabi(a,bR)，由z23得(abi)2a2b22abia2b233，3，即0，解得a0,b2ab所以z3i，则z3．点睛：此题考察复数代数形式的乘除运算，考察了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，侧重考察了考生的推理与运算能力．10.已知函数fx1cos2x，若将其图象向右平移0个单位长度3sinxcosx2后所得图象对于原点对称，则的最小值为_____.【答案】12【分析】【剖析】利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数yfx的分析式化简为fxsin2x6，并求出平移后函数分析式，利用所得函数图象过原点，求出的表达式，即可得出正数最小值.【详解】Qfx3sinxcosx1cos2x3sin2x1cos2xsin2x6，222将其图象向右平移0个单位长度后所得图象函数分析式为gxsin2x2，6因为函数x的图象对于原点对称，则0sin20，Q62y的kgkZ，12k2kgZ，6因为0，当k0时，获得最小值.12故答案为：.12【点睛】此题考察利用三角函数的对称性求参数的最值，同时也考察了三角函数的图象变换，解题的重点就是要联合对称性得出参数的表达式，考察推理能力与计算能力，属于中等题.11.不等式2nn21nN不是恒建立的，请你只对该不等式中的数字作适合调整，使得不等式恒建立，请写出此中一个恒建立的不等式：__________.【答案】3nn31【分析】【剖析】将不等式中的数字2变成3，得出3nn31，而后利用导数证明出当n3时，3nn3即可，即可得出不等式3nn31对随意的nN恒建立.【详解】Q31131，32231，33331，猜想，对随意的nN，3nn31.下边利用导数证明出当n3时，3nn3，即证nln33lnn，即证lnnln3，n3结构函数fxlnx1lnx3时，fx0.x，则fxx2，当x所以，函数fxlnx在区间3,上单一递减，当n3时，lnnln3xn.3所以，当n3且nN时，3nn3，所以，3nn31.故答案为：3nn31.【点睛】此题考察数列不等式的证明，考察了概括法，同时也考察了导数在证明数列不等式的应用，考察推理能力，属于中等题.12.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成必定的尺寸.此刻我国采纳国际标准，规定以A0、A1、A2、B1、B2、L等标志来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，此中系列的幅面规格为：①A0、A1、A2、L、A8全部规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比率关系都为x:y1:2；②将A0纸张沿长度方向对开成两平分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两平分，便成为A2规格，，这样对开至A8规格.现有A0L、A8纸各一张.若A4纸的宽度为2dm，、A1、A2、则A0纸的面积为________dm2；这9张纸的面积之和等于________dm2.【答案】(1).642(2).

51124【分析】【剖析】可设Aii0,1,2,3,L,8的纸张的长度为ai1，则数列an成以2为公比的等比数列，2设Ai的纸张的面积Si1，则数列Sn成以1为公比的等比数列，而后利用等比数列的通项2公式求出数列Sn的首项，并利用等比数列的乞降公式求出Sn的前9项之和.【详解】可设Aii0,1,2,3,L,8的纸张的长度为ai1，面积为Si1，Ai的宽度为2ai1，2Ai1的长度为ai22ai1，所以，数列an是以2为公比的等比数列，22a1a5222228由题意知A4纸的宽度为2，a522，21，a5422所以，A02a12222dm2，纸的面积为S1826422222222Sn1an1an121又Sn2an，Sn2an22，222an所以，数列Sn是以642为首项，以1为公比的等比数列，2642119张纸的面积之和等于2951122所以，这.14dm12故答案为：642；5112.4【点睛】此题考察数列应用题的解法，考察等比数列通项公式与乞降公式的应用，考察运算求解能力，属于中等题.13.如图，A、B、P是圆O上的三点，OP的延伸线与线段BA的延伸线交于圆O外一点uuuruuuvuuuvb的取值范围是_________.Q，若OPaOAbOB，则a【答案】0,1【分析】【剖析】uuuruuuruuurOPuuuruuuruuur设OPkOQ，可得出kuuur0,1，并设OQOAOB，利用三点共线得出OQ，进而可得出ab的取值范围.uuuruuuruuurOP0,1，【详解】设OPkOQ，可得出kuuurOQuuuruuuruuur1，设OQOAOB，因为A、B、Q三点共线，则uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurk，bk，则OPkOQkOAOBkOAkOBaOAbOB，则aabkkkk0,1.所以，ab的取值范围是0,1.故答案为：0,1.【点睛】此题考察利用平面向量基底表示求参数和的取值范围，解题时要充分利用三点共线的结论来转变，考察剖析问题和解决问题的能力，属于中等题.14.设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且k(x2),0x1f(x)是奇函数.当x(0,2]时，f(x)1(x1)2，g(x)1,1x2，此中2k0.若在区间(0，9]上，对于x的方程f(x)g(x)有8个不一样的实数根，则k的取值范围是_____.【答案】1,2.34【分析】【剖析】分别考察函数fx和函数gx图像的性质，考察临界条件确立k的取值范围即可.【详解】当x0,2时，f(x)122y21,y0.x1,即x1又f(x)为奇函数，其图象对于原点对称，其周期为4，如图，函数f(x)与g(x)的图象，要使f(x)g(x)在0,9上有8个实根，只要两者图象有8个交点即可.当g(x)1个交点；时，函数f(x)与g(x)的图象有22当g(x)k(x2)时，g(x)的图象为恒过点2,0的直线，只要函数f(x)与g(x)的图象有6个交点.当f(x)与g(x)图象相切时，圆心1,0到直线kxy2k0的距离为1，即k2k1，得k2，函数f(x)与g(x)的图象有3个交点；当g(x)k(x2)过点1k24（1,1）时，函数f(x)与g(x)的图象有6个交点，此时13k，得k1.3综上可知，知足f(x)g(x)在0,9上有8个实根的k的取值范围为1，2.34【点睛】此题考点为参数的取值范围，重视函数方程的多个实根，难度较大.不可以正确画出函数图象的交点而致误，依据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或订交的临界交点个数，进而确立参数的取值范围.三、解答题共6小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15.已知等差数列an中，a36，a5a826．（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）设bn2ann，求数列bn的前n项和Sn．【答案】(1)a2n；（2）4n14n2nSn.n23【分析】【剖析】（Ⅰ）利用已知条件求出数列的首项与公差，而后求解数列的通项公式．（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用等差数列以及等比数列乞降公式求解即可．【详解】（Ⅰ）设等差数列an的首项为，公差为d，则解得．所以ana1n1d2n．（Ⅱ）由（I）可得所以．【点睛】此题考察数列的递推关系式以及数列乞降方法的应用，考察计算能力．16.在锐角ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，asinB3bcosA．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a21，b5，求c的值．【答案】（Ⅰ）Aπ4.；（Ⅱ）c3【分析】【剖析】（Ⅰ）利用正弦定理化简asinB3bcosA得tanA3，解方程即得A的值；（Ⅱ）由余弦定理a2b2c22bccosA获得c1，或c4．当c1时，cosB0．此时，ABC为钝角三角形，舍去．经查验，c4知足题意.【详解】解：（Ⅰ）在abABC中，由正弦定理，sinAsinB得asinBbsinA．又asinB3bcosA，得tanA3．因为0AπAπ，所以．23（Ⅱ）a21，b5，Aπ，3在ABC中，由余弦定理a2b2c22bccosA，得2152c225c1，即c25c40，c12解得4．，或c1221252当c1时，．cosB02121此时，ABC为钝角三角形，舍去．经查验，c4知足题意.【点睛】此题主要考察正弦定理余弦定理解三角形，意在考察学生对这些知识的理解掌握水平易剖析推理能力.cos2xfx2sinx17.已知函数.x2sin4（Ⅰ）求函数fx的最小正周期及其单一增区间;（Ⅱ）当x,2时,对随意tR,不等式mt2mt2fx恒建立,务实数m的取23值范围.【答案】（Ⅰ）T232k,2k),(2k,2k](kZ).（Ⅱ）,[44440m4.【分析】试题剖析：（1）应用公式化简函数，注意定义域，{x|x4k,kZ}．（2）多个变量恒建立问题，先把x作变量，求出f(x)max，mt2mt2f(x)max，转变成对于t的不等式恒建立问题，对系数t分类议论．22试题分析：（Ⅰ）因为T2,1函数fx的定义域为{x|xk,kZ}422kx2k432kx2k,,442kx2k,4242kx2k,432k,2k,2k,2kkZ.4444所以fx的递加区间为x,223（Ⅱ）因为mt2mt21,所以当x时,fxmax1,2所以mt2mt10恒建立,即m24m0恒建立,①当m0时,明显建立;②当m0时,若对于tR恒建立,只要0m4.建立,所以0m4,综上,m的取值范围是c211【点睛】对于函数化简必定要注意定义域是化简前的定义域，也就是函数做题是先求定义域，再求解．这是学生简单忽视的问题．对于多个变量的恒建立问题，一般我们先把一个当变量，其他当参量，逐渐减少变量个数．18.已知函数f(x)2x3ax22.（1）议论f(x)的单一性；（2）当0<a<3时，记f(x)在区间0,1的最大值为M，最小值为m，求Mm的取值范围.【答案】(1)见详解；(2)[8,2).27【分析】【剖析】(1)先求

f(x)

的导数，再依据

a

的范围分状况议论函数单一性；

(2)议论

a的范围，利用函数单一性进行最大值和最小值的判断，最后求得

Mm的取值范围

.【详解】

(1)对

f(x)

2x3

ax2

2求导得

f'(x)

6x2

2ax

6x(x

a).所以有3当a

0时，

(

,a)区间上单一递加，

(a,0)区间上单一递减，

(0,

)区间上单一递加；3

3当a0时，(,)区间上单一递加；当a0时，(,0)区间上单一递加，(0,a)区间上单一递减，(a,)区间上单一递加.33(2)若0a2，f(x)在区间(0,a)单一递减，在区间(a,1)单一递加，所以区间[0,1]上最小值为f(a).而f(0)332,f(1)2a2f(0)，故所以区间[0,1]上最大值为f(1).3所以Mmf(1)f(a)(4a)[2(a)3a(a)22]a3a2，设函数33327g(x)x3x2，求导g'(x)x2当0x2时g'(x)0进而g(x)单一递减.而27910a2，所以8a3a22.即Mm的取值范围是[82727,2).27若2a3，f(x)在区间(0,a)单一递减，在区间(a,1)单一递加，所以区间[0,1]上最小f(a)而f(0)33值2,f(1)2a2f(0)，故所以区间[0,1]上最大值为f(0).3所以Mmf(0)f(a)2[2(a)3a(a)22]a3，而2a3，所以333278a31.即M8,1).2727m的取值范围是(27综上得Mm的取值范围是[8,2).27【点睛】(1)这是一道惯例的函数导数不等式和综合题，题目难度比早年降低了许多.考察的函数单一性，最大值最小值这类基本观点的计算.思虑量不大，由计算量增补.19.已知函数f(x)ex(alnx)，此中aR．（1）若曲线yf(x)在x1处的切线与直线yx垂直，求a的值；e（2）记f(x)的导函数为g(x)．当a(0,ln2)时，证明：g(x)存在极小值点x0，且f(x0)0．【答案】（1）0；（2）看法析【分析】剖析：第一问对函数求导，利用两直线垂直，斜率所知足的条件求得切线的斜率，即函数在对应点处的导数，进而求得a0，第二问写出函数g(x)的分析式，对其求导，依据ex0，进而将研究g'(x)的符号转变成研究hxa21lnx的符号，对其再求导，进而确xx2定出函数在给定区间上的变化趋向，以及极小值点所知足的条件，最后证得结果.详解：（1）fxexalnxex1exa1lnxxx依题意，有f1ea1e，解得a0.（2）令gxexa1lnx，x所以gxexa1lnxex11exa21lnx．xxx2xx2因为ex0，所以gx与a21lnx同号．xx221x22x2x21设hxalnx，则hx1．xx2x3x3所以对随意x0,，有hx0，故hx在0,单一递加．因a0,ln2，所以h1a10，h1aln10，22故存在x01,1，使得hx00．2gx与gx在区间1,1上的状况以下：2xx0gx-0+gx↘极小值↗所以gx在区间上单一递减，在区间上单一递加．所以若a0,ln2，存在x01,1，使得x0是gx的极小值点．2令hx00，获得alnx012x0，所以fx0ex0alnx0ex012x00．22x0x0点睛：该题属于导数的综合应用问题，一是要明确两直线垂直时斜率的关系，再联合导数的几何意义求导对应的参数的值，第二问研究的是函数的极值问题，经过研究导数的符号确立函数的单一区间，进而确立函数在哪个点处获得极值，在这里需要注意的是对导函数的转变问题，进而将函数分析式简化.20.若数列an知足：对于随意的正整数n，anN，anan1，且a2n2an，则称该数列为“跳级数列”.（1）若数列an为“跳级数列”，且a44，求a3、a101值；（2）若数列an为“跳级数列”，则对于随意一个大于a1的质数p，在数列an中总有一项为哪一项p的倍数；（3）若p为奇质数，则存在一个“跳级数列”an，使得数列an中每一项都不是p的倍数.【答案】（1）a33，a101101；（2）看法析；（3）看法析.【分析】【剖析】（1）依据题中定义求出a2的值，再由a2a3a4以及a3N可求出a3值，求出a6464，a128128，联合10164,128，以及a64a65La101La127a128可得出a101的值；（2）依据“跳级数列”的定义得出an1an为正整数，并记sminan1annN，可得出ps，并记mnNsan1an，则存在kN的使得2kpkN，利用a2nan可得悉akm、akm1、ak、akm3、L、akmp1除以p所得余数互