(名师导学)2020版高考数学总复习第三章导数及其应用第16讲导数与函数的单调性练习文(含解析)新人

第16讲导数与函数的单调性学习目标】基础检测】1．函数f(x)在其定义域内可导,y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象为()【解析】观察函数y＝f(x)图象，从左到右单调性先单调递增，然后单调递减，最后单D的图象正确．故选D.2．函数f(x)＝lnx－x的单调递增区间是()【解析】∵函数f(x)＝lnx－x，∴定义域为(0，＋∞)，1由f′(x)＝x－1＝错误!〉0,解得0<x<1,∴函数f(x)＝lnx－x的单调递增区间是(0，1)．故选B.【解析】易知f′(x)＝3x2－2ax＋a≥0恒成立,所以Δ＝4a2－12a≤0,解得0≤a≤3。f＝ex＋x3，若f错误!〈f错误!,则实数x的取值范围是__________．【解析】因为f′错误!＝ex＋3x2>0，所以函数f(x)为增函数,所以不等式f错误!<f错误!等价于x2<3x－2，即x2－3x＋2〈01〈x<2，故x∈错误!.知识要点】设函数y＝f(x)在某区间(a，b)内可导,f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.若x∈(a,b)，f′(x)≥0，则f(x)在区间(a,b)内为__增函数__；若x∈(a，b),f′ (x)≤0，则f(x)在区间(a，b)内为__减函数__．剖析【p39】错误!(1)已知函数f(x)＝lnx－错误!。求证：f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．【解析】由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)．∵f(x)＝lnx－错误!，∴f′(x)＝错误!－错误!＝错误!。∴当x＞0时，f′(x)＞0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)已知f(x)＝ex(ax＋1)(e为自然对数的底数，a∈R为常数)，讨论函数f(x)的单【解析】∵f错误!＝ex错误!，∴f′错误!＝ex错误!.∴当a＝0时,f′错误!〉0,所以f错误!在R上单调递增．当a≠0时，f′(x)＝aex错误!.ff在错误!上，f′错误!<0,所以f错误!单调递减。【小结】导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的3步骤：(1)一求．求f′(x); (2)二定．确定f′(x)在(a，b)内的符号；(3)三结论．作出结论：f′(x)≥0时为增函数;f′(x)≤0时为减函数．考点2利用导数求函数的单调区间例2已知函数f(x)＝错误!(a≠0),求函数f(x)的单调区间．【解析】∵f错误!＝错误!错误!，∴f′错误!＝错误!＝错误!，①当a>0时，在x∈错误!∪错误!时,f′错误!<0，在x∈错误!时,f′错误!〉0，故f错误!在错误!，错误!上是减函数，在错误!上是增函数;②当a<0时，在x∈错误!∪错误!时,f′错误!〉0，在x∈错误!时,f′错误!〈0，故f错误!在错误!,错误!上是增函数，在错误!上是减函数． (2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数式f′(x)〉0或f′(x)〈0;②若已知f(x)的单调性求参数，则转化为不等式f(x)的定义域内解(或证明)不等f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区(1)确定函数f(x)的定义域; (3)解不等式f′(x)＞0,解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)＜0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．考点3已知函数的单调性求参数的取值范围错误!已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在区间(1,＋∞)上为增函数，求a的取值范围； (2)若f(x)在区间(－1，1)上为减函数,试求a的取值范围;(3)若f(x)的单调递减区间为(－1，1)，求a的值；【解析】(1)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1,＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1,＋∞)上恒成立,即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立,得a≥3x2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3。即当a的取值范围为[3，＋∞)时,f(x)在(－1，1)上为减函数．(3)f′(x)＝3x2－a。①当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞,＋∞)上为增函数．当x＞错误!或x＜－错误!时，f′(x)＞0；当－错误!＜x＜错误!时，f′(x)＜0.因此f(x)在错误!，错误!上为增函数，在错误!上为减函数．f(x)的单调递减区间为错误!，∴错误!＝1，即a＝3。(4)∵f′(x)＝3x2－a。由f′(x)＝0，得x＝±错误!(a≥0)．∵f(x)在区间(－1，1)上不单调，∴0＜错误!＜1，得0＜a＜3，即a的取值范围为(0，【小结】已知f(x)的单调性求参数，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在能力提升】 (1)讨论函数f错误!的单调性; (2)设曲线y＝f错误!在错误!处的切线为l，当a∈错误!时，求直线l在y轴上截距的取值【解析】(1)f′错误!＝ex错误!＋ex错误!＝ex错误!，当a≥2时,f′错误!≥0恒成立，函数f错误!的递增区间是R;当a〈2时，f′错误!≥0x2≥2－ax≤－错误!或x≥错误!，函数f错误!的递增区间是错误!,错误!，递减区间是错误!. 令x＝0得到：截距b＝aea－a3ea，记g(a)＝aea－a3ea，g′错误!＝ea(a＋1－3a2－a3)，∵1≤a≤3，∴g′错误!〈0，即g错误!在区间错误!上单调递减，∴g错误!≤g错误!≤g错误!，即截距的取值范围是:错误!。方法总结【p40】①f′(x)＞0是f(x)递增的充分条件而非必要条件(f′(x)＜0亦是如此)；②求单调区间时,首先要确定定义域,然后再根据f′(x)＞0(或f′(x)＜0)解出x的范走进高考【p40】1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－lnx－1。 (1)设x＝2是f(x)的极值点,求a，并求f(x)的单调区间； (2)证明:当a≥错误!时，f(x)≥0。【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－错误!.由题设知，f′(2)＝0，所以a＝错误!.从而f(x)＝错误!ex－lnx－1，f′(x)＝错误!ex－错误!。当0<x〈2时,f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．(2)当a≥错误!时,f(x)≥错误!－lnx－1.设g(x)＝错误!－lnx－1，则g′(x)＝错误!－错误!.故当x〉0时,g(x)≥g(1)＝0。来，本文档在发布之前我们对内容进行仔如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解ThisarticleiscollectedandcompiledbymycolleaguesandIinouryscheduleWeproofreadthecontentcarefullybeforethereleaseofthisarticlebutitisinevitablethatthere