(全国通用)2020版高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题四立体几何与空间向量第3讲立体几何中的向

第3讲立体几何中的向量方法的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上. (3)l∥α?a⊥μ?a·μ＝错误!0?错误!a1a3＋b1b3＋c1c3＝0；(4)l⊥α?a∥μ?a＝kμ?错误!a1＝ka3,b1＝kb3,c1＝kc3； (6)α⊥β?μ⊥v?μ·v＝错误!0?错误!a3a4＋b3b4＋c3c4＝0. a，b分别为异面直线a,b的方向向量，则两异面直线所成的角θ满足cosθ＝错误!错误!.(2)线面角:设l是斜线l的方向向量,n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角θ满足sinθ＝错误!错误!。(3)二面角①如图(Ⅰ)，AB,CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角nnl面α，β FAB中点,证明：直线EE1∥平面FCC1; C则错误!令x＝1,得n1＝(1,错误!，0)，又错误!＝错误!,故错误!·n1＝0，又E1E?平面FCC1，(2)错误!＝(错误!，－1,－2)，错误!＝(0，2,－2)，由错误!得错误!令b＝1，得其中一个n2＝(错误!,1,1)．同理易得平面BB1C1C的一个法向量n3＝(1,－错误!,0)，法步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系． (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直 ． (2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.ABA (3)由(2)知平面PAD的一个法向量A错误!＝(1,0,0)，向量P错误!＝(0,2，－2)，D→则错误!即错误!不妨令y＝1，可得n＝(0,1,1)为平面PCD的一个法向量．则n·A错误!＝(0，1,1)·(1,0,0)＝0，所以n⊥A错误!。考向2利用空间向量求空间角 AEC⊥平面AFC;(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．在Rt△FDG中，可得FG＝错误!.(2)如图，以G为坐标原点，分别以错误!,错误!的方向为x轴,y轴正方向，|错误!|为单由(1)可得A(0，－3,0)，E(1，0，所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为角度2利用空间向量求线面角33.例3(2019·银川一中新高三入学考试)如图,在四棱锥P－ABCD中，四边形长为8的菱形，∠BAD＝60°，△PBD是等边三角形，二面角P－BD－C的余弦值为13。 (2)求直线PC与平面PAD夹角的正弦值．解(1)证明：连接AC交BD于点O,连接PO. 易知∠POE为二面角P－BD－C的平面角,1所以cos∠POE＝3，sin∠POE＝错误!。又因为∠BAD＝60°，所以△ABD和△PBD都是边长为8的等边三角形．所以OP＝4得平面PAD的一个法向量m＝(－3,3，－错误!)．所以直线PC与平面PAD夹角的正弦值为错误!.角度3利用空间向量求二面角例4(2019·马鞍山高三监测)如图，半圆柱O′O中，平面ABB′A′过上、下底面的圆(1)求证：CD∥平面ABB′A′； 解(1)证明：如图,取的中点M,C而平面ABB′A′的一个法向量错误!＝(0,1,0)，由于错误!·错误!＝0及CD?平面ABB′A′，所以CD∥平面ABB′A′.则错误!设平面BAD的法向量n2＝(x′，y′，z′)，则错误!不妨设y′＝4,得n2＝(0,4，－错误!)， (1)异面直线所成的角|cosφ|。 (2)直线与平面所成的角φ求得，即φ求得，即cosθ＝θ主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sinθ＝|cosφ|。 (3)二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或． (2)若∠A1AB＝60°，AB＝2,直线AC1与底面ABC所成角的正弦值为错误!,求二面角A1－ →易知ABC的一个法向量为n＝(0,0，1)，∴|cos〈错误!，n〉|＝错误!＝错误!＝错误!，解得t＝错误!。∴错误!令z1＝1,由(1)可得平面AB1C1的一个法向量错误!＝(1,0，错误!),AACB的余弦值为错误!.考向3立体几何中的探索性问题 (2)若F为AB的中点，错误!＝λ错误!(0<λ<1)，试确定λ的值，使二面角P－FM－B的余弦值为－错误!。解(1)证明：∵PA⊥平面ABCD,AB2,解得λ＝错误!.略 (1)假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论．(2)在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等．若由则,给出肯定结论．(2019·桂林高三4月一模)如图1，在边长为3的菱形ABCD中，已知AF＝EC＝1，且EF(2)是否存在点P，使直线DF与平面PAE所成的角是45°？若存在,求出错误!的值;若不AM(2)结论：存在点P,使直线DF与平面PAE所成的角是45°.易得EF＝22,则F(0,0，0)，错误!令x＝1，可得z＝22,y＝3错误!－错误!，n．若存在点P,使DF与平面PAE所成的角是45°,解得λ＝错误!,因为λ∈(0，1]，所以λ＝错误!,即错误!＝错误!.故存在一点P,当错误!＝错误!时，直线DF与平面PAE所成的角是45°.真题押题AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()答案As＝错误!＝错误!，故异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为|cosθ|＝错误!，故选A。答案错误!则sinθ＝|cos<A错误!,A错误!〉|＝错误!＝错误!.3．(2019·北京高考)如图，在四棱锥P－ABCD中,PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC， (2)求二面角F－AE－P的余弦值;(3)设点G在PB上，且错误!＝错误!.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．(2)过点A作AD的垂线交BC于点M。因为E为PD的中点，所以E(0,1,1)．所以错误!＝错误!错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!。错误!即错误!令z＝1，则y＝－1,x＝－1。于是n＝(－1，－1,1)．又因为平面PAD的一个法向量为其余弦值为错误!. (3)直线AG在平面AEF内．理由：因为点G在PB上，且错误!＝错误!,错误!＝(2,－1，－2)，所以错误!＝错误!错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!.由(2)知，平面AEF的一个法向量n＝(－1，－1，1)，所以错误!·n＝－错误!＋错误!＋错误!＝0。F (如图)．1 (2)求二面角B－EF－D的余弦值；ABCD四边形，知AB∥CD,所以BF∥平面CDE。 由m·错误!＝0，m·错误!＝0，得错误!FDCDQBEF→证明如下：设BQ＝λ错误!＝(0，－λ,2λ)(λ∈(0，1))，所以错误!＝错误!＋错误!＝(0,1－λ，2λ)．设平面CDQ的法向量为u＝(a，b,c)，又因为错误!＝(－1,1，0)，所以u·错误!＝0，u·错误!＝0，即错误! (2)当C点为半圆的中点时，求二面角D－AE－B的余弦值．解(1)证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC， 错误!即错误!∴n1＝(1，0,2错误!)，设平面ABE的法向量为n2＝(x′，y′，z′)，错误!即错误!2,AA1＝AB＝4,∠BAC＝120°,∠ACC1＝60°。 ∠BAC＝120°，∠ACC1＝60°.ACcos23, (2)如图，以A为坐标原点，AB为y轴,AC1为z轴，建立空间直角坐标系，则C(错误!,→则错误!取x＝2，得n＝(2,0，1)，则sinθ＝错误!＝错误!＝错误!,3.(2019·蚌埠市高三下学期第二次教学质量检查)如图所示，菱形∠D＝60°,点H为DC的中点，现以线段AH为折痕将菱形折起使得点 CEFH∥平面PBC. (2)菱形ABCD中，∠D＝60°,则△ACD为正三角形, 错误!即错误!所以m＝(1,－错误!,－错误!)．因为平面PAH的一个法向量n＝(0,1,0)，cosα＝错误!。 PD点M，使得二面角M－AC－D的大小为45°，如果存在，求 ttA 得错误!则可取n＝错误!.又m＝(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，＝cos45°＝错误!，解得t＝错误!，即点M是线段PD的中点． 1 → 则错误!即错误!不妨设z1＝1，可得n1＝(0，1,1)．则错误!又错误!＝(0，1,2)，得错误!不妨设z2＝1,可得n2＝(0,－2，1)． (3)依题意，可设错误!＝λ错误!，其中λ∈[0,1]，又n＝(0，0,1)为平面ABCD的一个法向量，由已知，整理得λ2＋4λ－3＝0，又λ∈[0，1]，所以λ＝错误!－2. 解(1)证明：因为四边形ADEF为正方形，所以AF⊥AD。xy，所以n＝(2，－1,0)．设直线BF与平面CDE所成角为θ，设错误!＝λ(λ∈[0,1])，z所以错误!＝(1－λ，λ,0)．错误!在线段BD上存在点M，使得CE∥平面AFM等价于存在λ∈[0,1],使得m·错误!＝0.因为错误!所以－λ－2(λ－1)＝0，解得λ＝错误!∈[0,1], (2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最2π∵AB∥CD,∠BCD＝3，∴AB＝2，∠CBA＝60°。∴AC2＝AB2＋BC2－2·AB·BC·cos60°＝3。又∵四边形ACFE为矩形, (2)由(1)可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴,y轴，z轴的如图所示的空间直角坐令FM＝λ(0≤λ≤错误!)，M(λ，0,1)，∴错误!＝(－错误!，1,0)，错误!＝(λ，－1,1),由错误!得错误!＝错误!。∵0≤λ≤错误!，∴当λ＝0时，cosθ有最小值错误!，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为错误!。8．(2019·凯里市第一中学高三模拟)如图所示,三棱锥P－ABC放置在以AC为直径的半(1)求证：平面BOD⊥平面PAC； (2)当二面角D－AB－C的平面角为60°时,求错误!的值．(2)由(1)知PA⊥平面ABC,且BA⊥BC,过点B作PA的平行线,建立如图所示的空间直角 (0≤λ≤1)，则错误!?错误!取平面ABC的一个法向量为n＝(0,0,1)．因为二面角D－AB－C的平面角为60°，解得λ＝错误!或λ＝－错误!〈0(舍去)，所以当二面角D－AB－C的平面角为60°时，错误!＝错误!。 (2019·大连市高三一模)(12分)如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB解(1)证明：在等腰梯形ABCD中,连接BD，交AE于点O,∴△ADE为等边三角形， 角坐标系，(9分)则错误!∴错误!∴n1＝(错误!，－1,1),(10分)设二面角A－PE－C的大小为α，则|cosα|＝错误!＝错误!＝错误!。易知二面角A－PE－C为钝角，所以cosα＝－错误!.(12分)2分．直线与平面垂直给2分．3．由直线与平面垂直证明直线与直线垂直给2分．算公式求解给1分．建恰当的空间直角坐标系，准确求解相关点的坐标，赋值法求出平面的法向量，利用公式求出法向量的夹角