收敛数列性质

§2收敛数列的性质教学内容：收敛数列的性质，四则运算法则，子数列。教学要求：使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限；清楚子列概念，明确数列与其子列敛散性关系。教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其使用。教学难点：数列极限的计算。教学方法：讲练结合。教学学时：4学时。引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lima〃=a的方法，这是极限较基本的内容，要nT8求掌握。为了学习极限的技巧及其使用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。一、收敛数列的性质:则它只有一个极限。只需证明a=b，即证\a-b可小于任一给定充分小的数。根据数列极限的定义，有定理则它只有一个极限。只需证明a=b，即证\a-b可小于任一给定充分小的数。根据数列极限的定义，有分析：设数列｛a｝有两个极限a,bn证明：设lima=a与lima=bnT8ns'叫eN,Vn'叫eN,Vn>N『有|a-a\<e.

3N2eN,Vn>N2,有|a-b|<8.取N=maxN,N}.V>N,同时有|a一a|<8,|a一b|<8，于是，V>N,|a—b|=|（a—a）+（a一b）|<|这就说明a=b，从而收敛数列的极限唯一。定理2.3（有界性）若数列｛aj收敛，则｛aj为有界数列。|+|a—b<2e，分析:即证3M>0,VneN,都有|a|<M.证明:设lima=证明:设lima=a，根据数列极限定义，对80—1，3NeN*，Vn>N，有|a〃―a<1，从而nT8，取M=max]a|,|a|,Vn>N，有|a|=||a-a+a\<|a-a\+|a|<1+|a|,|a|+J，于是，VneN,都有|a|<M.即收敛数列必为有界数列。注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列1-1）〃｝有界，但它不收敛。存在正数N，使得定理2.4（保号性）若lima=a>0（或a<0），则对任何ae（0,a）（或ae（a存在正数N，使得ns当n>N时有a>a'（或a<a）。证明：设a>0，取80=a—a'（>0），则BN>0，Vn>N，有a>a—8=a'，这就证得结果。对于a<0，的情形，也可类似地证之。

注：使用保号性时，经常取1‘=a.定理2・5（保不等式性）设数列何｝与妇均收敛，若存在正数N0，使得当n>N0时有吃<气，则lima<limb。nT8nnT8n证明：设lima=a，lima=b，则Vs>0，nT8nnsn3N>0,使得当n>N时有：a-£<a3N2>0,使得当n>N2时有：b<b+£，取N=maxN,N,N｝，则当n>N时有：a-£<a<b<b+£，故有a<b证明：设lima=a，lima=b，则Vs>0，nT8nnsnnT8nT8思考：如果把条件“a<b”换成“a<b”，那么能否把结论换成lima<limb？（答：不行，考虑

nnnnnnnT8nT8保不等式性的一个使用:例1设a>0(n=1,2,3,)，证明：若lima例1设a>0(n=1,2,3,)，证明：若lima=ans证明：由保不等式性可得a>0.若a=0，则由lima=a，Vs>0，BN>0msn，贝glim、:'a=-Ja.ns使得当n>N时有|a-a|=an<£，从而故有limja〃=0.ns若a>0，则由lima=a，Vs>0，

msnBN>0，使得当n>N时有|an—a|<s，从而-w'a=—p^Ja+\a=<a一a■<a<-^s，故有lim侦a=-j'a.ans，当n>N0时有定理2.6（迫敛性）设收敛数列何｝、｛bj都以a为极限，数列｛cj满足：存在正数N0a<c<b，则数列｛c｝收敛，且，当n>N0时有nnnnnsn证明：由已知lima=limb=a有Vs>0，^：：1>:使得当（n>）时有°&<气，从而取nrsnn*n[BN2>0,使得当n>N2时有：b<a+s，故得数N=maXn,N,N｝，当n>N时有a-s<a<c<b<a+s，即有|c-a|<s

012nnnn，故得数列｛c｝收敛，且limc=a.nmsn注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。下面是其使用一例：例2证明limnn=1.ns证明：VneN+，有nn>1，令nn-1=h>0，则

n(n一1),,n(n一1),n=(1+h)n=1+nh+——^——h2++hn>—-——h2,一一：2°「一「一一.'2.-所以0<hn<—~1(n>1)，于是1<nn=1+、<1+、,——^(n>1)r易知lim1=lim1+I\n-1J从而由迫敛性便知limnn=1.ns有些教材在此还有性质保序性（本节课后习题2）（保序性）若lima=a,limb=b,且avb，则存在正数N，使得当n>N时有a〃vb〃.nsns证明：根据数列极限的定义，对£=^-^>0,o2由lima=a知BN>0,使得当n>N时有|a-a|vnT8n11n由limb=b知3N>0,使得当n>N时有|b-b|nsn22n取N=max｛N,N｝，则当n>N时便有av-~+—注：利用保序性以及反证法很容易可证明保号性定理。・数列极限的四则运算法则：b一aa+b2,从而av-,b一aa+b7

v—^,从而vb,vb，命题得证。定理2・7（极限的四则运算法则）若｛a｝、｛b｝为收敛数列nn则{a+b},{a一b},{a-b}也都收敛，且有lim(a土b)=a土b=limamsnnnsn土limb；lim(a-b)=a-b=lima-limb.若再做假设b。0及

nnnnnnnsnTsmsnslimb^0，则数列\「|也收敛nsn[bJnaalima且有lim—^=—=i^^―—.闩n”bblimb.ns证明：证明思路大致如下设lima=a，limb=b，则Vs>0，［nsnnsna-a|v£BN1>0,使得当n>N］时有|BN2>0,使得当n>N2时有|b-b|v£取N=maxN,N}，则当n>N时便有|a一a|<£,|a—b\v£同时成立。①|(a+b)一(a+b)\=|(a一a)+(b一b)\<|a一a|+|b一b|<2e于是lim(a+b)=a+b=lima+limb；nsnnnsnnsn|(a一b)一(a一b)\=|(a一a)一(b一b)\<|a一a|+|b一b|<2s于是lim(a-b)=a-b=lima-limb；msnnnrsnmsn又有界性定理收敛数列必有界，设数列bj有界，即BM>0,使得VneN*，都有|b|<M，n|ab一ab|=|(ab一ab)+(ab一ab)\<|a||b一b|+|b||a-a|<M£+b£=(M+|b|)£于是limab=ab=lima-limb；nnnnnrsnrsnrs④由limbnb0知li^b||b|0（上节课后习题7）,N3时有lbnlnb-2，maxN,N,N则当n由数列极限保号性知N时便有0，使得当a―nbnabn(abab)(abab)|b||ana||a||bnb|2b2a于是lim：nbnliman44limbnn在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。下举几例;2n23n2n21解:lim2n2n3n2n21232lim.nnn21上n2lim2n求limnnm1anmabnkbnk1kk1an

bn解:anm—mbnkbnkanm1—an

bna—0b0nmlim1n其中山已矢口limnmknanma

limj-mnkkanan解：若a若间nn21lim2nn2k,aam1nb—^1

n0,bk0，1lim.nam1nbk1n0，m——1—nm1b―1—nk1nm14nk11其中打anlimnan1anlimananliman1a广,mk'limannlimanlim1nnlim-1n11.an0;;].2lim—nn2lim1lim—nlimnnnn20.a——1—nm1bnk1a—nmb-0-

nka―o-nmb，—0-nka蚪，从而bk例6求limtn((n+1fn).ns1,1+1+12，-n解：lim%：n(气n+1—-Jn)=lim——==limnsns1,1+1+12，-nTOC\o"1-5"\h\z例7求lim:+,=++-n2+1眼2+2n<1+1++<n2+n\n2+1\n2+2vn2+n.n2+111+\n2<n2+n且易知lim1ns,1n~81.、:1+_"1+——\n\n21=1（参考例1结论），于是由数列极限迫敛性便知limns1.+_^+…+^^]\yjn2+1yin2+2<n2+nlimns1.1.引言:极限是个有效的分析工具。但当数列｛an｝的极限不存在时，这个工具随之失效。这能说明什么呢?难道｛a｝没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列n进行研究。那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”。2.子列的定义:定义1设｛a｝为数列，｛n｝为正整数集"的无限子集，且n<n2<七<<n<，则数列称为数列｛a｝的一个子列，简记为｛a｝.k注1由定义可见，｛a｝的子列｛a｝的各项都来自｛a｝且保持这些项在｛a｝中的的先后次序。简单地k讲，从｛an｝中取出无限多项，按照其在｛an｝中的顺序排成一个数列，就是"〃｝的一个子列（或子列就是从｛a｝中顺次取出无穷多项组成的数列）。n注2子列｛a｝中的n表示a是｛a｝中的第n项，k表示a是｛a｝中的第k项，即｛a｝中的第nkknknknknkk项就是｛a｝中的第七项，故总有七>k.特别地，若七=k,则ak=a，即｛a｝=｛a｝.注3数列｛a〃｝本身以及何｝去掉有限项以后得到的子列，称为｛a〃｝的平凡子列；不是平凡子列的子

列，称为何｝的非平凡子列。如｛。2「也kJ都是"J的非平凡子列。3.数列与其子列敛散性关系：由上节例8易知：性质：数列｛。｝与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。n那么数列｛。｝的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果:n定理2.8数列｛aj收敛于ao｛aj的任何非平凡子列都收敛且都收敛于a。证明：［必要性］设｛a｝是｛a｝的任一子列。由lima=a知Ve>0，BN>0,使得当k>N时有，所以｛a｝也收敛于a。nkkn—s而n>k，于是n>N，从而a—aVenk［充分性］设lima=lima=a，由数列极限的定义n—s2k-1n—s2kVe>0,<'BK>，所以｛a｝也收敛于a。nkVe>0