2020-2021学年四川省成都市蓉城名校联盟高二下学期入学联考数学(理)试题(解析版)

2020-2021学年四川省成都市蓉城名校联盟高二下学期入学联考数学（理）试题1．抛物线x24y的准线方程为（）y1C．xD．1【答案】C【分析】求出焦参数，根据焦点的位置确定准线方程．pyC．2．某中学甲班随机抽取.对这些数据，以下说法正确的是（）cm），获得的身高数据如A．众数为181B．众数为173C．中位数为173D．中位数为177【答案】B【分析】根据茎叶图，计算样本的众数、中位数，即可知正确选项.162,164,166,169,171,173,173,173,181,181【详解】由茎叶图知：样本数据为，171173173，中位数为2172.∴众数为故选：B3．命题x1,x22”的否定是（）0“0A．不存在x1,x22x1,x22B．xC．1,x220000xD．1,x22【答案】D否定：变为并否定设命题的否定.【分析】根据特称命题的原结论，即可写出题【详解】由特称命题的否定为全称命题，知：变为，否定结论.∴原命题的否定为：x1,x22.故选：D4．某学校组织学生参加数学测试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数第1页共13页学生人数是（）A．2000【答案】D【分B．500C．200D．10060布直方图中前两个小矩形的面积之和即为低于分的频率，再由析】求出频率分60低于分的人数60除以低于分的频率即可求解.60布直方图可得低于分的频率为0.0050.010200.3，【详解】由频率分6030低于分的人数是，30所以该班的学生人数是100，0.3故选：D.5．“2x14”是“x5”的（）A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解出不等式2x14，即可判断出结论．3【详解】解：因为，解得x；2x1423因为2xx5，反之不成立，因此“2x14”是“x5”的充分不必要条件．故选：A．.若在区间4,3f(x)log(x1)fx0上随机取一个实数，则的概6．已知函数x020率为（）6543D．7A．B．C．777【答案】D第2页共13页【分析】总的区间长度为347，再由fxlogx10求出得范围，即可x0020求出fx0包含的区间长度，由几何概型的概率公式即可求解.0【详解】总的区间长度为347，f(x)log(x1)0可得log(x1)log1，即x11，解得0x3，00202020所以fx0包含的区间长度为303，0由几何概型的概率公式可得fx0的概率为3，70故选：D.7．双曲线x2y2b2的焦距为43，且双曲线的一条渐近线与直线2xy01(a0,b0)a2垂直，则双曲线的方程为（）A．x212yB．x212yC．x2y21D．x2y211644164884【答案】Dba【分析】根据题意2c43，可得c的值，结合a2b2c2以及渐近线y2xy0垂直即可求出a,b的值，进而可得双曲线的方程.x与【详解】因为双曲线x2y2b21(a0,b0)的焦距为43，所以2c43，可得c23，a2即a2b212，b因为双曲线的渐近线yx与2xy0垂直，a所以ba1即b2，2a2ab12222a22b由a解得：，2b2a0,b0所以双曲线的方程为x2y21，84故选：D【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据已知条件得出关于a,b的方程组，解方程组即可求解.8．执行如图所示的程序框图，若输出的值为15，则判断框内可填（）第3页共13页nA．7？n4D．？B．？C．？6n5n【答案】C【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】解：n0，S0，011，不满足退出循环的条件；第一次执行循环体后，n1，S第二次执行循环体后，n2，S123，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，n3，S336，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，n4，S6410，不满足退出循环的条件；10515，满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，n5，S若输出的值为15，故判断语句为n5？，故选：C．9．若抛物线y4x的准线为l,P是抛物线上的一点，则P点到准线l的距离与P点到直2线xy40的距离之和的最小值为（）3252C．2A．B．22D．322【答案】Cxy40的距离为d，由抛物线的2【分析】设P点到准线l的距离为d，P点到直线1定义可知：dd|PF|d（点F为抛物线的焦点），易知点F到直线xy40的距122离d即为dd的最小值，求出d即可．12xy40的距离为d，2【详解】解：设P点到准线l的距离为d，P点到直线1第4页共13页由题设可知抛物线4x的焦点y(1,0)F，|PF|d，21|104|52dd|PF|d2，221252xy40的距离之和的最小值为，P点到准线的距离与点到直线lP2故选：C．10．某公司10位员工的月工资（单位：元）为,,,x，其均值和方差分别为和xxxx12310s2，若从下个月开始每位员工的月工资增加1000元，则这10位员工下个月工资的均值和方差分别为（）A．,1000B．x1000,s210002D．x1000,s2xs2C．xs2,【答案】D【分析】利用平均数的定义以及方差的含义进行分析求解即可．【详解】解：每位员工的月工资增加1000元，所以平均值也增加1000元，由于员工工资的波动性并没有发生变化，即方差不变．10位员工下个月工资的均值和方差分别为x1000,s2；所以这故选：D．kx210有两个不同的实数根，则的取值范围为kx的方程4x11．若关于2（）13443113241,1D．2B．(,]A．,C．,44【答案】B【分析】由题设，可将问题转化为y4x与(2)1有两个交点，应用数形结ykx2合的思想，判断恰好有两个交点、一个交点时的值，即可确定的范围.kk【详解】由题设知：24xkx21，可将问题转化为y4x2与(2)1有ykx两个交点，(2,1)2由y4x过(20)且为圆的上半部分，而yk(x2)1过定点，101，1、当yk(x2)1过(2,0)，此时k2(2)4第5页共13页与y4x2相切时，此时|112kk2|23k，则，41.43k∴由上，要使它们有两个交点，则4故选：B12．椭圆x2y21的左、右顶点分别为,，点P在椭圆上且直线PA斜率的取值范2AA212围是2,1，那么直线PA斜率的取值范围是（）111421324141A．,B．,C．,1D．2,1【答案】A，由在椭圆上可得kk12，又PPA2PA1y2P(x,y)，则PA2x22【分析】设有kkPA1k[2,1]即可求直线PA斜率的取值范围.PA12【详解】由题意知：设P(x,y)，而1A(2,0)A，(2,0)，2yyy2kk，而x22y22，x22∴kPA2k，，则x2x2PAPA2PA11111∴kk[2,1]，故k[,].PA1，又kPA242PA2PA12第6页共13页故选：A二、填空题13．某班共有56人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知9号，37号，51号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是_______________________.【答案】2356【分析】先计算分组间隔k14，由第一组抽出的为9号，即可求解.4564【详解】由题意可得：分段间隔k14，第一组抽出的为9号，所以第二组抽出的为91423号，第三组抽出的为914237号，第四组抽出的为914351号，所以样本中还有一个学生的学号是23，故答案为：23.30176，则的值为_______________________.14．若进制数kkk【答案】5【分析】根据进制数转化为十进制的方法即可求解.k3013k20k11k03k2176，【详解】进制数kk解得k5或5，k因为k0，所以k5，故答案为：5.15．在空间直角坐标中，已知点P2,2,2,Q1,3,1，则OxyzPQ_______________________.【答案】3【分析】根据空间中两点间距离公式即可求解.【详解】因为点P2,2,2,Q1,3,1，所以PQ2123211113，222故答案为：3.第7页共13页16．已知点1,2和抛物线MCy:4x，过的焦点且斜率为的直线与交于A,BCkC2两点，若90，则_______________________.AMBk【答案】1ykx(1)，联立抛物线方程并整理，应用韦达定理求xx、xx，进1212【分析】设直线yy、yy，由，应用向量垂直的坐标表示，列方程求值.MAMB0k1212而求Cy2:4x的焦点为，可设直线yk(x1)，联立抛物线方程，(1,0)【详解】由题设，∴k2x22(k22)xk20，若A(x,y),B(x,y)，112244，kxx1yykxx2，，则xx121(2)∴2k21212yyk2[xx(xx)1]4，121212∵AMB90，即MAMB(x1,y2)(x1,y2)0，1122121xxxxyy122(yy)40，则10，∴1212122kk∴k1.故答案为：1三、解答题17．已知甲袋中装有2只白球，（1）在甲袋中任取2球，求球颜色不同的概率；（2）若在甲、乙两袋中各取一球，求球颜色相同的概率4只黑球；乙袋中装有2只白球，3只黑球.取出的两取出的两.【答案】（1）158；（2）158.【分析】（1）利用古典概型的概率求解；（2）利用互斥事件的概率求解.【详解】解：（1）设甲袋中白球为a,a，黑球为b,b,b,b，从中抽取2球，可能抽取121234的情况如下：a,a,a,b,a,b,a,b,a,b,a,b,a,b,a,b,a,b，121112131421222324b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b共15种情况，121314232434两球颜色不同共有8种，P8.15第8页共13页12（2）在甲袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为；3323.在乙袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为55设在甲、乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同为事件，A12238P(A)353515fxlogax24xa的定义域为；命题:函数q:不等式2ax．设命题pR218xx22(,1)在上恒成立.p,q均为真命题，求实数的取值范围；（）若命题1a（）若命题2“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，求实数的取值范围a.1）2；（）2[1,2].a【答案】（q【分析】（1）分别求出.p、为真命题对应参数的范围，取交集即为所求aqqp,q一真一假，讨论真假、假真，求对应参数的范围，取并集（2）由题设知ppa即为所求.【详解】（1）若p为真命题，则在R上恒成立，ax4xa02①当0时，不合题意；aa0②当0时，需满足aa2，解得；164a20a2综上：，2x21q(,1)在(,1)上恒成x若为真命题，2axx2在上恒成立，即a2x立，y2x21在(,1)上单调递增，xa1，∴命题a.p,q均为真命题，则2（2）命题“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，p,q一真一假，a2①真假，则，即a；a1qpa2，即a1qa[1,2]；②假真，则p.a综上：[1,2]y240，直线l恒过点P4,1.x19．已知圆C:x2（）若直线l与圆C相切，求的l方程；1第9页共13页AB23A,B两点，且C相交于（2）当直线与圆时，求的方程.ll3x4y1602y14x3y130.或；（）或【答案】（1）x4【分析】（与圆相切，当直线的斜率存在时，设1）当直线的斜率不存在，易知4llxkxy14k0，由与圆相切圆心到直线的距离等于半径，列方程求直线为lk值，即可写出的方程；lkxy14k0，利用点线距离公式求（2）由题设，直线斜率一定存在，设直线为ll圆心到直线的距离，根据、圆的半径与弦长AB的几何关系求值，写出直线方rddk程即可.x24r0的圆心为，半径为2；2,0【详解】（1）由题意知，圆Cx:2y①当直线.l的斜率不存在时，即l的方程为时，此时，直线与圆相切，符合题意；x4y1kx4，化为一般式：l的斜率存在时，设斜率为，则直线l为②当直线kkxy14k0，|12k|2，整理得14424k4，解34dkkk∴若直线l与圆相切，则得，2k213l:xy40:34160，，即lxy4C相切，的方程为：或xy34160l4x综上：当直线与圆lkxy14k0，1）可设直线为（2）由题意知，直线的斜率一定存在，由（ll|12k|d设圆心到直线的距离为，则k21，d|AB|(21)k2由垂径定理知：d4，即234，整理得3k24k0，2212k43k0或，kl的方程为或xy143130.y20．某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：201412015220174201852019620207年份20163年份代号t人均纯收入y6.97.37.68.89.28.49.9（1）求关于yt的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预该测地区2025年农村居民家庭人均纯收入.第10页共13页附：回归直线yabt的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：nttyyˆˆ,ˆaybt.iibi12nttii1【答案】（1）yˆ0.5t6.3；（2）人均纯收入逐年增加，平均每年增加千元；12.3千0.5元.ˆˆ【分析】（1）利用题中所给的数据求出b和a，即可得到线性回归方程；（2）通过bˆ0，即可得到2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入变化情况，将年份代码t12代入回归方程，求解即可．1算得：(1234567)4，t【详解】解：（1）由所给数据计71y(6.97.37.68.48.89.29.9)8.3，77tt2941014928，ii17ttyy(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.931.614iii1，7ttyy140.5，ˆbiii1tt2287ii1ˆˆ8.30.546.3，aybtˆ0.5t6.3.所求回归方程为：y（2）由（1）知，b0.50，故2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.将2025年的年份代号t12代入（1）中的回归方程，得ˆ0.5126.312.3，故预测该地区2025年农村居民家庭人均纯收入为12.3千元.yy21ab0的两个焦点，P为上一点，为坐标原COb2x2F,F是椭圆C:21．已知点.12a2（1）若△POF是等边三角形，求C的离心率；2（2）如果存在点P，使得PFPF，且△的面积等于32，求的值和的a取值FPFb2121范围.第11页共13页【答案】（1）31；（2）42，8.abcc3,【分析】（1）由题设可知的坐标为，由为C上一点，代入椭圆方程，即PP22可求C的离心率；PFPF2b2，根据已知条件和（2）由PFPF，应用勾股定理及椭圆的定义可得1212PF24PFPF2三角形面积公式求的值，由12，即可求.a的范围bPF1c3xy22ab21）若POF为等边三角形，则的坐标为c，代入方程1，△,【详解】（P22223c2∴c21，解得2423，又01，ee4a24b2∴e31.（2）由224c2，2PFPF，则PFPF121PFPF2PF1PF224c2，即PFPF24a24c24b2，，得b42.∴121212PFPFb232∴PFPF2b2，而S12121PFF2∵24PFPF，即aPFPF(2)42，2PF1PF21122PFPF∴a，即64，a212∴a8.22C:21的右焦点为xy2．已知椭圆F，过点与椭圆F的直线（不与x轴垂直）C相43交于A,B两点，直线l:x4，垂足为与x轴相交于点，过点作AADlD.H（）求1四边形（为坐标OAHBO原点）面积的取值范围；（）证明：直线BD过定点E，并求点E的坐标2.5证明见解析，E,0.1）06；（）S2【答案】（2Ax,y,Bx,y以及直线AB的方程1）设11【分析】（与椭圆方程联立，消去x得出关22y2于的一元二次方程，可得