中考数学二次函数压轴题题型归纳

中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式：AByy2xx2 A B A Bxxyy2 2直线ykxb（k0）与ykxb（k0）的位置关系：中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：A B，A B 1 1 1 2 2 2（1）两直线平行kk且bb（2）两直线相交kk1 2 1 2 1 2（3）两直线重合kk且bb（4）两直线垂直kk1 1 2 1 2 12一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：用和参数的其他要求确定参数的取值范围；解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x的一元二次方程x2－2m1xm2＝0有两个整数根，m＜5且m为整数，求m的值。二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线ymx23m1x3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于x的方程mx23(m1)x2m30（m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。解：当m0时，x1；当m0时，m320，x3m1，x23、x1； 2m 1 m 2综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线yx2mxm2（m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于m的方程yx22m1x；yx220 y11x0 x1 ∴ ，解得： ；∴抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。（题目要求等价于：关于m的方程yx22m1x不论m为何值，方程恒成立）a0小结．．：关于x的方程axb有无数解b07、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）如图，直线l、l，点A在l上，分别在l、l上确定两点M、N，使得AMMN之和最小。如图，直线l、l相交，两个固定点A、B，分别在l、l上确定两点M、N，使得2 1 2BMMNAN之和最小。如图，A、B是直线l同旁的两个定点，线段a，在直线l上确定两点E、F（E在F的左侧），使得四边形AEFB的周长最小。通过可判断两个图象的交点的个数有两个交点＞0仅有一个交点0没有交点＜0方程法设：设主动点的坐标或基本线段的长度表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量列方程或关系式几何分析法8、8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如右图，S△PAB=1/2·PM·△x=1/2·AN·△y9、函数的交点问题：二次函数（cbxaxy＋＋＝2）与一次函数（hkxy＋＝）（1）解方程组hkxycbxaxy＋＝＋＋＝2可求出两个图象交点的坐标。（2）解方程组hkxycbxaxy＋＝＋＋＝2，即02＝－＋－＋hcxkbax，几何要求几何要求几何分析涉及公式应用图形跟平行有关的图形平移2121kkll＝∥、2121xxyyk平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等22BABAxxyyAB直角三角形直角梯形矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、中垂线的性质等。22BABAxxyyAB等腰三角形全等等腰梯形跟角有关的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等★求面积最大连接AC,在第四象限找一点P，使得ACP面积最大，求出P坐标OyOyABCDOyABCD讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为直角三角形，求出P坐标或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．【例题精讲】【例题精讲】一基础构图：y=322xx（以下几种分类的函数解析式就是这个）★和最小，差最大在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标OxyABCDx讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为等腰三角形，求出P坐标讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，OyAOyABCD二综合题型例1(中考变式）如图，抛物线yx2bxc与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交Y轴于C(1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积。(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点P的坐标。若没有，请说明理由(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？(4)在（5）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形？(5)在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？例2考点：关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(－1，0)、(0，－3)，点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．求该二次函数的解析式；yxyxBAFPCO求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．x＝1例3考点：讨论等腰1如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），2点C的坐标为（0，－1）．求抛物线的解析式；点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．DDBCOAyxEBCOAyx备用图 1 1⑵已知：如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2＋ 2 21bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，20）求二次函数的解析式；求四边形BDEC的面积S；在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．OOAByCxDE2例4例4：讨论直角三角考点⑴如图，已知点A（一1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）．(A）2个（B）4个（C）6个（D）7个例5考点：讨论四边形已知：如图所示，关于x的抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A（－2，0），点B（6，0），与y轴交于点C．求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．BABAyOCx综合练习：平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax4ac与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为(1,0)，OB＝OC，抛物线的顶点为D。求此抛物线的解析式；若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＝∠ACB，求点P的坐标；Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A，若QAQB2，求点Q的坐标和此时△QAA的面积。在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数yax2+2axc的图像与y轴交于点C0，3，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为3，0。求二次函数的解析式及顶点D的坐标；点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1：2的两部分，求出此时点M的坐标；点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标。2如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx22x与x轴负半轴交于点A，顶点为B，m且对称轴与x轴交于点C。（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（0，2），求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M在直线OB上，且使得AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。4、已知关于x的方程(1m)x2(4m)x30。若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；若正整数m满足82m2，设二次函数y(1m)x2(4m)x3的图象与x轴交于A、B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线ykx3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）。5如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．（1）求该抛物线的解析式；三、中考二次函数代数型综合题（2）点Q（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．例1．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋m－2的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x＜x．1 2若xx＜0，且m为正整数，求该二次函数的表达式；12若x＜1，x＞1，求m的取值范围；m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由； 1 MD 1（4）若过点D（0，）的直线与（1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且 ＝ ，求该直2 DN 3线的表达式．题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题例2已知二次函数y=x2+mx+m-5，求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短．题型三、抛物线方程的整数解问题例1．已知抛物线yx22(m1)xm20与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m＜5，则整数m的值为_____________例2．已知二次函数y＝x2－2mx＋4m－8．当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；AOxy以抛物线y＝x2－2mx＋4m－8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMNAOxy若抛物线y＝x2－2mx＋4m－8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数．．m的值．题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例1．已知抛物线yx2bxc（其中b>0，c≠0）与y轴的交点为A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B(m,n)，且AB=2.(1)求m,b的值(2)如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且BO=20。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请画图思考）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）例1．已知：二次函数yx24xm的图象与x轴交于不同的两点A（x，0）、B（x，0）（x 1 2 1＜x），其顶点是点C，对称轴与x轴的交于点D．2求实数m的取值范围；如果（x+1）（x+1）=8，求二次函数的解析式； 1 2把（2）中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点A、1B，顶点为点C1，且△ABC是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式．1 111综合提升1．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），且|AB|＝23，图象的 对称轴为x＝1．求二次函数的表达式；若二次函数的图象都在直线y＝x＋m的下方，求m的取值范围．2．已知二次函数y＝－x2＋mx－m＋2．若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，求m的值；设该二次函数图象与y轴的交点为C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且S△MNC＝27，求m的值．3.已知关于x的一元二次方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0有两个整数根，k＜5且k为整数．求k的值；当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝x2－2(k＋1)x＋k2的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；根据直线y＝x＋b与（2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围．4．已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．若m为定值，求此二次函数的解析式；若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；若二次函数的图象截直线y＝－x＋1所得线段的长为22，求m的值．四、中考二次函数定值问题1.如图，已知二次函数L：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点1C．写出二次函数L的开口方向、对称轴和顶点坐标；1研究二次函数L：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．2①写出二次函数L与二次函数L有关图象的两条相同的性质； 2 1②若直线y=8k与抛物线L交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF2的长度；如果会，请说明理由．如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三