2019版数学（文）教师用书：第二章 第十节 变化率与导数、导数的运算 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第十节变化率与导数、导数的运算1．导数的概念（1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq\o(lim，\s\do4(Δx→0）)eq\f(Δy，Δx）＝eq\o（lim，\s\do4(Δx→0)）eq\f(fx0＋Δx－fx0，Δx)为函数y＝f(x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0)或y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,x＝x0))，即f′（x0)＝eq\o（lim,\s\do4(Δx→0）)eq\f（Δy,Δx）＝eq\o（lim，\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0，Δx)。(2）导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点P（x0，y0）处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t）对时间t的导数）．相应地,切线方程为y－y0＝f′（x0)（x－x0）．(3)函数f（x)的导函数：称函数f′(x）＝eq\o(lim,\s\do4（Δx→0）)eq\f(fx＋Δx－fx，Δx)为f（x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x）＝xn(n∈Q＊）f′(x）＝n·xn－1f(x)＝sinxf′(x）＝cos_xf(x)＝cosxf′（x)＝－sin_xf(x）＝ax（a〉0)f′(x)＝axln_af(x）＝exf′（x)＝eq\a\vs4\al（ex）f(x）＝logax(a>0，且a≠1)f′(x）＝eq\f(1，xlna)f（x）＝lnxf′（x）＝eq\a\vs4\al(\f(1，x）)3．导数的运算法则（1）[f（x)±g（x)]′＝f′(x）±g′(x）；(2）［f(x）·g（x）］′＝f′（x)g(x）＋f（x)g′（x）；（3）eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（fx，gx)）)′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,［gx］2）（g（x)≠0）．1．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√"或“×")(1）f′(x0)与[f(x0）]′表示的意义相同．（）(2)f′(x0）是导函数f′(x）在x＝x0处的函数值．()(3）曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()（4）因为(lnx）′＝eq\f(1,x)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，x）))′＝lnx．（）答案：(1）×(2）√(3）√（4)×2．已知f(x）＝xlnx，若f′（x0)＝2，则x0等于()A．e2 B．eC。eq\f（ln2,2) D．ln2解析：选Bf（x)的定义域为（0，＋∞)，f′(x）＝lnx＋1，由f′（x0)＝2，即lnx0＋1＝2,解得x0＝e。3．下列求导运算正确的是(）A.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(1,x）））′＝1＋eq\f（1,x2） B．(log2x）′＝eq\f（1，xln2)C．（3x)′＝3xlog3e D．（x2cosx）′＝－2sinx解析：选Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f（1，x)））′＝x′＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，x）))′＝1－eq\f（1，x2）；(3x）′＝3xln3；（x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx.4．曲线y＝1－eq\f(2,x＋2)在点（－1，－1)处的切线方程为(）A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2解析：选A因为y＝1－eq\f（2，x＋2）＝eq\f(x，x＋2）,所以y′＝eq\f（x＋2－x，x＋22)＝eq\f(2，x＋22)，y′|x＝－1＝2,所以曲线在点(－1，－1）处的切线斜率为2,所以所求切线方程为y＋1＝2（x＋1),即y＝2x＋1。5．(2017·全国卷Ⅰ）曲线y＝x2＋eq\f（1,x）在点（1,2）处的切线方程为________．解析：因为y′＝2x－eq\f（1，x2)，所以在点（1,2)处的切线方程的斜率为y′｜x＝1＝2×1－eq\f(1,12）＝1,所以切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0。答案：x－y＋1＝06．已知直线y＝－x＋1是函数f（x)＝－eq\f(1，a）·ex图象的切线，则实数a＝________.解析：设切点为（x0，y0），则f′(x0）＝－eq\f（1,a)·ex0＝－1，∴ex0＝a，又－eq\f(1，a)·ex0＝－x0＋1,∴x0＝2,a＝e2.答案:e2eq\a\vs4\al(考点一导数的运算)eq\a\vs4\al（基础送分型考点—-自主练透)[考什么·怎么考]导数的运算是所有导数问题的基础，高考中直接考查导数运算的题目较少，但凡是涉及导数的问题不用计算导数的也极其罕见。因此，必须牢牢掌握导数的运算法则.1．已知函数f（x)的导函数为f′(x),且满足f(x)＝2xf′（1)＋lnx,则f′（1)＝(）A．－e B．－1C．1 D．e解析：选B由f(x)＝2xf′（1)＋lnx,得f′(x）＝2f′(1）＋eq\f(1,x).所以f′(1）＝2f′（1)＋1,则f′（1）＝－2．求下列函数的导数．（1）y＝x2sinx；（2)y＝lnx＋eq\f(1，x）；(3)y＝eq\f（cosx,ex）；解:(1）y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（lnx＋\f(1，x)))′＝(lnx)′＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,x)）)′＝eq\f（1,x)－eq\f(1，x2)。(3)y′＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx，ex）))′＝eq\f（cosx′ex－cosxex′,ex2）＝－eq\f（sinx＋cosx,ex)。[怎样快解·准解]1．谨记1个原则先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．2．熟记求导函数的5种形式及解法(1）连乘积形式:先展开化为多项式的形式，再求导;(2）分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导;(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4）根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．eq\a\vs4\al（考点二导数的几何意义）eq\a\vs4\al（题点多变型考点——追根溯源）导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第1问中，难度较小,属中低档题.,常见的命题角度有：1求曲线的切线方程；2求切点坐标；3求参数的值范围.［题点全练］角度（一）求曲线的切线方程1．已知函数f（x)＝lnx－eq\f(8x－1，x＋1)，则函数f（x)的图象在eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，－\f(7，2）））处的切线方程为________．解析：由f（x）＝lnx－eq\f(8x－1,x＋1)，得f′（x)＝eq\f(1,x)－eq\f（9，x＋12),则f′(1)＝1－eq\f(9，1＋12)＝1－eq\f(9,4)＝－eq\f(5,4），故所求切线方程为y－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(7，2）))＝－eq\f(5，4）(x－1),即5x＋4y＋9＝0.答案：5x＋4y＋9＝0角度(二)求切点坐标2．曲线f（x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为（）A．（1,3） B．（－1,3)C．（1，3）和(－1,3） D．(1，－3)解析：选Cf′（x）＝3x2－1，令f′（x)＝2,则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P（1，3)或(－1,3），经检验，点(1,3），（－1，3)均不在直线y＝2x－1上,故选C.角度(三）求参数的值（范围)3．(2018·成都诊断）若曲线y＝f（x)＝lnx＋ax2(a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是()A。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2),＋∞）) B.eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，2），＋∞）)C．（0,＋∞） D．[0，＋∞)解析:选Df′（x)＝eq\f(1，x）＋2ax＝eq\f（2ax2＋1，x）（x＞0）,根据题意有f′(x)≥0(x＞0）恒成立，所以2ax2＋1≥0（x＞0）恒成立，即2a≥－eq\f(1，x2）（x＞0)恒成立,所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞）．［题“根”探求]看个性角度（一）是求曲线的切线方程，其关键是理解导数的几何意义,并能准确求导；角度（二)是求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标;角度(三)是求参数的值(范围），其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程找共性解决此类问题的先决条件是应先正确求导，再根据其他条件求解，求曲线的切线应注意:(1)“过点A的曲线的切线方程"与“在点A处的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点；（2)曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个［冲关演练]1．曲线y＝sinx＋ex在点（0，1）处的切线方程是()A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0解析：选C因为y＝sinx＋ex，所以y′＝cosx＋ex，所以y′｜x＝0＝cos0＋e0＝2,所以曲线y＝sinx＋ex在点（0，1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0。2．(2017·天津高考）已知a∈R,设函数f（x）＝ax－lnx的图象在点（1，f(1）)处的切线为l,则l在y轴上的截距为________．解析：因为f′(x）＝a－eq\f（1,x），所以f′(1）＝a－1.又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1）．令x＝0,得y＝1.答案：13．（2018·云南一检）已知函数f（x）＝axlnx＋b(a,b∈R），若f（x）的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________.解析：由题意，得f′(x）＝alnx＋a，所以f′(1)＝a，因为函数f（x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，则2×1－b＝0，所以b＝2,故a＋b＝4.答案：4（一）普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1．已知函数f(x）＝(x2＋2)（ax2＋b），且f′（1)＝2，则f′（－1)＝（）A．－1 B．－2C．2 D．0解析:选Bf（x)＝（x2＋2）(ax2＋b）＝ax4＋(2a＋b)x2＋2b,f′(x)＝4ax3＋2（2a＋b）x为奇函数，所以f′(－1）＝－f′（1)2．已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f′(1）＝－1，则a＝()A．e B.eq\f(1，e）C.eq\f(1，e2） D。eq\f（1，2）解析：选B因为f′(x)＝eq\f(1,xlna)，所以f′（1）＝eq\f(1，lna)＝－1,所以lna＝－1，所以a＝eq\f(1，e).3．曲线y＝ex－lnx在点（1,e)处的切线方程为()A．（1－e)x－y＋1＝0 B．（1－e)x－y－1＝0C．（e－1)x－y＋1＝0 D．（e－1）x－y－1＝0解析：选C由于y′＝e－eq\f(1，x)，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－lnx在点（1,e)处的切线方程为y－e＝（e－1）（x－1)，即（e－1)x－y＋1＝0。4．曲线f(x）＝2x－ex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为()A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0解析：选C曲线f（x)＝2x－ex与y轴的交点为(0，－1)．且f′（x)＝2－ex，所以f′(0）＝1.所以所求切线方程为y＋1＝x，即x－y－1＝0.5．函数g（x)＝x3＋eq\f（5,2）x2＋3lnx＋b（b∈R）在x＝1处的切线过点（0，－5），则b的值为（)A.eq\f（7，2) B。eq\f（5，2)C。eq\f(3，2） D.eq\f（1，2)解析：选B当x＝1时,g(1）＝1＋eq\f(5,2）＋b＝eq\f（7,2)＋b，又g′（x）＝3x2＋5x＋eq\f(3,x)，所以切线斜率k＝g′（1)＝3＋5＋3＝11，从而切线方程为y＝11x－5，由于点eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1，\f(7，2)＋b）)在切线上，所以eq\f(7,2）＋b＝11－5,解得b＝eq\f(5，2）。故选B。6。如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f（x)在x＝3处的切线,令g（x)＝xf(x),g′（x）是g(x）的导函数，则g′（3)＝()A．－1 B．0C．2 D．4解析：选B由题图可知曲线y＝f(x）在x＝3处的切线的斜率为－eq\f（1，3），即f′(3）＝－eq\f(1,3)，又g（x）＝xf(x),g′(x)＝f(x)＋xf′(x),g′（3）＝f（3)＋3f′（3），由题图可知f(3）＝1，所以g′（3）＝1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3）））＝0.7．已知函数f(x)＝eq\f（1,x)cosx，则f（π)＋f′eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π,2）)）＝________。解析：∵f′（x）＝－eq\f（1，x2）cosx－eq\f（1,x)sinx，∴f(π）＋f′eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，2））)＝－eq\f(1，π）－eq\f（2，π)＝－eq\f（3，π）。答案：－eq\f（3，π）8．（2018·东北四市联考)函数f（x)＝exsinx的图象在点（0，f（0）)处的切线方程是________．解析：由f（x）＝exsinx，得f′(x）＝exsinx＋excosx,所以f(0）＝0且f′（0)＝1，则切线的斜率为1，切点坐标为（0,0），所以切线方程为y＝x。答案：y＝x9．若函数f(x)在R上可导，f（x）＝exlnx＋x3f′（1），则f′(1)＝解析：由已知可得f′(x)＝exeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f（1,x）））＋3x2f′(1)，故f′（1）＝eeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(ln1＋1))＋3f′（1),解得f′(1)＝－eq\f(e,2).答案:－eq\f(e，2）10．设曲线y＝eq\f(1＋cosx,sinx)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,2），1))处的切线与直线x－ay＋1＝0平行,则实数a＝________.解析：因为y′＝eq\f(－1－cosx,sin2x），所以y′eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（，，,））x＝eq\f（π，2）＝－1，由条件知eq\f(1,a)＝－1，所以a＝－1。答案：－1B级--中档题目练通抓牢1．已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）A．e B．－eC。eq\f（1,e) D．－eq\f（1，e）解析：选Cy＝lnx的定义域为（0，＋∞），设切点为（x0，y0）,则k＝y′｜x＝x0＝eq\f(1，x0)，所以切线方程为y－y0＝eq\f(1，x0)(x－x0)，又切线过点（0，0)，代入切线方程得y0＝1,则x0＝e，所以k＝y′|x＝x0＝eq\f（1，x0)＝eq\f（1，e）.2．已知函数f（x)＝alnx＋bx2的图象在点P（1,1）处的切线与直线x－y＋1＝0垂直,则a的值为（）A．－1 B．1C．3 D．－3解析：选D由已知可得P(1，1）在函数f（x)的图象上,所以f（1）＝1,即aln1＋b×12＝1，解得b＝1，所以f(x)＝alnx＋x2,故f′（x）＝eq\f(a,x）＋2x.则函数f(x)的图象在点P（1,1）处的切线的斜率k＝f′(1)＝a＋2,因为切线与直线x－y＋1＝0垂直,所以a＋2＝－1,即a＝－3.故选D。3．在直角坐标系xOy中，设P是曲线C：xy＝1(x＞0）上任意一点，l是曲线C在点P处的切线，且l交坐标轴于A，B两点，则下列结论正确的是（)A．△OAB的面积为定值2B．△OAB的面积有最小值为3C．△OAB的面积有最大值为4D．△OAB的面积的取值范围是［3,4]解析：选A由题意知，y＝eq\f（1,x)（x＞0），则y′＝－eq\f(1,x2).设Peq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（a，\f（1,a)）)，则曲线C在点P处的切线方程为y－eq\f(1,a）＝－eq\f(1,a2）（x－a)，令x＝0可得y＝eq\f(2，a）；令y＝0可得x＝2a,所以△OAB的面积为eq\f（1，2)×eq\f（2，a）×2a＝2，即定值2。故选A。4．曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线与曲线g(x）＝ax2－a（a≠0）相切，则a＝________，切点坐标为________．解析：曲线f(x）在x＝0处的切线方程为y＝x＋1。设其与曲线g(x）＝ax2－a相切于点（x0，axeq\o\al(2，0）－a)．则g′（x0)＝2ax0＝1，且axeq\o\al(2，0）－a＝x0＋1。解得x0＝－1,a＝－eq\f（1，2），切点坐标为(－1,0)．答案：－eq\f(1,2）（－1,0）5．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点,则点P到直线y＝x－2的最小距离为_______．解析:由y＝x2－lnx，得y′＝2x－eq\f(1,x)(x＞0），设点P0(x0，y0）是曲线y＝x2－lnx上到直线y＝x－2的距离最小的点,则y′x＝x0＝2x0－eq\f（1,x0）＝1，解得x0＝1或x0＝－eq\f(1，2)（舍去)．∴点P0的坐标为(1，1)．∴所求的最小距离＝eq\f(|1－1－2|,\r（2)）＝eq\r（2）。答案:eq\r(2）6．已知点M是曲线y＝eq\f(1，3)x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：（1）斜率最小的切线方程；（2）切线l的倾斜角α的取值范围．解：(1）∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴当x＝2时，y′min＝－1，此时y＝eq\f(5，3）,∴斜率最小时的切点为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2，\f（5,3))），斜率k＝－1,∴切线方程为3x＋3y－11＝0。(2）由（1)得k≥－1,∴tanα≥－1,又∵α∈[0，π)，∴α∈eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3π,4），π）)。故α的取值范围为eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f（π,2）)）∪eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3π,4)，π)).7．设抛物线C：y＝－x2＋eq\f（9,2)x－4，过原点O作C的切线y＝kx,使切点P在第一象限．（1)求k的值;(2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．解：(1）因为y′＝－2x＋eq\f(9,2），设切点P的坐标为(x1,y1)，则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－2x1＋\f（9，2)＝k，,y1＝kx1，,y1＝－x\o\al(2，1)＋\f(9，2）x1－4,）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x1＝2，,y1＝1,，k＝\f(1，2))）或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x1＝－2，,y1＝－17,，k＝\f(17,2）。))因为切点P在第一象限,所以k＝eq\f(1，2）。(2）过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.将其代入抛物线方程得，x2－eq\f（13,2)x＋9＝0。设Q点的坐标为(x2，y2）,则2x2＝9,所以x2＝eq\f(9，2），y2＝－4.所以Q点的坐标为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（9,2)，－4）)。C级——重难题目自主选做1．已知f(x）＝eq\f（1，4)x2＋sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,2）＋x）)，f′（x）为f(x）的导函数,则f′(x）的图象是（)解析：选A∵f（x）＝eq\f（1,4）x2＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,2)＋x））＝eq\f(1，4）x2＋cosx，∴f′(x)＝eq\f(1,2）x－sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D。又f″(x)＝eq\f（1，2)－cosx，当－eq\f（π，3)＜x＜eq\f（π，3）时，coseq\a\vs4\al(x)＞eq\f(1，2),∴f″(x）＜0，故函数y＝f′（x）在区间eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（π，3),\f(π，3)))上单调递减,故排除C,选A.2．若函数f（x）＝2sinx（x∈[0，π）)的图象在切点P处的切线平行于函数g（x）＝2eq\r(x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（x，3)＋1)）的图象在切点Q处的切线，则直线PQ的斜率为（）A。eq\f(8，3) B．2C.eq\f（7,3) D。eq\f（\r（3),3）解析：选A由题意得f′(x)＝2cosx，g′(x)＝xeq\f(1,2）＋x－eq\f（1，2）。设P（x1，f(x1))，Q（x2，g（x2)），f′（x1)＝g′（x2）,即2cosx1＝xeq\f(1，2)2＋x－eq\f(1，2）2，故4cos2x1＝x2＋xeq\o\al（－1,2）＋2,所以－4＋4cos2x1＝x2＋xeq\o\al（－1，2)－2，即－4sin2x1＝xeq\f(1,2）2－x－eq\f(1，2)22,所以sinx1＝0，x1＝0，xeq\f（1,2）2＝x－eq\f（1，2)2,x2＝1，故P(0，0），Qeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1,\f(8，3)))，故kPQ＝eq\f(8，3)。(二)重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1．已知函数f（x)＝（x2＋2）(ax2＋b），且f′（1)＝2，则f′(－1）＝()A．－1 B．－2C．2 D．0解析:选Bf(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)＝ax4＋（2a＋b）x2＋2b，f′(x)＝4ax3＋2（2a＋b）x为奇函数，所以f′（－1）＝－f′(1）2．曲线y＝ex－lnx在点(1，e）处的切线方程为（）A．(1－e）x－y＋1＝0 B．(1－e）x－y－1＝0C．(e－1）x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0解析：选C由于y′＝e－eq\f(1,x），所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1）（x－1），即(e－1)x－y＋1＝0.3.已知曲线y＝eq\f(x2,4)－3lnx的一条切线的斜率为－eq\f(1,2)，则切点的横坐标为（）A．3 B．2C．1 D.eq\f(1，2）解析：选B因为y＝eq\f（x2，4）－3lnx（x〉0),所以y′＝eq\f(x，2)－eq\f（3,x）.再由导数的几何意义，令eq\f(x，2)－eq\f(3,x)＝－eq\f(1，2),解得x＝2或x＝－3（舍去)．故切点的横坐标为2。4。（2018·湖北百所重点高中联考）已知函数f（x＋1）＝eq\f（2x＋1，x＋1），则曲线y＝f(x）在点(1,f(1))处切线的斜率为（)A．1 B．－1C．2 D．－2解析：选Af（x＋1)＝eq\f(2x＋1－1，x＋1)，故f（x)＝eq\f(2x－1，x)，即f(x)＝2－eq\f（1，x)，对f（x)求导得f′(x）＝eq\f(1,x2)，则f′(1）＝1，故所求切线的斜率为1,故选A。5．已知函数f(x）＝alnx＋bx2的图象在点P（1，1)处的切线与直线x－y＋1＝0垂直，则a的值为()A．－1 B．1C．3 D．－3解析：选D由已知可得P（1，1）在函数f(x）的图象上,所以f(1）＝1,即aln1＋b＝1,解得b＝1，所以f（x)＝alnx＋x2，故f′(x）＝eq\f(a,x)＋2x.则函数f(x）的图象在点P(1，1）处的切线的斜率k＝f′(1)＝a＋2，因为切线与直线x－y＋1＝0垂直，所以a＋2＝－1,即a＝－3。故选D。6。已知函数f(x）＝eq\f（1，x)cosx,则f(π）＋f′eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，2）))＝________。解析：∵f′(x）＝－eq\f（1，x2）cosx－eq\f(1，x)sinx，∴f（π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,2））)＝－eq\f（1,π)－eq\f（2,π）＝－eq\f（3，π）.答案：－eq\f(3，π)7.若函数f(x）在R上可导,f（x）＝exlnx＋x3f′(1），则f′（1)＝解析：由已知可得f′(x）＝exeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（lnx＋\f(1，x))）＋3x2f′(1)，故f′(1)＝eeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(ln1＋1））＋3×f′(1），解得f′(1）＝－eq\f（e，2）.答案：－eq\f（e，2)8．曲线f（x）＝ex在x＝0处的切线与曲线g(x）＝ax2－a（a≠0）相切,则a＝________，切点坐标为________．解析:曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.设其与曲线g（x）＝ax2－a相切于点(x0,axeq\o\al(2,0）－a）．则g′(x0)＝2ax0＝1，且axeq\o\al（2，0）－a＝x0＋1。解得x0＝－1，a＝－eq\f(1，2)，切点坐标为（－1，0)．答案：－eq\f（1,2）（－1，0）9.求下列函数的导数．（1)y＝(1－eq\r（x)）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1，\r(x)）))；（2)y＝x·tanx；（3)y＝（x＋1）（x＋2)（x＋3）；解:(1)∵y＝（1－eq\r（x）)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,\r(x)））)＝eq\f（1，\r(x))－eq\r（x）＝x－eq\f(1,2）－xeq\f(1,2),∴y′＝(x－eq\f(1,2)）′－(xeq\f(1，2)）′＝－eq\f(1，2)x－eq\f(3,2）－eq\f(1，2)x－eq\f(1,2）。（2）y′＝（x·tanx）′＝x′tanx＋x(tanx)′＝tanx＋x·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（sinx,cosx）））′＝tanx＋x·eq\f（cos2x＋sin2x,cos2x）＝tanx＋eq\f(x,cos2x)。(3)∵y＝(x2＋3x＋2)（x＋3），∴y′＝(x2＋3x＋2）′（x＋3）＋(x2＋3x＋2）（x＋3)′＝（2x＋3）（x＋3）＋x2＋3x＋2＝2x2＋9x＋9＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.10．已知点M是曲线y＝eq\f(1,3）x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l,求:（1)斜率最小的切线方程；(2）切线l的倾斜角α的取值范围．解：(1）∵y′＝x2－4x＋3＝（x－2)2－1,∴当x＝2时，y′min＝－1，此时y＝eq\f(5，3），∴斜率最小时的切点为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f（5，3）)）,斜率k＝－1，∴切线方程为3x＋3y－11＝0.(2）由（1)得k≥－1，∴tanα≥－1，又∵α∈[0,π),∴α∈eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2）））∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3π,4）,π）).故α的取值范围为eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2）））∪eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3π,4)，π))。B级-—拔高题目稳做准做1。如图，y＝f（x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x）在x＝3处的切线,令g(x)＝xf（x），g′(x)是g(x）的导函数，则g′（3）＝（)A．－1 B．0C．2 D．4解析：选B由题图可知曲线y＝f（x)在x＝3处的切线的斜率为－eq\f(1，3),即f′(3)＝－eq\f（1，3），又g(x)＝xf（x)，g′（x)＝f（x）＋xf′（x），g′（3）＝f（3)＋3f′(3），由题图可知f（3)＝1，所以g′（3)＝1＋3×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1,3）))＝0.2.已知f(x)＝lnx,g(x)＝eq\f(1，2)x2＋mx＋eq\f（7，2）（m〈0），直线l与函数f(x）,g（x)的图象都相切，且与f（x)图象的切点为(1，f(1）），则m的值为(）A．－1 B．－3C．－4 D．－2解析：选D∵f′（x)＝eq\f(1,x)，∴直线l的斜率为k＝f′（1)＝1，又f（1）＝0，∴切线l的方程为y＝x－1。∵g′（x)＝x＋m，设直线l与g（x）的图象的切点为(x0,y0）,则有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＋m＝1，,y0＝x0－1,，y0＝\f(1，2）x\o\al（2,0)＋mx0＋\f（7,2),m〈0，）)解得m＝－2.3．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点,则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．解析:由y＝x2－lnx，得y′＝2x－eq\f(1,x）(x＞0）,设点P0（x0,y0）是曲线y＝x2－lnx上到直线y＝x－2的距离最小的点,则y′｜x＝x0＝2x0－eq\f（1，