九年级数学上册专题突破讲练拓展：15°角的三角函数值试题(青岛版)

拓：15的角数三函数

对边a斜边c

邻边cosA斜边c

对边atanA邻边b特角的三函值角度值

30°45°60°函数sincostan

3

22221

32

15

角三函值求在Rt

ABC

中，

，

BAC30

，

5

角的三角函数值。解答：延长CA到D，使＝，连接BD，设＝a。在Rt

ABC

中，

，

，23a

。在中AD＝，D

，在Rt

中，BC＝a，DC＝＋＝

(3a

，BD2DC2232＝

3)

2a

3)a

3)

＝（1＋

3

）

a＝（

6

2

）sin15

BCa6(62)a4cos15

2

BC

3根据互为余角的三角函数的关系：

624

，

75

624

cot15

2

。例如，在Rt

中，

，，求15

角的三函数值。解：过作

BAC

的平分线AD，构造

，后通过Rt

ACD

，利用三角函数的定义求

15

角的三角函数值。答：

BAC

的平分线AD，

，DACBAD

。在RtABC中C90

，

30

。设BC＝，则AB＝2a，AC＝

3

a。将沿AD翻折交AB于点E，则

,于是BE＝AB－AE＝（－3），∠＝60°，＝90，∴

BDE30

，得BD＝2（－3），CD3)a∴＝

DC

2

243aa3)

a＝6(a∴sin15

＝

DCAD

624

。点：过辅助线构造出15角把个角放到直角三角形，然后推导边与边之间的关系是解决问题的关键。【法结在30°45°60°的三角函数值的基础上，要求°或75°角的三角函数值，只需把15°或75°角放到直角三角形中，求出该三角形各边的长度即可。例如，把含30°角的三角，绕点B逆针旋转到三角DBE位置（如图所示sin∠ADE的值。解：点⊥AD，且交AD于F；设＝，而可得AB、BEAD的值利用边的关系可得AE的值在Rt△AEF中由三角函数的定义可得EFAF的；最后在Rt△DEF中根据三角数的定义可得sin的。答：点作EF，且交AD于F；设BD＝，则AB＝，BE＝

33

x，AD＝2x；DE＝

BD

BE

32)x33

，33在Rt△AEF中，AE＝－x＝x；326易得EF＝•AE＝x6则AF＝EF＝

3266

x，在Rt△DEF中根据三角函数的定义可得：sin∠ADE

＝4答：sin∠ADE的值为

624

。点：题考查锐角三角函数的概念，关键是将ADE放直三角形中，用同一未知数表示出该角的对边和斜边。同理还能求出这个角的其它三角函数值。（题间30分钟一选题1.在方形网格中，△ABC的位置如图，则sin∠ABC值为（）A.

B.

C.

D.

2.如，△ABC中AB＝＝，sin∠A的值是（）A.

B.

32

C.

33

D.

33.如，正方形中对角线ACBD交于，、N分别OB、的中，则sin∠OMN的值为（）A.

B.1C.

22

D.

324.如，矩形中，AB＝1BC＝

3

，AC与BD相于O，则tan∠AOB等（）A.

3

B.

33

C.1D.

325.如，已知Rt△ABC中∠C，∠BAC＝67.5°ADBD，则sin∠ADC＝（）A.

B.

22

C.

33

D.

326.把块直尺与一块三角板如图放，若sin∠1＝

22

，则∠的数为（）A.120°二填题

B.135°C.145°D150°7.如：将三角板的直角顶点放置在直线AB的点O处使斜边CD∥AB，α的弦值是。8.如以O为心任意长为径画弧与射线OM交点A再A为心长半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB值等于。9.图1是张Rt△ABC纸用张这种纸片恰好能拼成一个正三角2Rt△ABC中，sin的是。10.如，Rt△ABC中，＝90°于，＝，＝，BD＝。111.因sin30°＝，sin210°＝－，以sin210°＝（180°＋30°）＝－sin30°，2为sin45°＝

，sin225°－，所以sin225°（180°＋45°＝－sin45°；由此猜想、推理知：一般地，当α为锐角时有sin（180°＋）＝sin，此可知：sin240°＝。12.如，，BEFC是两个等的正方形，则tan∠BAF＋∠AFB）等于。一选题1.C解析：设小正方形的边长，则BC＝，∠B对边长为4，∴sin＝

442

＝

22

。2.B解析：＝BC＝CA，∴△ABC是边三角形，故可得∠A＝60°∠A＝故选B。

32

。3.C解析：正方形ABCD中OB＝OC，∠MON＝90°，又∵点、分为OB、的中，∴ON＝，∴∠OMN，∴sin∠OMN＝sin45°＝故选C。

22

。4.A解析：因为ABCD是形所以AO＝BO，则∠OAB＝∠OBA。∵AB＝，＝

3

，∴tan∠CAB＝

3

，∴＝60°，∴△为边三角形，∴tan∠AOB＝tan60°＝故选A。

3

。5.B解析：△ABC中，＝90°∠BAC＝67.5°，∴＝90°－∠BAC＝90°－67.5°＝22.5°，∵AD＝，∴∠B＝∠BAD＝22.5°，∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝22.5°＋22.5°＝45°∴sin∠ADC＝sin45°＝故选B。

22

。6.B解析：∵sin∠1＝

，∴＝45°，∵直角△EFG中∠3－＝90°＝45°∴＝180°－＝135°，又∵AB∥CD，∴∠2＝＝135°。故选B。二、填空题7.

32

解析：∥AB∴∠AOC＝∠OCD，α＝180°－90°＝60°∴sin＝sin60°

328.

解析：连接AB，由画图可知OA＝，AO＝AB∴OA＝＝，三角形OAB为等边三角形，∴∠AOB，∴cos∠AOB＝cos60°＝

。9.

32

解析：∵两张这种纸恰好能拼成一个正三角形，∴＝60°，sin＝

。10.

32

解析：∵tan∠A＝

∴＝30°∴∠BCD＝30°∴