《空间向量基本定理》示范课教案【高中数学苏教版】

第六章第六章空间向量与立体几何6.2.1空间向量基本定理教学目标教学目标1．了解空间向量基本定理及其推论；2．理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示；3．通过演绎法，从平面向量基本定理引入，类比推导出空间向量基本定理的概念.教学重难点教学重难点教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）．教学难点：作出适合的空间图形，利用空间基本定理进行分析.教学过程教学过程一、新课导入想一想：在平面中，我们如何用两个不共线的向量去表示某一个向量？答案：回顾平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2（1）平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个不共线向量来线性表示，对于空间向量，有类似的结论吗？如图，OP是否可以用平面内两个基底向量来表示？二、新知探究问题1：如图所示，空间内的向量OP如何表示？追问1：构成平面内基底向量的基本要求？答案：平面基底向量不共线．追问2：猜一猜空间内向量表示需要几个基底向量？基底向量的基本要求是什么？如何来表示？答案：3个，空间基底向量要求不共面，OP解：证明：设e1,e2,OA=e1

,

OB=e2

,OC=过点P做直线PP'∥OC，交平面OAB于P'；在平面OAB内，过点P'做直线P'A'∥OB，P'B'根据向量共线的条件，存在三个确定的实数x,y,z，使OA'=xOAOB'=yOBPP'=zOC=z所以，OP=OA'+OB'+PP'=x从而，p=xe1+y唯一性证明：p=xe1+y假设存在实数组x',yp=x'e1于是，xe1+ye2+ze3即，x−因为x'所以e从而e1,e2,e3共面，这与已知e因此，有序实数组（x,y,z)是唯一的。下定义：空间向量基本定理：如果三个向量e1,e2,e3不共面，那么对空间任一向量p，p=xe1+ye2即p由e1,e2下定义：我们把{e1,e2,如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底.特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j【概念巩固】练1：(多选)在正方体中,下列选项中可以作为空间一组基底的是()A．{AB,AD,AA1}BBCADA1B1C1D1追问1：组成空间基底向量的要求是什么？答案：空间基底向量要求不共面．所以，选ACD练习2：已知{e1,e2,e3}是空间的一组基底向量，且OA=e追问1：如何确定向量不共面？答案：假设OA,OB,OC共面，即存在实数∴e1+2e2−e3∵{e∴e1∴−3x∴不存在实数x，y，使得OA=∴OA,OB,推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x,y,z），使得OP设计意图：通过引入平面向量基本定理，类推到空间向量基本定理，并通过证明空间向量的表示方法，来引出空间向量基本定理的定义.再通过实例，来巩固空间向量基底的概念特征.三、应用举例例1如图，在正方体OADB-CAˊDˊBˊ,点E是AB与OD的交点，M是ODˊ与CE的交点，试用向量OA，OB，OC表示向量OD'和分析：OD解：∵OD=OA∴OD'=OD+DD由ΔOME~ΔD'又OE=1则OM=12D∴OM=

13OD变式一：在上图中，作出向量OA+答案：如图所示，向量OG即为所求向量.设计意图：通过例题与变式题，对空间向量基本定理的应用与空间作图进行练习，掌握空间向量的分解与合成.方法总结：通过基底向量来一步步合成所求向量.四、课堂练习1．已知{e1,e2,c=e1−e2+e3，d=e1+2e2．如图所示，已知空间四边形OABC，点M、N分别是边OA、BC的中点，且OA=a,OB=b,OC=c，用a，b，OOABCMN参考答案：1．解：d=xa+yb+zc=x(e=(x+y+z)e1+(x+y-z)e2+(x-y+z)e3．∵∴x+y+z2．MN=MA+AB=OB=1=1五、课堂小结1.空间向量基本定理及推论：定理：如果三个向量e1,e2,e3p=xe1+ye推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x,y,