空间问题的有限单元法演示文稿

空间问题的有限单元法演示文稿当前1页，总共58页。（优选）空间问题的有限单元法当前2页，总共58页。7.1三维应力状态工程结构一般都是立体的弹性体。受力作用后，其内部各点将沿x、y、z坐标轴方向产生位移，是三维空间问题，其应力状态如图7-1所示。图7-1空间结构应力状态各点沿x、y、z方向的位移以u、v、w表示，这些位移为各点坐标的函数，即：u=u(x、y、z)v=v(x、y、z)w=w(x、y、z)第77章空间问题的有限单元法当前3页，总共58页。由弹性力学知，应变与位移间的几何关系是

(7-1)三维弹性体的应变分量，用矩阵表示为(7-2)第7章空间问题的有限单元法当前4页，总共58页。弹性体受力作用，内部任意一点的应力状态也是三维的，用列向量表示为在线弹性范围内，应力与应变间的物理关系矩阵表达式为对于各向同性弹性体，在三维应力状态下，弹性矩阵的形式为(7-3)(7-4)第7章空间问题的有限单元法当前5页，总共58页。7.2空间结构的离散化

空间问题所选用的单元形状如图7-2所示。

四结点四面体单元(b)八结点平行6面体单元(c)八结点任意6面体单元(d)二十结点任意6面体单元(e)八结点板壳单元(f)四面体组合体图7-2空间结构单元类型第7章空间问题的有限单元法当前6页，总共58页。其中，最简单的空间单元是四面体单元。采用四面体单元和线性位移函数处理空间问题，可以看作是平面三角形单元的推广。如图7-2(f)所示，一个平行6面体可由5个四面体组成，其基本单元仍是四面体。它们分别由如下结点组成：2→3→4→7，1→2→4→5，2→4→7→5，2→7→6→5，4→7→5→8。7.3简单四面体单元7.3.1形状函数图7-2(a)表示任一简单四面体单元，其中四个结点编号设为i、j、m、n(或1、2、3、4)。单元变形时，各结点沿x、y、z方向上的位移，以列向量表示为第7章空间问题的有限单元法当前7页，总共58页。单元变形时，单元内各点也有沿x、y、z方向的位移u、v、w，一般应为坐标x、y、z的函数。对于这种简单的四面体单元，其内部位移可假设为坐标的线性函数，为满足变形协调条件，取为(7-5)式(7-5)含有12个待定系数a，可由单元的12项结点位移决定.将4个结点的坐标值代入式(7-5)的u式中。

i、j、m、n共4个结点，分别有(7-7)第7章空间问题的有限单元法当前8页，总共58页。由式(7-7)求出、、和，再代回式(7-5)中，整理后得其中式中，V为四面体的体积，且有

(7-7)第7章空间问题的有限单元法当前9页，总共58页。为使四面体的体积V不为负值，在右手坐标系中，使右手旋转按着由i-j-m的转向转动时，是向法向n方向前进。用求位移u的同样方法，可求得将位移的3个线性方程形成的线性方程组用矩阵表示为(7-8)式中(7-9)第7章空间问题的有限单元法当前10页，总共58页。7.3.2单元刚度矩阵将式(7-8)代入几何方程式(7-2)，经过微分运算，可得单元内应变为(7-10)式中(7-11)简单四面体单元内，各点的应变都是一样的，这是一种常应变单元。这一点与平面问题的简单三角形单元相似，由于单元内位移都假定为线性变化的，因而由位移一阶导数组成的应变也为常量。第7章空间问题的有限单元法当前11页，总共58页。同样，用虚功原理建立结点力和结点位移间的关系式，从而得出简单四面体单元的刚度矩阵。(7-12)(7-13)按结点分块表示，此单元刚度矩阵可表示为(7-14)其中任一子矩阵为第7章空间问题的有限单元法当前12页，总共58页。(r=i、j、m、n，S=i、j、m、n)

(7-15)其中

弹性体三维（空间）问题的原始平衡方程组，即其中7.3.3整体结构载荷列向量整体结构的结点载荷列向量(7-17)式中——单元上集中力等效结点载荷列向量；——单元上表面力等效结点载荷列向量；——单元上体积力等效结点载荷列向量；——单元结点载荷列向量。第7章空间问题的有限单元法当前13页，总共58页。常应变四面体单元

①位移函数包含了坐标的一次完全多项式，且在单元间公共边上位移连续，满足收敛准则。②常应变四面体单元对边界拟合能力强，但精度较差。当前14页，总共58页。体积坐标任意一点P(x,y,z)

P点的体积坐标

一、体积坐标定义xyzijkmP—四面体ijkm的体积

—四面体kmiP的体积—四面体Pmij的体积—四面体ijkP的体积—四面体Pjkm的体积当前15页，总共58页。一、体积坐标定义体积坐标的特点：①一点的四个体积坐标是线性相关的②③在四个结点上当Li为常数时，表示内平行于jkm面的面。

体积坐标xyzijkmP当前16页，总共58页。二、体积坐标与整体坐标的关系

体积坐标xyzijkmP当前17页，总共58页。三、体积积分公式体积坐标xyzijkmP当前18页，总共58页。高次四面体单元

324156789101、10结点二次四面体单元当前19页，总共58页。高次四面体单元

324156789101、10结点二次四面体单元形函数的构造P为插值函数次数当前20页，总共58页。高次四面体单元

324156789101、10结点二次四面体单元角结点

棱边结点

当前21页，总共58页。高次四面体单元

2、20结点四面体单元6201914181713324157119101215168角结点棱边二分点面内结点应变和应力是坐标的二次函数当前22页，总共58页。五面体单元

645123ζ

6结点五面体单元形函数1、6结点线性三棱柱单元为三角形面积坐标

当前23页，总共58页。五面体单元

2、15结点二次三棱柱单元645123ζ15结点五面体单元879101112131415形函数角结点

矩形边中点

三角形边中点

当前24页，总共58页。六面长方体单元

634158ξηζ271、8结点六面长方体单元形函数位移函数当前25页，总共58页。六面长方体单元

2、20结点六面长方体单元634158ξηζ2720191418171391012151611角结点边中点六面长方体单元，由于形状规则，难以适应工程结构的复杂外形当前26页，总共58页。六面体等参元

12345678一个八结点实际单元xyzξηζ2自然坐标系中的母单元634158ξηζ7当前27页，总共58页。所谓等参单元：即以规则形状单元（如正四边形、正六面体单元等）的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换所获得的单元。由于单元几何边界的变换式与规则单元的位移函数有相同的节点参数，故称由此获得的单元为等参单元。借助于等参单元可以对一般任意形状的求解域方便地进行有限元离散。当前28页，总共58页。7.420结点等参元7.4.1形状函数为适应三维结构的曲面边界，可以采用曲面7面体单元。正方体基本单元内任一点与实际曲面单元内的点一一对应，结点也一一对应。这里，实际单元边界线中间的结点9、10、……、20，都“映射”成为正方体的棱边中点。第7章空间问题的有限单元法当前29页，总共58页。(a)直角坐标系与实际单元(b)自然坐标系与基本单元图7-320结点三维等参单元位移函数和几何坐标的变换式应取为相同的参数，其坐标变换关系可表示为(7-17)则单元的位移函数可写成第7章空间问题的有限单元法当前30页，总共58页。(7-18)在自然坐标系中，各结点的形状函数可写成如下形式对于8个顶角结点（i＝1，2，……，8）式中xi、yi、zi——结点i的坐标；

ui、vi、wi——结点i沿x、y、z方向的位移；

Ni——对应于i结点的形状函数。对于的边上点（i＝9，11，13，15）对于的边上点（i＝10，12，14，17）第7章空间问题的有限单元法当前31页，总共58页。对于的边上点（i＝17，18，19，20）(7-19)7.4.2单元刚度矩阵三维变形状态下，一点的应变与位移的几何关系为(7-20)第7章空间问题的有限单元法当前32页，总共58页。式中为单元结点位移列向量，而单元应变转换矩阵[B]可按结点分块表示为其中每个子矩阵又可分为上下两块，有（i＝1，2，…20）(7-21)单元的刚度矩阵为第7章空间问题的有限单元法当前33页，总共58页。(7-22)为便于以下计算，弹性矩阵[D]可分块写为(7-23)令,则，为60×60的方阵，可按结点写为子块形式第7章空间问题的有限单元法当前34页，总共58页。式中第i行j列的子矩阵为(7-24)将(7-20)、(7-22)分块式代入(7-23)，其被积函数可写为(7-25)式中按坐标变换式(7-17)，应有第7章空间问题的有限单元法当前35页，总共58页。同样可有(7-27)三维7面体的雅可比矩阵为(7-27)同理可采用三维高斯求积公式计算单元刚度矩阵。即第7章空间问题的有限单元法当前36页，总共58页。式中，L，M，N为沿、、方向的积分点数目，而积分点坐标及权重可由高斯积分表查得。7.5ANSYS桁架结构计算示例7.5.1问题描述如图7-4所示，一个圆柱实体。柱高0.2m，圆柱横截面直径为0.1m。约束方式：底面全约束。承受载荷：第7章空间问题的有限单元法当前37页，总共58页。

A点承受Z方向集中载荷Fz=5000N和Y方向集中载荷Fy=-5000N；B点承受X方向集中载荷Fx=5000N；C点承受Z方向集中载荷Fz=-5000N；D点承受X方向集中载荷Fx=-5000N。弹性模量为EX=210GP，泊松比μ=0.3。图7-4圆柱实体示意图7.5.2ANSYS求解操作过程打开Ansys软件，在Ansys环境下做如下操作:第7章空间问题的有限单元法当前38页，总共58页。（1）选择单元类型运行Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete，弹出ElementTypes对话框，如图7-5所示。然后单击Add，弹出LibraryofElementTypes窗口，如图7-7所示，选择SOLID45单元，单击OK。图7-5单元类型对话框图7-7单元类型库对话框第7章空间问题的有限单元法当前39页，总共58页。（2）设置材料属性运行Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels，弹出如图7-7所示对话框。双击Isotropic，弹出LinearIsotropicPropertiesforMaterialNumber1对话框，如图7-8所示，在EX选项栏中设置数值2.1e11，在PRXY选项栏中设置数值0.3。设置完毕单击OK按钮。图7-7选择材料属性对话框图7-8设置材料属性对话框第7章空间问题的有限单元法当前40页，总共58页。（3）建立模型运行Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By2Corners，弹出如图7-9所示对话框，在WPX选项栏中填写0，在WPY选项栏中填写0，在Width选项栏中填写0.05，在Height选项栏中填写0.2，点击OK。生成如图7-10所示图形。图7-9两点建立矩形对话框图7-10生成的长方形面第7章空间问题的有限单元法当前41页，总共58页。将长方形旋转成柱体，运行Preprocessor>Modeling>Operate>Extrude>Areas>AboutAxis，弹出如图7-11所示拾取框。选择图7中长方形后弹出单击OK，再选择长方形左上角和左下角结点后，单击OK.。弹出如图7-12所示对话框。在ARC选项栏中填入旋转角度360度，设置完毕单击OK按钮，生成如图7-13所示圆柱体。图7-11拾取对称轴对话框图7-12设置绕轴旋转参数对话框图7-13圆柱模型第7章空间问题的有限单元法当前42页，总共58页。运行Meshing>SizeCntrls>ManualSize>Global>Size弹出如图7-14所示对话框，设置SIZE选项栏中的数据为0.01。运行Meshing>Mesh>Volumes>Free自由划分网格后得到如图7-15所示图形。图7-14设置网格尺寸对话框图7-15圆柱有限元模型（5）施加约束运行Solution>DefineLoads>Apply>Displacement>OnAreas，拾取圆柱的底面，施加全约束。第7章空间问题的有限单元法当前43页，总共58页。（7）施加载荷显示图形的关键点，运行PlotCtrls>Numbering弹出如图7-17所示对话框，激活KPNumbers后面的选框，使它变成on形式。选择菜单Solution>DefineLoads>Apply>Structure>

Force/MomentOnKeypoints，载荷分别如下：8点承受Z方向集中载荷Fz=5000N和Y方向集中载荷Fy=-5000N；10点承受X方向集中载荷Fx=5000N；3点承受Z方向集中载荷Fz=-5000N；7点承受X方向集中载荷Fx=-5000N。施加载荷，图形如图7-17所示。图7-17编号显示设置对话框第7章空间问题的有限单元法当前44页，总共58页。图7-17圆柱实体示意图（7）求解选择Solution>Solve>CurrentLS，开始计算，计算结束会弹出计算完毕对话框，单击Close。关闭对话框计算完毕。（8）后处理运行GeneralPostproc>PlotResults>ContourPlot>NodalSolu。弹出如图7-18所示对话框，运行DOFSolution>Displacementvectorsum和Stress>vonMisesstress，分别显示圆柱体的位移和应力云图。第7章空间问题的有限单元法当前45页，总共58页。图7-18云图显示对话框结果显示如图7-19和图7-20所示。第7章空间问题的有限单元法当前46页，总共58页。图7-19位移云图图7-20应力云图7.5.3结论

从图7-19圆柱的位移云图可知，最大位移发生在B点处，最大位移为m。从图7-20圆柱的应力云图可知，最大应力发生在A点处，最大应力为71.7MPa。第7章空间问题的有限单元法当前47页，总共58页。圆筒直径0.4m，高度0.6m，壁厚0.005m；材料Q235，弹性模量E=2.1e11Pa，泊松比μ=0.3；约束：圆筒的下部在轴线方向固定，其它方向自由；载荷：顶部环线上承受轴向线压力P＝-200000N/m。

图7-4圆筒示意图图7-5单元类型对话框7.3.1问题描述

7.3ANSYS轴对称旋转单元计算示例

当前48页，总共58页。（1）选择单元类型运行Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete，弹出ElementTypes对话框单击Add，弹出LibraryofElementTypes对话框，如图7-6所示，选择SHELL51单元。7.3.2ANSYS求解操作过程

图7-6单元类型库对话框图7-7选择材料属性对话框当前49页，总共58页。（2）设置材料属性运行Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels，弹出DefineMaterialModelBehavior对话框，如图7-7所示。双击Isotropic选项，弹出LinearIsotropicPropertiesforMaterialNumber1对话框，如图7-8所示。图7-8设置材料属性对话框当前50页，总共58页。（3）定义单元实常数选择MainMenu>Preprocessor>RealConstants>Add/Edit/Delete，弹出如图7-9所示对话框，单击Add按钮弹出ElementTypeforRealConstants对话框，如图7-10所示，选择Type1SHELL51，单击OK，弹出RealConstantSetNumber1,forSHELL51对话框，如图7-11所示，在TK(I)项输入0.005，单击OK。图7-9实常数对话框图7-10选择要设置实常数的单元类型当前51页，总共58页。图7-11设置SHELL51实常数对话框（4）建立模型首先生成关键点，运行主菜单Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>InActiveCS，弹出如图7-12所示对话框。创建关键点1（0.2,0,0），2（0.2,0.6,0）。生成圆筒母线：运行MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Lines>StraightLine，弹出拾取关键点对话框，拾取关键点1、2，单击OK。

当前52页，总共58页。

图7-12创建关键点对话框（5）设置单元属性运行MainMenu>Preprocessor>Meshing>MeshTool，弹出MeshTool对话框，在ElementAttributes下拉列表中选择Lines，然后单击其后的Set按钮弹出拾取线对话框，单击PickAll，弹出分配线单元属性对话框，将MAT,TEAL,TYPE依次设置为1，1，1，单击OK。（6）划分网格

当前53页，总共58页。单击MeshTool中Lines后的Set按钮，弹出拾取线对话框，单击PickAll弹出控制线单元尺寸对话框，将NDIV设置为10，单击OK。在MeshTool对话框中的Mesh下拉列表中选择Lines单击Mesh，弹出拾取线对话框，单击PickAll，划分网格完毕。运行PlotCtrls>Style>SizeandShape，弹出如图7-13所示对话框。在Displayofelement选项后面选择on，单击OK按钮。显示如图7-14所示图形。图7-13尺寸和形状显示设置对话框图7-14有限元模型当前54页，总共58页。（7）施加约束运行MainMenu>Preproces