全国优质课-基本不等式教学设计

《3.4基不等式》教学设计1/7

一教内解：1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书版教）高中数学必修5第三章第节基不等式是在习了不等式的性质元二次不等式的解法线规划的基础上对不等式的进一步的研究节是教学的重点学生学习的难点内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点；2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础体会数形结合分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材；3在习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是基不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处；4高数学中等的地位仅特殊且要与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数程系紧密此等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点点有时也是难点．二学分：1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助；2学逻辑推理能力有待提高有系统学习过证明不等式的基本方法其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少；3对最值问题，学生习惯转化为一元函数据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。三教目：1、知识与技能：会从不同角度索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题；2、过程与方法：经历基本不等的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养；3、情感态度价值观：培养学生动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过程中，体会数学的严谨性，发现数学的实用.四教重与点1教重：本不等式的推导及其简单应用2教难：析法证明基本不等式思路的获得和应用基本不等式求最.五教策分：1、由情景1和景2引入题可明确本堂的主要内容，使学生学习目标明确，进而激发学生的学习兴趣；2、精心设置“问题串到，由感性到理性，一步步引导学生自主探究，小组讨论推导基本不等式让生感受识发生发展深化的过程体现学生为主体老为主导的教学理念；3、为突破分析法证明基本不等思路的获得这一教学难点，采用先学生小组讨论，再师生共同完成的策略；4、为突破应用基本不等式求最这一难点，先由例题归纳应用基本不等式求最值的要点，然后趁热打铁设置两个练习，由简到难，由浅入深，采用学生板演，抢答和小组讨论等方式，及时发现问题，及时纠错，让“一正二定三相等”深入人心；5、对于转化为函数进而用函数图像和性质求最值的问题，教师只作适当提示，不作为重点；6、课堂小结重视知识间的联系和研究问题的方法，并强调了数学思想方法和数学核心素养在数学学习中的作用。2/7

六教过设：教

教内

师活

设意环一

情1在农村，为防止家畜家禽对菜地的破

师导学生思考情1提的情

坏，常用篱笆围成一个菜.

生：思考回答

实际问题颖创

1.如果菜园的面积一定，为节省料，就

师习了本堂课有趣，简易导课

应该考虑所用篱笆最短的题最短是？m；2.如果所用篱笆的长度一定，为充分利用材料，就要考虑所围菜园面积最大的题最是？m情2：看第24国际数学家大会视频

的内容就很容易解决这两个最值问题师：播放视频

懂，贴近生活，激发学生学习兴趣为第三环节实应用埋下伏笔情境2通会意观察这个图形在视频中出现了多少次？

生看视频后回标入新课答

近现实激发师调会标上的学生的探欲图形重要及望让学感其对学学的受到数学化意义

的同时起学生的爱国情怀.二

问：你能在这个图形中找出一些等关系或不等关系吗？问1：于“情景导学”中的图形，把“风生思考后回答

问题1将题自

车”抽象成平面图形在正方形中4

师助几何画板细填形探

个全等的直角三角形设直角三角形的两条直动态演示面积变

式呈现问题推公

角边长为a，方形ABCD的面积为S，4

化过程其意利用图形面归纳取等号的条积小关系个直角三角形的面积和为，则：（1）正方形ABCD边长为

件

序渐进地象出重要不等式，几何画板示（2）（3）

S

直观形象会数形结合思想(4)由图可知，

S

，即3/7

问2式

22ab

对任意的实数都

师析问题1中问2培学推导出的不等式生学习的谨成立吗？重不式

22ab(ab0)

，

,b中的取值范围，提出问题2

性和逻辑理能力.当且仅当

时取等号

生：思考后回答师如证明？问3：如果ab用a分别代替重要不等式中的a，得什么取等号的条件是什么？

生：思考后证明师书重要不等式解释当且仅当的含义生：思考后回答问3体代换在数学习师书基本不等中的作用受式数学知识的联系.基不式

ab

a2

(a0)

，当且仅当

时取等号.问4：还有没有其他证明基本不等式方

师指学生分组先几何图法？

讨论证明基本不

中的面积关系法（一）作差比较法

等式获基本不生组讨论证明式后从数a(b)2ab22法（二）分析法a要证明ab①只需证明：2

基本不等式师物投影展示学生成果和生一起分析证明思路

的角度推导现由感性认识到理性认识的升华.引导学生多个角度证基本不等式养a2

②，要证②只需证明

师生共同完成分

逻辑推理能力，小组讨论培

③，要证③只需证明

析法的证明过程

养学生的作交流能力物(ab)

④.显然是立的.当且仅

投影可及发现学生的问题.当

a

时，④中的等号成立探如图，AB是圆O的直径点C是AB上点，BC.过点C作垂直于的弦

师导学生分组借初中阶讨论基本不等式学熟知的的几何意义何形问题细化填空生分讨论探形式呈现问题，索基本不等式的4/7

DE

，连接

AD

、

BD

、

OD

.则：

几何意义

有利于学生循（1）半径OD（2）CD（3）显然OD即

师物投影展示学生成果点的法及时指出问题用何画板演示

序渐进地探索出基本不等式的几何意义进一步领悟基本不等式中等号成立的条件，升华理解小组讨论可培基不式几意半不小于弦长一半a又称为与b的几何平均数，又2可称为a与b的术平均数，基本不等也叫做均值不等.基不式代意：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均.

养学生的合作交流能力影展示成果可及时发现学生的问题.用数学符号语言常言和图形语言表述基本不等式几何意义和代数意义一起讲解助学生从多个角度认识基本不等式，培养学生数学表达能力问题：重要不等式和基本不等式有什么联系与生：思考后回答，辨析两个等区别？

基本不等式可由式的区别联重要不等式推导系加深理得到但它们的适用条件不同三实

例）用笆围一个面积为

100

的矩形

师：析解思路实际问题转

和情景1前后呼应，学致应加

菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？

化为数学问题注意分为何用

用两实际问题化归利理

（2段为

m

的篱笆围成一个矩形菜园，

基本等式解

用基本不式问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？

决该问题，PPT展示（1）解答过

求最值的学模型会学解为

m

为

xy100

，

程一学生板演（2学完

的应用价值强学生的习篱笆长为

2(xm

x2

xy

可

成（2）

的动力和信心.得：

)40

，当且仅当

x

时，

生：学生演板演有利及（2学自时发现学解等号成立，所以这个矩形的长和宽都为

己完成（2）

答中的问题5/7

时，篱笆最短，最短的篱笆是

m

.

时纠错（2）设矩形菜园的长为

m

，宽为

，则

师当引导学生xy)36

，即：

，矩形菜园的

其他解法，比如：一题多解更）也转化为好的培养生面积为

m

.由

xy

xy2

可得：

对勾函数可思的发散.转化为二次函数81

，当且仅当

y

时，等号成立，所以这个矩形的长和宽都为m时菜园的面积最大，最大面积是

m

.题反：合基本不等式，你能将本题的结师导学生实

在学生经例论推广为更一般的情况吗？

际问抽象数

题中的两最结：

b

，

学问题确知和所求问一

值问题之后时提问养学1、若abP（值当仅当时般.

生题后反的a

有最小值

P

；

生考后将例题的结推广更

好习惯特殊问题一般化2若

（定值且仅当

时，一的情况

一反三结规

S2有最小值.4

师板结论指导学根据本不等的变理

律利构建系统完整知识结构四巩强综

要点：一正二定三相等练1（1把36成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？和的最小值是多少？（2）把16写两个正数的和，这两个正数

解记忆该结论师生同归该结论的三个要点师导学生用刚练1设较才的论解该为础是问题注意分析三让学生体用个条是否满基本不等求提

取什么值时，它们的积最大？积的最大值是多少？解：）两个正数都是6时它们的和最小，

足生抢练习1

最值的方之处，也为练习2做好铺垫和的最小值是12.（2）两个正数都是8时，它们的积最大，积的最大值是64.练2判断下列3个命题是否正确，并说明师学生小组讨练可深理由.（1）函数（）

yx

1x

的最小值为2.

论，解决该问题对用基本等式求最值条生小讨论小件理解组组代表回答问题讨论可培学（2）函数

4yx(x

的最小值为

生的合作流师：评学回能组表6.（）

答并出运回答问题培基本等式最养学生数表6/7

（3）函

数

y

2

x2

值个条件缺一达力能不可尤其三相等力和逻辑理最忽略能.的最小值是2.（）解：（1）假

可为负数，不能直接用基本不等式，yx

1x

无最小值（2）真yx

4x

4

，当且仅当

x4

时取等号，所以

yx

4x(x

的最小值为6.（3）假一二定满足，但等号取不到五

归回本课内：

师：

从多个角总课

1、由会标数学抽象得到几何图（赵爽弦图）1、强调课堂中涉

结归纳本课小

2、由赵爽弦图直观想象得重要等式

及到的数学思想：

的主要内容布

3、重要不等式代换可得基本等式并依据特到一般类

仅重视知本作

不等式的性质证明