二次函数全章复习教案

商品销售类问题的分类阐释为了更好地了解商品销售中的一些秘诀，让我们先来理解几个销售术语：商品的进价：指商店从厂家购进商品时的价格。商品的标价：商品销售时标出的价格，又称定价。商品的售价：商店销售商品时的实际价格，又称为交价。利润：商店销售商品时所赚的钱。折扣：商店销售商品时销售价占商品标价的十分之几。其次，还必须掌握如下几个数量关系：商品的利润＝商品的售价－商品的进价3．商品的售价＝商品的标价×商品的销售折扣明确和理解了上面的概念与它们之间的关系，再借助列方程及解方程的相关知识，便可以顺利地解决市场销售中有关问题，下面以部分省市中考试题为例分类详述。求进价例1（广东省考题）某商场出售某种文具，每件可盈利2元，为了支援贫困山区，现在按原售价的7折出售给一山区学校，结果每件盈利0.2元，问该文具每件的进货价是多少元？解：设文具每件的进货价x元，则每件的售价为（x+2）元，依题意得：（x+2）×70%－x＝0.2，解得x＝4。二、求商品的原销售价例2（长沙市考题）“五一”期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽七折和九折优惠券，共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元，这两种商品原销售价分是多少？解：设甲商品的原销售价x元，则乙商品的原销售价（500－x）元，根据题意得：x×70%＋（500－x）×90%＝386，解得x＝320元，即甲商品原销售价320元，乙商品的原销售价为180元。求商品的现销售价例3（哈尔滨考题）抗“非典”期间，个别商贩将原来每桶价格a元的过氧乙酸消毒液提高20%后出售，市政府及时采取措施，使每桶价格在涨价后以八五折出售，那么现在每桶价格是多少？解：因为提高20%后出售价为：（a+a×20%）元，所以现在每桶价格是：a（1+20%）×85%＝1.02a元。四、求商品的利润率例4某商店将每台彩电先按进价提高40%标出售价，然后广告宣传将以八折的优惠价出售，结果每台彩电赚了300元，则经销这种彩电的利润率是多少？解：设该彩电的进价为m元，根据题意得m×（1＋40%）×80%－m＝300，解得，m＝2500,所以经销这种彩电的利润率为：五、求折扣例5某商品的进价是500元，标价是750元，商品要求以利润率不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？解：售货员最低可以打x折，则销售价为,依题意列方程得：，解之得x＝0.7，故售货员最低可以打7折出售此商品。六、探究商家的盈亏例6某个体商贩在一次买卖中，同时卖出甲、乙两件上衣，每件均以135元出售，若按成本计算，其中甲件盈利25%，乙件亏本25%，在这次买卖中他（）A．不赔不赚B、赚9元C、赚18元D、赔18元解：设甲、乙的成本价为分别为x，y元，由题意得（1＋25%）x＝135；（1－25%）y＝135，解得，x＝108，y＝180，而135×2－108－180=-18，这就说明在这次买卖中他赔了18元，故选D。七、求商品的成本价例7（潍坊市考题）甲、乙两服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？分析：设甲服装的成本为x元，则乙服装成本为（500－x）元，由题意得：［（1＋50%）x+（1＋40%）（500－x）］×90%－500＝157，解得x＝300。故甲服装的成本为300元，乙服装的成本为500－x＝500－30＝200元。［练习题］（南京市考题）某件商品，把进价提高后标价为220元，为了吸引顾客，再按九折出售，能盈利10%，这件商品的进价是多少？（广州市考题）某商品的进价为800元，标价为1200元，由于商品积压，准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则最低可打几折？（呼和浩特市考题）某商店有进价不同的两个计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店是赚还是赔？［参考答案］1．1802.73.赚8元73×38＝2774山东临清市阳光小区9座西单元252600一元二次方程与二次函数一元二次方程与二次函数是初中数学中的重要内容，因此，每年它都成为中考的热点问题，所以，同学们必须弄清二者的密切联系，才能够对所遇见的问题做到水到渠成，以一当十，触类旁通。一、二者之间的关系1、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值等于m,求自变量x的值,可以解一元二次方程ax2+bx+c=m(即ax2+bx+c-m=0).反过来,解方程ax2+bx+c=0(a≠0)又看作已知二次函数y=ax2+bx+c值为0,求自变量x的值；2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系：当b2-4ac>0一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的根、二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点(，0)和(,0)；当b2-4ac=0一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两相等的根==二次函数y=ax2+bx+c与x轴只有惟一的一个交点(,0)；当b2-4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根二次函数y=ax2+bx+c与x轴无交点。二、应用例1已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象,如下图所示，由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=____。析解:本题主要考查二次函数与二次方程之间的联系,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解.由于两个交点关于对称轴对称,一个交点为(1.3,0),对称轴为直线x=-1,所以另一个交点的坐标为(-3.3,0),即方程ax2+bx+c=0的另一个根是x2=-3.3.感悟：解决二次函数和二次方程关系问题，关键是确定抛物线与x轴交点的坐标。例2已知抛物线y=x2-2(k-1)x+k2-7与x轴有两个不同的交点.(1)求k的范围;(2)若抛物线与x轴的交点为A、B，且点B的坐标为（3，0），求点A的坐标。析解：本题主要考查二次函数与一元二次方程的内在联系，点在对称轴上的性质以及抛物线的对称轴和顶点坐标的求法。（1）y=x2-2(k-1)x+k2-7=[x-(k-1)]2+2k-8,由抛物线与x轴有两个不同的交点,而抛物线开口向上,所以2k-8<0,所以k<4。(2)因为点B(3,0)在抛物线上,所以9-6(k-1)+k2-7-0,即k2-6k+8=0,解得k1=2,k2=4,由(1)知k<4,所以k=2,所以抛物线的关系式为y=x2-2x-3,由y=0,得x2-2x-3=0,所以x1=-1,x2感悟：抛物线与x轴的交点的横坐标就是相应方程的解.要求与x轴交点的横坐标,实际上就是求当y的值为0时,得到的方程的解.例3根据下列表格的对应值：x53.26y=－0.06－0.020.030.09判断方程(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是（）.(A)3＜x＜3.23(B)3.23＜x＜3.24(C)3.24＜x＜3.25(D)3.25＜x＜3.26析解：本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系。由于二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的一个根,所以本题实际上确定抛物线与x轴交点横坐标的范围,观察表格的数据变化可知3.24＜x＜3.25时,抛物线与x轴有一个交点,所以方程(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是3.24＜x＜3.25.选(C)。感悟：判断一元二次方程的解的范围,实质是判断相应的二次函数的图象与x轴交点的范围,正确理解二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键.三、挑战中考1、（08年，武汉）下列命题：①若，则；②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）．Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②③④．2、（08年，长春）二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（）A． B．C．D．3、（08年，双柏县）已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）求△ABC的面积；（4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．挑战中考答案：1、B；2、D；3、（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＝36a－6b＋8,0＝4a＋2b＋8))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(2,3),b＝－\f(8,3)))∴所求抛物线的表达式为y＝－eq\f(2,3)x2－eq\f(8,3)x＋8（3）∵AB＝8，OC＝8∴S△ABC＝eq\f(1,2)×8×8=32（4）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC∴eq\f(EF,AC)＝eq\f(BE,AB)即eq\f(EF,10)＝eq\f(8－m,8)∴EF＝eq\f(40－5m,4)过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝eq\f(4,5)∴eq\f(FG,EF)＝eq\f(4,5)∴FG＝eq\f(4,5)·eq\f(40－5m,4)＝8－m∴S＝S△BCE－S△BFE＝eq\f(1,2)（8－m）×8－eq\f(1,2)（8－m）（8－m）＝eq\f(1,2)（8－m）（8－8＋m）＝eq\f(1,2)（8－m）m＝－eq\f(1,2)m2＋4m自变量m的取值范围是0＜m＜8（5）存在．理由：∵S＝－eq\f(1,2)m2＋4m＝－eq\f(1,2)（m－4）2＋8且－eq\f(1,2)＜0，∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）∴△BCE为等腰三角形．如何确定销售价才能获取最大利润在商品经济的时代，人们往往最关心的是如何以最少的投入，获得最大的经济效益。下面以二次函数为例说明如下：一、直接确定销售价例1某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台．假设这种品牌子的彩电每台降价（为整数）元，每天可以多销售出台。（注：利润=销售价－进价）（1）设商场每天销售这种彩电获得的利润为元，试写出与之间的函数关系式；（2）销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？分析：利润=销售价－进价是解答问题的关键。解：（1）每台彩电的利润是元，每天销售台，则（2）＜0，又为整数，当或4时，当时，彩电单价为3600元，每天销售15台，营业额为元，当时，彩电单价为3500元，每天销售18台，营业额为元，所以销售该品牌彩电每天获得的最大利润是9000元，此时每台彩电的销售价是3500元时，能保证彩电的销售量和营业额较高。点评：关注生活，关注社会是提高自身数学素养的一个基本的有效途径。二、结合图象确定销售价y（日均销售量/本）xOAB（例2题图）（销售单价/元）y（日均销售量/本）xOAB（例2题图）（销售单价/元）4880240（1）求日均销售量（本）与销售单价（元）的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，日均获利最多，获得最多是多少元？分析：根据题意，结合图象可以知道线段AB表示的是一次函数的图象，因此，本题可以先构建一次函数模型再确定销售价，从而求出获取最大利润。解：（1）由题意设日均销售量与销售单价的函数关系式为则得：解得（）（2）设日均获利为元，则当时，最大值为200答：当销售单价为7元时，日均获利最多为200元．点评：读懂题意，弄清图象的真实含义是解答本题的关键。三、挑战自我1、某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w＝－2x＋240。设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：（1）求y与x的关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？2、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少参考答案：1、解：⑴y＝(x－50)∙w＝(x－50)∙(－2x＋240)＝－2x2＋340x－12000，∴y与x的关系式为：y＝－2x2＋340x－12000⑵y＝－2x2＋340x－12000＝－2(x－85)2＋2450，∴当x＝85时，y的值最大⑶当y＝2250时，可得方程－2(x－85)2＋2450＝2250解这个方程，得x1＝75，x2＝95根据题意，x2＝95不合题意应舍去．∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元2、（1）化简得：（2）（3），抛物线开口向下．当时，有最大值又，随的增大而增大当元时，的最大值为元当每箱苹果的销售价为元时，可以获得元的最大利润因此，不等式组的解集为根据题意，的值应是整数，或或该商场共有三种进货方案：方案一：购进甲种商品48件，乙种商品52件，方案二：购进甲种商品49件，乙种商品51件，方案三：购进甲种商品50件，乙种商品50件．（3）根据题意，得第一天只购买甲种商品不享受优惠条件（件）第二天只购买乙种商品有以下两种情况：情况一：购买乙种商品打九折，（件）情况二：购买乙种商品打八折，（件）一共可购买甲、乙两种商品（件）或（件）答：这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共18件或19件．何时获得最大值“何时获得最大值”既是二次函数极值问题的具体应用,更是中考的热点.何时获得最大值?最大值是多少?这是一个现实生活中的最值问题.在解题过程中,需将实际问题转化为数学问题,构建目标函数,通过二次函数的极值可使问题得以解决.现就08年中考题精选两例,解析如下,供同学们参考:例1(2008年福建省莆田市中考题))枇杷是莆田名果之一,某果园有100棵枇杷树,每棵平均产量为40千克,现准备多种一些枇杷树以提高产量,但是如果多种树,那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少,根据实践经验,每多种一棵树,投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克,问:增种多少棵枇杷树,投产后可以使果园枇杷的总产量最多?最多总产量是多少千克?分析:根据“总产量=果树棵数×每棵果树的平均产量”构建二次函数.解:设增种x棵树，则果园共有树()棵,每棵树的平均产量为()千克,果园的总产量为y千克，依题意得:y＝(100＋x)(40–0.25x)＝4000–25x＋40x–0.25x2＝－0.25x2＋15x＋4000因为a＝－0.25＜0，所以当时，y有最大值答:增种30棵枇杷树,投产后可以使果园枇杷的总产量最多,最多总产量4225千克.点评:将实际问题转化为数学问题,构建二次函数,根据当时,函数有极值,,使问题得到解决.例2(2008年山东省泰安市中考题)某市种植某种绿色蔬菜,全部用来出口.为了扩大出口规模,该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴,规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元.经调查,种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系.随着补贴数额的不断增大,出口量也不断增加,但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低,且与之间也大致满足如图2所示的一次函数关系.(1)在政府未出台补贴措施前,该市种植这种蔬菜的总收益额为多少?(2)分别求出政府补贴政策实施后,种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式;(3)要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大,政府应将每亩补贴数额定为多少?并求出总收益的最大值．分析:关键是从函数图象中获取数据信息,(1)由图1可知,原种植面积为800亩,由图2可知原每亩收益3000元,从而可以求得原收益额;(2)从图象中可以看出,函数关系均为一次函数,用待定系数法将点的坐标代入,通过解方程组可以求得对应的函数关系式;(3)根据总收益=种植亩数×每亩收益来建立总收益与补贴数额之间的函数关系式,再通过二次函数求极值使问题获解.解:(1)政府没出台补贴政策前,这种蔬菜的收益额为（元）(2)由题意可设与的函数关系为将代入上式得解得所以种植亩数与政府补贴的函数关系为身边数学同理可得每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为身边数学(3)由题意所以当,即政府每亩补贴450元时,全市的总收益额最大,最大值为7260000元.点评:本例涉及到用待定系数法确定函数关系解析式,建立总收益与补贴数额之间的函数关系式,根据二次函数的性质求得极值,使问题得以解决.下面一道中考题,请同学们自已试一试:(2008恩施自治州)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近,州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元).(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?参考答案:⑴y与x的函数关系式为:y＝(x－20)w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2x2＋120x－1600.⑵y＝－2x2＋120x－1600＝－2(x－30)2＋200.当x＝30时,y有最大值200.所以当销售价定为30元/千克时,每天可获最大销售利润200元.⑶当y＝150时,可得方程:－2(x－30)2＋200＝150．解这个方程,得x1＝25,x2＝35.x2＝35不合题意,应舍去．所以当销售价定为25元/千克时,该农户每天可获得销售利润150元.第2章《二次函数》2.6－2.8同步检测（A卷）(时间：60分钟，满分：100分)一、巧手填填（每题6分，共36分）

1.二次函数y=mx2-3x+3m-m2的图象过原点，则m=，抛物线开口.

2.二次函数y=x2-6x+5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积为.

3.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是（-3，0），（-5，0），则这条抛物线的对称轴是直线.

4.将抛物线y=-x2+1向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线解析式为

对于平移后的抛物线，当时，y随x的增大而减小；当x=时，函数有最值为.

5.将二次函数y=-3x2+6x-1配成y=a（x-h）2+k的形式为.

6.已知函数y=x2-x-2，当＿＿＿时，函数值y<0.

二、慧眼选选（每题5分，共30分）

7.在抛物线y=x2-3x-1上的点是（）

Ａ.（1，2）Ｂ.（1，3）

Ｃ.（-2，-8）Ｄ.

8.函数y=

－2是二次函数，那么m的值是（）

Ａ.2Ｂ.±2Ｃ.-2Ｄ.

9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，顶点在第二象限，则（）

Ａ.a<0，b<0Ｂ.a>0，b2-4ac>0

Ｃ.a<0，b>0Ｄ.a<0，b2-4ac<0

10.已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点可能在（）

Ａ.第一或第四象限

Ｂ.第三或第四象限

Ｃ.第一或第二象限

Ｄ.第三或第二象限

11.为解决药价高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价，若设平均每次降价的百分率是x，该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（

）.

Ａ.y=2m（1-x）Ｂ.y=2m（1+x）

Ｃ.y=m（1-x）2Ｄ.y=m（1+x）2

12.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点是（-2，0），顶点是（1，3），下列说法不正确的是（）

Ａ.抛物线的对称轴是直线x=1

Ｂ.抛物线的开口向下

Ｃ.抛物线与x轴的另一个交点为（2，0）

Ｄ.当x=1时，y有最大值是3

三、耐心做做（共34分）

13.（10分）若二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（2，-1），且抛物线过（0，3），求二次函数的解析式.

14.（12分）对于抛物线，在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：h=V0t－gt2，h（米）是上升高度，V0（米/秒）是物体的初速度，g（米/秒2）是重力加速度，t（秒）是物体抛出后经过的时间，如下图是h与t的函数关系图象.

（1）求V0，g；

（2）几秒后，物体在离开抛物点25米高的地方？

15.（12分）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S米2.

（1）求S与x的函数关系式；

（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？

（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.

A卷参考答案一、巧手填填

1.3；向上提示:由图象过原点可得3m－m2＝0，解得m1＝3或m2＝0.因为是二次函数，所以二次项系数不为0，所以m＝3，开口向上.

2.10提示：令x2-6x+5＝0，解之可求得A、B两点的坐标，把x＝0，代入函数解析式可求出y＝5，即C点坐标为（0，5）.然后画出草图根据面积公式即可求得△ABC的面积.

3.x=-4提示：函数图象与x轴两交点中点所在的直线即这条抛物线的对称轴直线.

4.y=-（x-2）2-2；x>2；2；大；-2提示：通过顶点坐标的平移求解平移后的解析式，然后根据性质

5.y=-3（x-1）2+2

6.-1<x<2提示：可根据开口方向和顶点坐标画出草图，然后求出图象与x轴的两交点进行判断.

二、慧眼选选

7.D提示：把选项中的各点代入解析式即可判断.

8.C提示：是二次函数既要满足x的指数为2，又要满足x的系数不为0.

9.A提示：开口向下则a＜0，顶点在第二象限即则可判断b＜0.

10.A提示：由4a-2b+c=0，9a+3b+c=0可判断二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为（-2，0），（3，0），所以对称轴直线为x＝0.5，显然顶点的横坐标在一、四象限.

11.C提示：第一次降价后价格y＝m（1-x），第二次降价后价格y＝m（1-x）（1-x）.

12.C提示：观察图象显然有A、B、D是正确的.

三、耐心做做

13.解：设顶点式方程为y=a（x-2）2-1，将（0，3）代入上式，得a（0-2）2-1=3，

∴a=1，

∴y=（x-2）2-1，

即y=x2-4x+3.

14.解：（1）∵顶点（3，45），

∴设h=a（t-3）2+45（a≠0），

将（0，0）代入得：a（0-3）2+45=0，

∴a=-5，h=-5（t-3）2+45＝-5t2＋30t.

由题意

解法2：（1）将（3，45）（6，0）代入y=v0t－gt2，

得

解得

（2）在h=30t－×10t2中令h=25，

则得方程-5t2+30t-25=0，

即t2-6t+5=0，

解得：t1=1，t2=5.

所以1秒或5秒后，物体在离开抛物线25米高的地方.

15.解：（1）由题意，AB=x米，则BC=（24-3x）米，

∵0<24-3x≤10，即≤x<8，

∴S=BC·AB=（24-3x）x=-3x2+24x（≤x<8）.

（2）在S=-3x2+24x米中，令S=45，

则可得方程-3x2+24x=45.

即x2-8x+15=0.

解这个方程，得x1=3，x2=5.

当x=3时，24-3x=15；

当x=5时，24-3x=9.

因为墙的最大可用长度a为10米，所以x=3舍，

∴当AB的长是5米时围成花圃的面积为45平方米.

（3）由题可知墙的最大可用长度为10米.

∴0<24-3x≤10，

∵S=-3x2+24x

=-3（x2-8x）=-3（x-4）2+48.

∴对称轴x=4，x>4时y随x增大而减小

即用24米长的篱笆能围成面积大于45平方米的花圃，当AB长为米时，S最大值=平方米.

【小结】本题是二次函数应用问题，列解析式时要注意自变量已设定.讨论面积的最大值是否比45m2大时一定要考虑自变量的取值范第2章2.6－2.8《二次函数》同步检测（B卷）（时间：60分钟，满分：100分）一、巧手填填（每题5分，共30分）

1.二次函数y=x2+kx+m的顶点坐标是（1，-3），则k=，m=＿＿＿＿－.

2.已知二次函数y=x2+（m+3）x+m的图象关于y轴对称，则m的值是，它与x轴的交点坐标是.

3.已知二次函数y=x2+3x+k与x轴的两个交点在原点的右侧，则k的取值范围是.

4.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2，7），B（6，7），C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是.

5.已知函数①y=x2+2；②y=-3x2+x，函数（填序号）有最小值，当x=＿＿＿＿＿时该函数的最小值是.

6.二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交点为A、B，P为它的顶点，则S△PAB=.

二、慧眼选选（每题5分，共30分）

7.将抛物线y=x2-2x+1向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得的抛物线为（）

Ａ.y=x2-2x-1Ｂ.y=x2+2x-1

Ｃ.y=x2-4x+2Ｄ.y=x2+2

8.二次函数y=x2+mx+n，若m-n=0，则它的图象必过点（）

Ａ.（-1，1）Ｂ.（1，-1）

Ｃ.（-1，-1）Ｄ.（1，1）

9.二次函数y=ax2+bx+c中，若b2=ac，且x=0时，y=-4，则（）

Ａ.y最大=-4Ｂ.y最小=-4

Ｃ.y最大=-3Ｄ.y最小=-3

10.已知，二次函数y=ax2+bx+c，如果a>b>c，且a+b+c=0，则它的图象可能是下图中的（）

11.已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是（）

Ａ.有两个不相等的正实根

Ｂ.有两个异号实根

Ｃ.有两个相等的实根

Ｄ.没有实数根

12.小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=－x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（）

Ａ.3.5m

Ｂ.4m

Ｃ.4.5m

Ｄ.4.6m

三、耐心做做（共40分）

13.（12分）菜塑料大棚的截面如图所示，曲线部分近似看成抛物线，现测得AB=6米，最高点D到地面AB的距离高DO=2.5米，点O到墙BC的距离OB=1米，借助图中的直角坐标系回答下列问题：

（1）写出A、B坐标；

（2）求墙高BC.

14.（14分）来商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

15.（14分）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的负半轴相交于点A，与x轴的正半轴相交于点B，与y轴相交于点C（如下图），点C的坐标为（0，-3），且BO=CO.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设这个二次函数图象的顶点为M，求AM的长.

B卷参考答案一、巧手填填

1.k=-2，m=-2提示：因为顶点坐标为，所以可求k、m.

2.提示：因为函数y=x2+（m+3）x+m的图象关于y轴对称，所以

3.0<k<提示：根据题意画出草图可知：①x＝0时，y＞0；②当y＝0时，方程有两个不相等的实数根；满足这个条件即可求解.

4.（1，-8）提示：根据二次函数图象的对称性进行求解.

5.①；0；2提示：二次函数二次项系数为正，有最小值.

6.8

二、慧眼选选

7.C提示：先求出抛物线y=x2-2x+1的顶点坐标，求出抛物线平移后的顶点坐标然后求解.

8.A提示：可逆向思考，把选项中的点代入函数解析式，看能否得出m-n=0.

9.C提示：二次函数的最值为

根据题意可得c＝－4，所以最值为－3.因为b2=ac，c＝－4，a≠0，所以a为负数，所以－3为最大值.

10.A11.C12.B

三、耐心做做

13.解：（1）∵OB=1，AB=6，

∴AO=5，∴A（-5，0），B（1，0）.

（2）设y=ax2+2.5，

把A（-5，0）代入得25a+2.5=0.

∴a=-0.1，即y=-0.1x2+2.5.

当x=1时，y=-0.1+2.5=2.4，

即墙高BC为2.4米.

14.解：（1）设每件衬衫降价x元，则可售出（20+2x）件，盈利为（40-x）（20+2x），由题意可得方程（40-x）（20+2x）=1200.

整理得x2-30x+200=0.

解得x1=20，x2=10，

因为要尽量减少库存，所以x=10舍去，

即当每件衬衫降价20元时商场平均每天盈利1200元.

（2）设利润为y元，则y=（40-x）（20+2x），

即y=-2（x+15）2+1250，

∵-2<0，

∴当x=15时y有最大值1250，

∴每件衬衫降价15元时商场平均每天盈利最多.

15.解：∵C（0，-3），∴OC=3.

又OB=OC=3，∴B（3，0）.

将B（3，0），C（0，-3）代入y=x2+bx+c中，

得

∴y=x2-2x-3.

将y=x2-2x-3配方得y=（x-1）2-4，

∴顶点M的坐标为（1，-4），

如图，作MN⊥x轴于N，

则MN=4，ON=1，

∵OB=3，∴BN=2.

由抛物线对称性可知AN=2，

在Rt△AMN中，

通信地址：安徽岳西县城关中学李庆社（246600）联系电话：0556217380213955622882邮箱：lqs_lqs@126.com或lqs_lqs@163.comQQ：530158005博客/lqs_lqs@126笔名李师、理师、明师、皖师、岳师、师院）农行卡号：6228482300040594519身份证类运动中的抛物线踢足球，掷铅球是两类体育运动项目，你知道吗?踢足球，掷铅球不光要有力气，而且还涉及一些数学知识，下面就见识两道与球类有关的二次函数问题.例1如图1，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4=7）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取2=5）.图1分析：本题是一道设计比较新颖的试题，要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件确定点A和顶点M的坐标，因为OA=1，OB=6，BM=4，所以点A的坐标为(0,1),顶点M的坐标是(6,4).根据顶点式可求到抛物线关系式.因为点C在x轴上,所以要求OC的长,只要把点C的纵坐标y=0,代入函数关系式,通过解方程求到OC的长.要计算运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米,实际就是求DB的长.求解的方法有多种.解:(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为y=a(x-6)2+4,

由已知：当x=0时y=1,即1=36a+4,所以a=-所以函数表达式为y=-(x-6)2+4或y=-x2+x+1.(2)令y=0,,则-(x-6)2+4=0,

所以(x-6)2=48,所以x1=4+6≈13,x2=-4+6<0(舍去）．

所以足球第一次落地距守门员约13米．

（3）如图4，第二次足球弹出后的距离为CD,根据题意：CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位）

所以2=-(x-6)2+4,解得x1=6-2,x2=6+2,

所以CD=|x1-x2|=4≈10.

所以BD=13-6+10=17(米）．

例2小明代表班级参加了校运动会的铅球项目.他想：“怎样才能将铅球推得更远呢？”于是找来了小刚做了如下的探索：小明手挚铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分析沿与水平线成30°、45°、60°方向推了三次，铅球推出后沿抛物线运动.如图2，小明推铅球时的出手点距地面2m，以铅球出手点所在的竖直方向为y轴，地平线为x轴建立坐标系，分别得到的有关的数据如下表推铅球的方向与水平线的夹角30°45°60°铅球运动所得到的抛物线的关系式y1=-0.6(x-3)2+2.5y2=___(x-4)2+3.6y3=-0.22(x-3)2+4估测铅球在最高点的坐标P1(3,2.5)P2(4,3.6)P3(3,4)铅球落地到小明站立的水平距离9.5m_____m7.3m请你求出表格中两横线上的数据,写出计算过程,并将结果填入表格中横线上;请根据以上数据,对如何将铅球推得更远些提出你的建议.图2分析:本题是一道涉及实际生活问题的一道和二次函数有关的中考试题,以掷铅球为实际问题模型,将抛物线的有关知识连接起来,充分体现了数学知识与生活密切相关.通过本题也提示我们,数学就在我们身边,要关注身边的数学.解:(1)根据已知条件,当推铅球的方向与水平线的夹角45°时,设铅球形成的抛物线为y2=a(x-4)2+3.6,因为抛物线经过点(0,2),所以将x=0,y=2代入y2=a(x-4)2+3.6,得2=a(0-4)2+3.6,解得a=-0.1,所以y2=-0.1(x-4)2+3.6.所以第一空填-0.1.设铅球落地时,交x轴于点(m,0),将x=m,y=0,代入y2=-0.1(x-4)2+3.6,得0=-0.1(m-4)2+3.6,所以(m-4)2=36,所以m-4=±6,解得m1=10,m2=-2(舍去).所以第二空填10.(2)比较三种情况:可知当推铅球的方向与水平线的夹角45°时,掷出的水平距离最远,所以在推铅球时,应注意掌握推铅球的方向与水平线的夹角45°.求二次函数解析式的三种方法一、已知任意三点求解析式用一般式，即。方法是：把三点坐标分别代入一般式，得到关于、、的三元一次方程组，求出、、的值，即可得到二次函数的解析式。例1、如图，抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与轴的另一个交点为E，求抛物线的解析式分析：观察图像，点A、B、C、E的坐标已知，在其中任选三点，将它们的坐标代入一般式，即可求出抛物线的解析式解：设抛物线的解析式为，由图像可知，抛物线经过点A（1，0）、B（0，3）、C（2，3）三点，所以，解得，所以抛物线的解析式为二、已知顶点或最大（小）值求解析式用顶点式，即方法是：先将顶点坐标（，）或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入求出，即可得抛物线的解析式例2、已知二次函数的顶点为（2，1），且过点（2，7），求二次函数的解析式分析：本题提供的是一般式，若用一般式求解比较繁琐，若设顶点式，则只需求一个待定系数即可。解：设二次函数为，把点（2，7）代入解析式，得，解得，所以二次函数的解析式为，即三、已知与轴两交点坐标求解析式用交点式，即方法是：将抛物线与轴两个交点的横坐标、代入交点式，然后将抛物线上另一点的坐标代入求出，即可得抛物线的解析式例3、已知变量是的二次函数，且函数图像如图，在轴上截得的线段AB长为4个单位，又知函数图像顶点坐标为P（3，2），求这个函数的解析式分析：因为函数图像在轴上截得的线段AB长为4个单位，且函数图像顶点坐标为P（3，2），根据图像可知，图像与轴的两个交点的坐标分别为A（1，0）、B（5，0），然后利用交点式即可求出二次函数的解析式解：因为函数图像顶点坐标为P（3，2），在轴上截得的线段AB长为4个单位，所以抛物线与轴的交点分别为A（1，0）、B（5，0），设所求二次函数解析式为。因为函数图像经过P（3，2），所以，解得，所以二次函数的解析式为，即二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程两者有着密切的联系，当二次函数y=ax2+bx+c与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时对应的自变量的值.而当y=0时，函数y=ax2+bxc就变成了方程ax2+bx+c=0，所以若方程ax2+bx+c=0在实数范围内有解，其根也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标.例1已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为．分析:二次函数的图象与x的交点的横坐标即为方程的根.观察图象可知图象与x轴的一个交点为(3,0),且对称轴x=1,根据图象与x轴两个交点关于对称轴x=-1对称,所以另一个交点的坐标为(-1,0),由此可得到方程的两个根.解:因为与x轴的一个交点为(3,0),且图象的对称轴为x=1,所以图象与x轴的另一个交点为(-1,0).所以方程的两根为x1=-1,x2=3.说明:本题已知图象的一部分,求相应方程的根,解决问题的关键是根据图象与x轴两个交点关于对称轴对称,求到图象与x轴交点的坐标.例2二次函数是常数中，自变量x与函数y的对应值如下表：x123y11一元二次方程是常数的两个根x1,x2的取值范围是下列选项中的哪一个．① ②③ ④分析:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c是常数的两个根x1,x2就是当y=0时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c是常数)对应自变量x的值,根据表中x、y的对应值可知，（1）当x=-时，y=；当x=0时，y=1，所以可估计方程ax2+bx+c=0的一个根在-和0之间；（2）当x=2时，y=1；当x=，y=-，由此可估计方程ax2+bx+c=0的另一个根在2和之间.解:选C.说明：根据二次函数的值估计一元二次方程的根的范围，其关键是确定当x取表格中的哪两个相邻的值时，对应的函数值一正一负.例析动点生成函数图像问题在近几年的中考试题中，考查动点生成函数图像问题逐渐成为一种趋势。这类问题通过点、线或图形的运动构成一种函数关系，生成一种函数图像，将几何图形与函数图像有机地融合在一起，体现了数形结合的思想，能充分考查学生的观察、分析、归纳、猜想的能力以及综合运用所学知识解决问题的能力。下面举例说明。例1、在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别按AB、BC、CD、DA的方向同时出发，以1cm/s的速度匀速运动。四边形EFGH的面积（cm2）随时间t(s)变化的图像大致是（）解析：由勾股定理得，四边形EFGH的面积为（0≤t≤6），所以S是t的二次函数，图像是自变量在0≤t≤6上的一段抛物线，故选C。例2、在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连接DP，过点A，作AE⊥DP，垂足为E，设DP＝x，AE＝y，则能反映y与x之间函数关系的大致图像是____解析：当点P与点B重合时，DP==BD=，因为，所以，所以AE=，当点P与点B重合时，DP=＝DC=3，则AE与AD重合，所以AE＝＝4，当点P在BC之间时，，又因为，所以，即。综上y与x之间函数关系式为（≤x≤4）。y与x之间函数关系是反比例关系，图像是一段双曲线，排除选项B、D，又因为≤x≤4，所以选C。例3、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90，AD=1，AB=，BC=2，P是BC边上的一个动点，（点P与B不重合，可以与点C重合），DE⊥AP于点E。设AP＝，DE=，在下列图像中，能正确反映y与x的函数关系的是（）解析：此题与例3类似，当点P与点C重合时，AP=AC＝，当点P在BC上运动时，AP＞AB＝，所以＜≤。连接DP，BD，因为，所以，即（＜≤＝。所以函数的图像应是自变量在＜≤范围内的一段双曲线，故选C。解答此类问题的策略可以归纳为三步：“看”、“写”、“选”。“看”就是认真观察几何图形，彻底弄清楚动点从何点开始出发，运动到何点停止，整个运动过程分为不同的几段，何点（时刻）是特殊点（时刻），这是准确解答的前提和关键；“写”就是计算、写出动点在不同路段的函数解析式，注意一定要注明自变量的取值范围，求出在特殊点的函数数值和自变量的值；“选”就是根据解析式选择准确的函数图像或答案，多用排除法。首先，排除不符合函数类形的图像选项，其次，对于相同函数类型的函数图像选项，再用自变量的取值范围或函数数值的最大和最小值进行排除，选出准确答案。二次函数的最值及其应用若自变量是全体实数，则当x=-时，y最值=(2008年南京市中考题)已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…-101234…y…1052125…（1）求该二次函数的关系式；当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？分析：（1）任选表中两组对应值待入y=x2+bx+c可求b、c。（2）得出y=x2+bx+c后代x=-时，y最值=解：（1）根据题意，当x=0时，y=5；当x=1时，y=2。所以解得所以，该二次函数关系式为y=x2-4x+5（2）因为y=x2-4x+5，所以当x==2时，y有最小值，最小值为=1求实际问题中的二次函数的最值例2(2008年黄冈市中考题)四川汶川大地震发生后，我市某工厂A车间接到生产一批帐篷的紧急任务，要求必须在12天（含12天）内完成。已知每项帐篷的成本价为800元，该车间平时每天能生产帐篷20顶。为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高。这样，第一天生产了22顶，以后每天生产的帐篷都比前一天多2顶，由于机器损耗等原因，当每天生产的帐篷数达到30顶后，每增加1顶帐篷，当天生产的所有帐篷，平均每顶的成本就增加20元。设生产这批帐篷的时间为x天，每天生产的帐篷为y顶。直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；若这批帐篷的订购价格为每顶1200元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区，设该车间每天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出该车间捐献给灾区多少钱？分析：（1）由题意直接列出。（2）当1≤x≤5时，由一次函数的增减性得W的最大值；当5＜x≤12时，由二次函数的增减性得W的最大值。解：（1）y=2x+20（1≤x≤12）（2）当1≤x≤5时，W=（1200-800）×（2x+20）=800x+8000此时W随x的增大而增大∴当x=5时，W最大值=12000当5＜x≤12时，W=[1200-800-20×（2x+20-30）]×（2x+20）=-80（x2-5x-150）=-80（x-）2+12500此时函数图象开口向下，在对称轴右侧，W随x的增大而减小∴当x=6时，W最大值=11520∵12000＞11520，∴当x=5时，W最大，且最大值为12000综上所述：W=∴该车间捐献给灾区12000元。利用图象信息求最值(2008年南宁市中考题)随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图甲所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图乙所示（注：利润与投资量的单位：万元）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？分析：（1）设y1=kx，y2=ax2。分别将图甲，图乙上一点的坐标代人可得k,a。问题可解决。（2）由二次函数的增减性得最大利润。。解：设y1=kx，y2=ax2由图甲、乙分别有2=k·1，2=a·22解得k=2，a=∴y1=2x，y2=x2（2）设种植花卉的资金投入为x万元，那么种植树木的资金投入为（8-x）万元，两项投入所获得的总利润为y万元。依题意，得y=y1+y2=2（8-x）+x2=x2-2x+16=（x-2）2+14∴当x=2时，y最小=14所以，这位专业户至少获利14万元。又∵0≤x≤8，抛物线的对称轴为x=2①当0≤x＜2时，y值随x的增大而减小，所以x=0时，y最大=16。②当2≤x≤8时，y值随x的增大而增大，所以x=8时，y最大=32综合①、②可知，这位专业户能获取的最大利润是32万元。含有字母系数的二次函数的最值例4(2008年太原市质检题)已知二次函数y=-x2+4kx-3k2+1在-1≤x≤1内有最大值1，求k的值。分析：由x的取值范围确定k的值。解：y=-x2+4kx-3k2+1=-（x2-4kx+4k2-4k2）-3k2+1=-（x-2k）2+k2+1当-1≤2k≤1，即-≤k≤时，最大值是k2+1∴k2+1=1，此时k=0当2k＞1，即k＞时，当x=1时，y有最大值-（1-2k）2+k2+1=1即3k2-4k+1=0解得k=1或k=（舍去）当2k＜-1，即k＜-时，当x=-1时，y有最大值-（1+2k）2+k2+1=1即3k2+4k+1=0解得k=-1，或k=-（舍去）综上可得，k=0，k=1或k=-1。二次函数有关创新题新天地随着新课改的深入，各地中考试题更加灵活和开放，更加注重应用和创新，不仅使试题设计有更多的创新，并且也通过试题更好地鼓励学生创新。有关二次函数的性质有关创新题目百花齐放，令人目不暇接。下面选择几题并加以浅析，供大家参考。一、对话交流型例1、（2008江苏镇江）福娃们在一起探讨研究下面的题目：函数函数（为常数）的图象如左图，如果时，；那么时，函数值（）A． B． C． D．xxyOx1x2参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（）贝贝：我注意到当时，．晶晶：我发现图象的对称轴为．欢欢：我判断出．迎迎：我认为关键要判断的符号．C妮妮：可以取一个特殊的值．解析：可以根据福娃们的讨论进行解题，本题的关键确定在x轴上的大致位置，即迎迎的发现：关键要判断的符号．根据条件“当x=a时，y＜0”，可得欢欢的发现：，根据关系式，可晶晶的发现：图象的对称轴为，由这两点再结合图象可知0＜x1＜，0＜x2＜1，所以＜a＜1，所以-＜a-1＜0，而根据图象与y轴的交点，可得贝贝的发现：当时，，则当x=a-1时，y＞m。故选C。说明：本题是将课题的情景予以再现，现在新课程提倡交流学习，要学会接受别人正确的思想与方法，这样将会有效地提高我们的学习效率。二、夹逼估算题Ｏxy图2例2、（2008泰安）如图2所示是二次函数的图象在轴上方的一部分，对于这段图象与轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最接近的值是（）Ｏxy图2A．4 B． C． D．解析：本题我们无法直接计算的，本题要确定与其最接近的值，所以我们可以寻找一个规则的面积最接近它的图形。通过观察图形，我们可以发现，阴影部分夹在二次函数的图象与坐标轴的3个交点为顶点的三角形与这个三角形的外接圆（取半圆）之间，易求得三角形与这个三角形的外接圆的面积分别为4和，所以选B。说明：以往的教材中，无限逼近的数学思想只是在高中阶段出现。而新课程中，无限逼近的数学思想在义务教育阶段就有了渗透。随着初、高中教学衔接的不断加强，无限逼近的数学思想将会不断地出现。三、结论开放型例3、(2008年天津市)已知关于x的二次函数同时满足下列三个条件：①函数的图象不经过第二象限；②当时，对应的函数值；③当时，函数值y随x的增大而增大．你认为符合要求的函数的解析式可以是：（写出一个即可）．解析：要本题答案不唯一，可先在坐标系中画出一个满足条件的大致图象，通过画图可发现，要满足条件①，此抛物线必须开口向下，而要满足条件②、③，只需让此抛物线与x轴两个交点的横坐标必须不小于2即可，如y=－2（x-3）（x-4）=－2x2+14x-24，y=－（x-2）（x-3）=－x2+5x-6等。评注：本题所要确定的二次函数解析式结论不唯一，是开放型的．解答这类题，一定要抓住所求二次函数关系式具有的条件或性质来思考．四、条件开放型例4、阅读下面的文字,解答问题.有这样一道题目：“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0，a)，B(1，-2)，……，则：这个二次函数的图象关于直线x=2对称”．题中的省略的部分是一段被墨水污染了无法辩认的文字。请您根据已有的信息，在原题中的省略部分处，填加一个适当的条件，把原题补充完整。解析：根据原题中的结论知，二次函数对称轴为x=2，再结合已知条件，可求出二次函数解析式，由二次函数解析式不难补充满足二次函数的条件。解：因为二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0，a)，B(1,-2)，所以，即可得2a+b=-2，又因为二次函数对称轴为x=2，所以－，由此解得a=1，b=-4，c=1，所求的二次函数解析式为：y=x2-4x+1＝（x-2）2-3，所以给出满足函数解析式的任意一点的坐标即可为省略部分的条件。如：（0,1）或b=-4或c=1或最小值为－3等。评注：解这类问题的解题基本思路为：“执果导因”、逆向思维、逐步分析、探索结论成立的条件，从而得出答案。如本题由所给结论知二次函数对称轴为x=2，再结合已知条件，可求出二次函数解析式，从而易得出所要增加的条件。第二章整章水平测试一、选择题（每小题3分，共24分）1、函数是（）Ａ．一次函数 Ｂ．二次函数 Ｃ．正比例函数 Ｄ．反比例函数2、已知抛物线的表达式为，则抛物线的顶点坐标是（）A．(－2，1) B．(2，1) C．(2，－1) D．(1，2)3、二次函数的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）Ａ．B．C．D．4、若二次函数的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（）Ａ．这两个函数图象有相同的对称轴Ｂ．这两个函数图象的开口方向相反Ｃ．方程没有实数根Ｄ．二次函数的最大值为5、过原点的抛物线是（）A．B．C．D．6、二次函数的最小值是（）Ａ.2B.2C.1D.1xyOOOOxxxyOOOOxxxyyy (A) (B) (C)(D)8、已知二次函数，当时，取得最小值，则这个二次函数图象的顶点在（） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限二填空题（每小题3分，共24分）9、二次函数的图象过点A(1，2)，则.10、飞机着陆后滑行的距离（单位：米）与滑行的时间（单位：秒）之间的函数关系式是．飞机着陆后滑行 秒才能停下来．11、抛物线与y轴的交点坐标为.12、平移抛物线，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式____________________．13、若二次函数的图象与轴没有交点，其中为整数，则．（只要求写出一个）．12yxＯ14、已知二次函数的顶点坐标及部分图象（如图所示），由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是和．12yxＯ15、抛物线过点（1，-4）则直线不过第象限.16、将一根长为30cm的铁丝折成一个矩形，设矩形的一边长为x(cm)，矩形的面积为y(cm).则y与x的函数关系式为.三解答题（共52分）17、（本小题8分）处于静止状态的物体从40米的高度落下，计算t秒时物体离地面高度h米的公式是.(1)求2秒时，物体离地面的高度；(2)经过多长时间物体落到地面.18、（本小题8分）两个数的差为6，设其中较小的数为x，它们的积为y.(1)写出y与x之间的函数表达式(2)y有最大值还是最小值？这个值是多少？19、（本小题8分）心里学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分）之间满足函数关系式：（0≤x≤30），y值越大，表示接受能力越强.(1)第10分时，学生的接受能力是多少？(2)第几分时，学生的接受能力最强？20、（本小题8分）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是18米，如何围篱笆才能使其所围矩形的面积最大？矩形的最大面积是多少？CCBAD21、（本小题10分）右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与5m1m10m?水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯5m1m10m?（1）求抛物线的解析式.（2）求两盏景观灯之间的水平距离.yyOx22、（本小题10分）某商场试销一种成本为60元/件的恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元/件）符合一次函数，且时，；时，．（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？九年级数学下册（北师大版）第二章整章水平测试参考答案一、1.B2.B3.C4.C5.D6.B7.A8.D二、9.210.2011.(0,5)12.略13.略14.-3.315.一16.三、17.解：（1）当t=2时，h=20；（2）当h=0时，有解这个方程得：t1=,t2=（舍去）∴经过秒物体落到地面.18.解：（1）（2）对于抛物线，∵∴y有最小值∴y的最小值为-919.解：（1）当x=10时，y=59（2）∴第13分时，学生的接受能力最强20.解：设AB=x米，则BC=(18-x)米，矩形ABCD的面积为y米2由题意得整理，得∵，∴当AB=9时，矩形的面积最大，矩形的最大面积是81米2.21.解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与轴交点坐标是（0，1）设抛物线的解析式是y=a(x－5)2＋5 把（0，1）代入=(－5)2＋5得=－∴=－(－5)2＋5（0≤≤10）（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4∴4=－(－5)2＋5∴(－5)2=1∴1=2=∴两景观灯间的距离为5米．22.解：（1）由题意得解得，所求一次函数表达式为（2）抛物线的开口向下当时，随的增大而增大而时答：当销售价定为84元／件时，商场可获得最大利润，最大利润是元．《二次函数》专题讲练专题一：二次函数1．考点分析本专题中列函数关系式是利用二次函数知识解决实际问题的基础，因此在中考题中出现较多，所考查内容有：（1）二次函数的定义；（2）列二次函数关系式；（3）二次函数与一元二次方程的关系，其中列二次函数关系式一般渗透在解答题中，另外还可以出现在填空题与选择题中，分值在选择、填空题中占3分左右，在解答题中总分值大概在10分左右2．典例剖析例1．(2009年莆田市)抛物线经过A（－3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点．求抛物线的解析式．分析：本题已知是三个点可设一般形式解决．解：将A（－3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点代入得：，解得：，∴抛物线解析式为．评注：当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式，转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值．例2．（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A．B．C．D．分析：只要记住抛物线平移规律或画出图像移动一下即可．解：根据“上加下减”规律可得：，故选B．点评：本题考察二次函数图像的平移及规律，考察数形结合的数学思想方法．专练一：1、二次函数与x轴的交点个数是（）A．0B．1C．2D．32、已知二次函数(a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0).下列结论正确的是()A.当x>0时，函数值y随x的增大而增大B.当x>0时，函数值y随x的增大而减小C.存在一个负数x0，使得当x<x0时，函数值y随x的增大而减小；当x>x0时，函数值y随x的增大而增大D.存在一个正数x0，使得当x<x0时，函数值y随x的增大而减小；当x>x0时，函数值y随x的增大而增大3、已知二次函数y=x2-x+a(a＞0)，当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（）(A)m-1的函数值小于0

(B)m-1的函数值大于0

(C)m-1的函数值等于0

(D)m-1的函数值与0的大小关系不确定4、已知一抛物线与x轴的交点是、B（1，0），且经过点C（2，8）。（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标。5、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．专题二：二次函数的图象和性质1．考点分析二次函数的图象和性质是初中数学的一个重要内容，也是一中考题中的热点问题，主要考查：（1）画二次函数图象；（2）确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性，最大（小）值，题型主要有填空、选择题，作抛物线一般渗透在解答题中，分值在3～10分．2．典例剖析图4例1．(2009湖北鄂州)小明从图4所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；图4④；⑤，你认为其中正确信息的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个分析：先用图像分析法可知：再用特殊值判断，最后再用排除法即可解决．解：由图像与y轴交点在x轴下方，所以c＜０，①正确；又开口向上，所以a＞０，又＞０，所以b＜０，故abc＞０，②也正确；当x=-1时，y＞０，即a-b+c＞０，③亦成立；又因为，即=，所以3b=-2a，即2a+3b=0，所以④不正确；同理⑤也正确；所以共有四个结论是正确的，故选C．评注：本题综合了以上几种方法来解决问题的，它考查了同学们的综合分析问题的能力以及从图像中获取信息的能力．例5．（2009年娄底）已知关于x的二次函数y＝x2－（2m－1）x＋m2＋3m＋4.（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数．（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且＋＝5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式．分析：本题考察了二次函数和一元二次方程的关系．令y=0，就把函数问题转化为一元二次方程的问题了，然后利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题．解：（1）令y＝0，得：x2－（2m－1）x＋m2＋3m＋4＝0，△＝（2m－1）2－4（m2＋3m＋4）＝－16m－15，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即－16m－15＞0，∴m＜－，此时，y的图象与x轴有两个交点，当△＝0时，方程有两个相等的实数根，即－16m－15＝0，∴m＝－，此时，y的图象与x轴只有一个交点，当△＜0时，方程没有实数根，即－16m－15＜0，∴m＞－，此时，y的图象与x轴没有交点，∴当m＜－时，y的图象与x轴有两个交点；当m＝－时，y的图象与x轴只有一个交点；当m＞－时，y的图象与x轴没有交点．（2）由根与系数的关系得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2＋3m＋4，＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（2m－1）2－2（m2＋3m＋4）＝2m2－10m－7，∵＋＝5，∴2m2－10m－7＝5，∴m2－5m－6＝0，解得：m1＝6，m2＝－1，∵m＜－，∴m＝－1，∴y＝x2＋3x＋2，令x＝0，得y＝2，∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为（0，2），又y＝x2＋3x＋2＝（x＋）2－，∴顶点M的坐标为（－，－），设过C（0，2）与M（－，－）的直线解析式为y＝kx＋b，2＝b，k＋b=－，则b＝2，k＝，∴所求的解析式为y＝x＋2．点评：本题是二次函数与一元二次方程的综合题，它主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，考查了学生数形结合的思想方法和综合运用知识的能力．专练二：图41、已知二次函数的图象如图4所示，有下列5个结论：①；②；③；④；图4⑤，（的实数）其中正确的结论有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2、如图5是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=