初三年级圆的证明专题训练答案解析

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2015月日九级数学的初中数组卷(描维码可查试题解)一解题共小）辽）如图在△AB=AC以为直径的E，点在的延长线上，且∠∠CAB．

分别交ACBC于、（1求证：直线是（2AB=5，sin

的线；，求和的长．吉如图，四边形

是四边形，以

为心为径的圆交AB于，延长于点，连接，，是（1求证是的；（2BC=3，平四边形的积．

的线，解答下问题：天）如图为

上一点在径的长线上．（1判断直线的置关系，并说明由．（2过点B作的线交线点EAC=2，O

的半径是3求BE的．第2页（共33页）

德）如图，已知

的半径为1是

的直径，过点作

的线，是的中点，交于，四边形是平四边形．（1求的长；（2是的吗？是，给出证明；是，说明由．菏）如图，

的直径，A是

上一点，过点作

的线，交的延长线于点，取的点，AE延长线与的长线交于点．（1求证AP是的；（2，AB=6，求的．聊）如图，是

的直径AF是

线，是直于AB的，垂足为，过点作的平线与（1四边形FADC是形；（2是的线．

AF相于点F，CD=

，BE=2．求证：第3页（共33页）

京已知：如图，

AB是

的直径，是

上一点，⊥BC于，过点作的，交的长线于点，连接BE．（1求证BE与相（2连接并长交于，

，sin，BF的．济）如图，

的直径，是弦，⊥AC点，点作的线，与的延长线交于点P，接．（1猜想：线段与有数和位置关系，并证明你的结论．（2求证是的．德）如图，已知点

是为径的

上一点，⊥AB点，点B作的线交直线于点，点为的点，连接AE并长交于，线CF交的延长线于．（1求证：AEFD=AFEC；（2求证；（3，的径r的．第4页（共33页）

南州）已知：如图，点线上，∠BCD=．（1求证为的；

在为径的

上，点在的长（2过点作⊥AB于．

CE=2cosD=，的长．广安）如图，在△中，∠ABC=∠ACB以为径的于、，点在的长线上，且∠∠BCP．（1求证：直线CP是的．

分别交、（2BC=2

，sin∠BCP=

，求点B到的距离．（3在第）的条件下，eq\o\ac(△,求)的长．冈）如图，eq\o\ac(△,在)，点作DE⊥BC，垂足为点．（1求证为的；

中，BA=BC，以直径作半圆，交

于第5页（共33页）

（2求证．湖）如图，已知直线

PA交

于、点AE

的直径，点为上一点，且平分∠过作丄，垂足为．（1求证为的；（2的径为，求的．点E为

山州）如图已△以BC为直径圆心的半圆交于点，的中点，连接交于点，为△的平分线，且AD⊥BE，垂足为点．（1求证AB是圆的；（2AB=3BC=4求BE的．乐）如图为

上一点在径延长线上∠∠CBD．（1求证是

的线；（2过点B作

的线交

的长线于点，

BC=6，tan，BE的．第6页（共33页）

•图所示外点是⊙的线A是切点B是⊙上一点，且，连接、、，延长与线相交于点．（1求证PB是⊙的线；（2求证：•PQ=OQ•BQ；（3设∠α若

，，的长．•如是为直径的⊙上点，过作于，过点A作⊙的切线交的延长线于点F，接CF并长交的延长于点．（1求证是⊙的线．（2若

，求的长．第7页（共33页）

月日九级学的中学卷参考答案试题解析一解题共小）辽）如图，在△，，为径的F在的延长线上，且∠．

分别交于E点（1求证：直线是（2AB=5，sin

的线；，求和的长．考点：线判定与性质；勾股定；圆周角定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．专题几何综合题．分析（1）连接AE用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠．（2用已知条件证得eq\o\ac(△,∽)，比式求得线段的长即可．解答（1）证明：连接，∵AB是的径，∴，∴∠2=90，∴．∵，∴∴∠2=90即∠∵AB是的径，∴是的．（2解：过点作⊥AB于．第8页（共33页）

∵sin∠CBF=∴sin∠1=

，∠1=，，∵Rt△AEB，∠AEB=90AB=5∠1=，，∠AEB=90，在Rt△ABE中由勾股定得

AE=

=2

，∴sin∠2==

，cos∠2=

==

，在Rt△CBG中可求得GC=4，∴AG=3，∵GC∥BF∴△ABF，∴∴BF=

=点评本题考查常见的几何题型包括线的判定，角的大小及线段长的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．吉如图，四边形是四边形，以为心半径的圆交于点，长交于，连接，，是的，解答下问题：（1求证是的；（2BC=3，平四边形的积．考点：线判定与性质；全等三角形的判定与性质；平四边形的性质．专题证明题．第9页（共33页）

分析（1出∠据推出△△DOC出∠∠OEC=90，根据线的判定推出即可；（2根据全等三角形的性质求出CE=CD=4，据平四边形性质求出OA=3，根据平四边形的面积公式求出即可．解答（1）证明：连接，，∠A∵是四边形，∥AB，∴∠A，∠ODA∴，在△和△中∴（∴∠OEC=90即⊥DC，∴CD是的；（2解：∵，，∵是四边形，，∴形的积．点评本题考查全等三角形的性和判定，线的判定，平四边形的性质的应用，解此题的关键是推出△eq\o\ac(△,≌)．天）如图，点为上一点，点在径的延长线上，且∠∠CBD．（1判断直线的置关系，并说明由．（2过点B作的线交线点EAC=2，O的半径是，求BE的．第10页（共33页）

考点：线判定与性质．专题几何图形问题．分析（1）连接，据圆周角定求出∠，求出∠，根据线的判定推出即可；（2根据勾股定求出，根据线长定求出，据勾股定得出方程，求出方程的解即可．解答解）线和的置关系是相由是：连接，∵AB是的径，∴，∴，∵∠CBD∴∠CDA=90，，∴，即，∴是的，即直线和的置关系是相；（2∵AC=2，O的径是3，，在Rt中由勾股定得：，于，于，，，设DE=EB=x，在Rt中由勾股定得：CE+BC，则（4+x）=x（5+3），解得：，即．第11页（共33页）

点评本题考查线的性质和判定勾股定，线长定，圆周角定，等腰三角形的性质和判定的应用，题目比较典型，综合性比较强，难适中．德）如图，已知的半径为是的径，过点作是的中点，交于，四边形是四边形．（1求的长；（2是的吗？是，给出证明；是，说明由．

的线

考点：线判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平四边形的性质．专题计算题．分析（1接由为圆的径直径所对的圆周角为直角得到∠为直角，由为四边形，得到与平且BC=OE=1，在直角三角形中为的中点，用斜边上的中等于斜边的一半求出长即可；（2连接，与平，，到边形为四边形，由为的线，用线的性质得到垂于可出四边形为形用矩形的性质得到垂于BC即可得出为圆的．解答解）接，∵DE是径∴，∵为四边形，∥OE，在Rt中，为的点，AD=1则；（2是，由如下：如图，连接．∥OD，∴为四边形，为线，∴OD⊥AD第12页（共33页）

∴为形，∴OB，则为圆的．点评此题考查线的判定与性质直三角形斜边上的中线性质，以及平四边形的判定与性质，熟练掌握线的判定与性质是解本题的关键．菏泽）如，是的径上点，过点作延长线于点，的点，的延长线与的长线交点．（1求证AP是的；（2，AB=6，求的．

的线，交

BA的考点：线判定与性质；解直角三角形．分析（1）连接，（如图证是的，只需证明⊥AP即；（2用（1中线的性质在eq\o\ac(△,Rt)中边角关系求得∠然后在Rt△BAC、Rt用余弦三角函数的定义知解答（1）证明：连接，（图是的径，∴∵E是的点，．．，∴∠OCA∵CD是的，∴CD．．∴．∴OA．∵A是上一点，∴AP是的；第13页（共33页）

AC=2

，．

（2解：由（）知⊥AP．在Rt中∵，，，∴sinP=

=，∴∠P=30．∴．，∴．在Rt中∵，，∠ACO=60，

，又∵Rt中∠CAD=90∠ACD=90∠ACO=30，

==4点评本题考查线的判定与性质解直角三角形．注意，线的定义的运用，解题的关键是熟记特殊角的锐角三角函数值．聊）如图，是

的直径是

线，是直于的弦，垂足为，过点作的平线与AF交于点，（1四边形FADC是形；（2是的线．

，BE=2．求证：考点：线判定与性质；形的判定．专题压轴题．分析（1）首先连接，由垂径定，可求得的，又由勾股定，可求得半径的长然由勾股定求得的长即可得证得四边形FADC是四边形，继而证得四边形是；第14页（共33页）

（2首先连接，得△eq\o\ac(△,≌)，继而可证得是解答证明）接，∵AB是的径，⊥AB，

的线．

=2

，设，∴OE=x，在Rt△OCE中，∴x=（x﹣）+（2解得：，OE=2，

），在Rt中，AD=∵AF是线∴AF，∵CD⊥AB∴AF∥AD，∴是四边形，∴形是；（2连接，AC，∵是，∴FA=FC∴，，∴∠OCA∴∠FAC+∠FCA+∠OCA即∠∠OAF=90即⊥FC，∵在上是的．

，第15页（共33页）

点评此题考查线的判定与性质形的判定与性质、垂径定、勾股定以及全等三角形的判定与性质．此题难适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．京已知：如图，是的径作的线，交的长线于点，连接．（1求证BE与相

上一点，⊥BC于，过点（2连接并长交于，

，sin，BF的．考点：线判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．专题几何综合题．分析（1）连接，证明△△OBE得出⊥OB，从而可证得结论．（2过点作⊥AB，据sin，可求出，，HB=5，然后由eq\o\ac(△,∽)△AFB，用相似三角的性质得出比式即可解出解答证明）接，

BF的．第16页（共33页）

，∴，在△和△中∵

，∴，∴，即⊥BE∵是半，∴BE与相（2过点作⊥AB，接并长交于F，∵，∠DHO=∠BDO=90，∴△OBD∴

=又∵sin，OB=9，，得∠∠ODH∴sin，，

=，

=2

，又∵，∴

=

，

=

，第17页（共33页）

∴FB=

．点评此题考查线的判定与性质相三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握线的判定定，在第二问的求解中，一定要注意相似三角形的性质的运用．济）如图，AB是的径是弦，⊥AC于，过点A，与的延长线交于点，接、BC．（1猜想：线段与有数和位置关系，并证明你的结论．（2求证是的．

的线考点：线判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定；圆周角定．分析（1根垂径定可以得到是的点则是△ABC的位线根三角形的中位线定可以得到

∥BC，；（2连接，与交于点E，可以证得△eq\o\ac(△,≌)，全等三角形的对应角相等，以及线的性质定可以得到：∠OCP=90，即，即可等证．解答：（1猜想：∥BC．证明：∵OD⊥AC，∵AB是的径，分是的中位线，∥BC（2证明：连接，与经圆心，

交于点E．∴

，即∠COE在△和△中，，∴，∴第18页（共33页）

∵PA是的，∴．∴∠OCP=90即是的．点评本题考查线的性质定以及定定，三角形的中位线定，题常用的思是根据线的判定定转化成证明垂直的问题．

证明圆的线的问德）如图，已知点是为直径的上一点，⊥AB于点，点作的线交直线AC于点为的点连接AE延长交于F直CF交的延长线于．（1求证：AEFD=AFEC；（2求证；（3，的径r的．考点：线判定与性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；勾股定；圆周角定；相似三角形的判定与性质．专题证明题；几何综合题；压题．分析（1）由是的得出∠，推出∥BD，eq\o\ac(△,证)eq\o\ac(△,∽)，出比式即可；（2连接，，△，eq\o\ac(△,∽)，推出BF=DF根据直角三角形斜边上中线性质得出可；（3求出，出∠∠FAG，推出AF=FG求出，出∠∠CAB推是

线，由割线定得出（

2+FG，Rt中由勾股定得出

﹣，出﹣﹣，求出即．解答（1）证明：是∴，

的线，第19页（共33页）

∵CH⊥AB∴CH∥BD∴△AFD∴

=

，．（2证明：连接，，∵CH∥BD∴△AFDeq\o\ac(△,E)eq\o\ac(△,∽)，∴∴

==

，=

=，

，（E中∴BF=DF∵AB为的径，∴∠DCB=90∵BF=DF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即．（3解：（已证EF=BF=2，∴EF=FC∴，∵∠AHE=∠CHG=90∴，，∵，∴∠G=，∴AF=FG，∵FB⊥AG，∴，∵BF于，∴∠FBC=，，CF=BF∴，，∴∠CAB∵，∴∠ACO+∠BCO=90，∴即，是线是割AB=BG已证第20页（共33页）

FB=FE=2，∴定得：（2+FG），在，由勾股定得：=FG﹣BF，﹣﹣，解得：，﹣2（舍去由勾股定得：

=4

，∴O

的半径是2

．点评本题考查线的性质和判定相似三角形的性质和判定腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定，勾股定等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难．10黔州）已知：如图，点∠BCD=∠A（1求证为的；

在为径的

上，点在的长上，（2过点作⊥AB于．

CE=2cosD=，的长．考点：线判定与性质；圆周角定；解直角三角形．分析（1接AB是直∠，再根∠∠A最后根据∠∠A证出⊥CD，即可得出为的；（2根据⊥CD得出∠∠D=90，再根据⊥AB，出∠，而得出cos再△中据余弦定得出可得出的长．

的最根据

的半径为即第21页（共33页）

解答证明）接，∵AB是直∴∠1+∠OCB=90，，∴∠A∵∠A∴∠OCB=90．即∠．⊥CD．又∵OC是半，∴CD为的．（2⊥CD于，∴．⊥AB于E∴∠3+．∴．∴cos，在△中，∴cos

，，，∴

=，，，∴O

的半径为．

==

，AD=

．点评本题考查线的判定与性质要证某线是圆的线，已知此线过圆上某点，连接圆第22页（共33页）

心与这点（即为半径证垂即可，同时考查三角函数的知识．11广）如图，在△中∠ABC=∠ACB，以为径的点、，点在的延长线上，且∠∠BCP．（1求证：直线CP是的．

分别交、于（2BC=2

，sin∠BCP=

，求点B到的距离．（3在第）的条件下，eq\o\ac(△,求)的长．考点：线判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．专题几何综合题；压轴题．分析（）根据∠∠ACB且∠，在△中∠∠BCA=180，到∠BCP+2∠BCA=180从而得到∠∠BCA=90，证得直线是的．（2作于，得到∥PC，从而用

sin∠BCP=sin∠DBC==

，求得，根据勾股定求得点B到的离为4（3）先求出的，然后用∥PC的线段关系求得的，再由勾股定求出的长，从而求eq\o\ac(△,得)的周长．解答解）∵且∠∠BCP在△中∠ABC+∠BCA=180∴2，∴∠BCA=90，又点在直径上，∴是的．（2如右图，作于，∥PC∴∠DBC∵BC=2

，sin∠BCP=

，∴sin∠BCP=sin∠DBC=解得：，∴定得：BD=4，

==

，第23页（共33页）

∴到的距离为4．（3如右图，连接，为径，∴，∴Rt△ACN中=5，又，﹣CD=5﹣2=3．∥CP，∴，．在Rt中，AP=

=

，

=20，∴△ACP的长为20点评本题考查线的判定与性质知识，考查的知识点比较多，难较大．12冈）如图，在△作，足为点．（1求证为的；（2求证．

中BA=BC以AB为径作半圆，

于，过点第24页（共33页）

考点：线判定与性质；圆周角定；相似三角形的判定与性质．专题证明题．分析（1）连接、，据圆周角定可得∠，而得出点出是三角形ABC的位线中位线的性质得出∠，（2根据题意可判断△△BDC，从而可得=BCBE，将出结论．解答证明）接、BD，则∠圆周角定），，三线合一又∵，是的中位线，∥BC，∵，∴，，故可得为的；（2∵∠EBD=∠DBC，∠DEB=，∴，

是中，判断这样可判断出结论．替换成AB可得∴

=

，又∵，∴

=

，故．点评此题考查线的判定及性质三形的中位线的判定与性质等腰三角形的性质解答本题的关键是得出点是中，求出∠是角，有一定难．13芜）如图，已知直线交于、B两点，是上一点，且平分∠，过作丄，足为．（1求证为的；（2的径为，求的．

的直径，点为第25页（共33页）

考点：线判定与性质；勾股定；矩形的判定与性质；垂径定．专题几何综合题．分析（1）连接，据题意可证得∠DCA=90再根据角平分线的性质，得，的线；（2过作⊥AB，∠，四边形为形，设AD=x，在Rt中由勾股定得（﹣x）+（﹣x），从而求得x的，由勾股定得出的长．解答（1）证明：连接，，∴平∠，∴，∴，∴PB∥OC，∵CD⊥PA∴CD，为半，∴CD为的；（2解：过作⊥AB，足为，∠OFD=90，∴为形，．∵，设AD=x，则﹣，∵O的径为10，∴AF=5﹣x，在Rt中由勾股定得即（﹣x）（﹣x），化简得x﹣11x+18=0，

AF．第26页（共33页）

解得x，x．∵CD=6﹣x大，x=9舍，∴x=2从而AD=2AF=5﹣，⊥AB，垂径定知，为AB的中点，．点评本题考查线的判定和性质勾股定、矩形的判定和性质以及垂径定，是基础知识要熟练掌握．14凉州）如图，已知△，以

为径为心的半圆交AC于，E为

的中点，连接交于点，为△的平分线，且⊥BE垂足为点．（1求证AB是圆的；（2AB=3BC=4求BE的．考点：线判定与性质；勾股定；圆周角定；相似三角形的判定与性质．专题几何综合题；压轴题．分析（1）连接，为的平分线，得∠，又⊥BE，证∠，对顶角相等得∠，∠，

的中点，得∠，为径得∠E=90即∠，由∥CE可∠，而有∠∠7=90证明结论；（2在Rt中由勾定可求AC=5由∠得AM=AB=3则﹣AM=2，1证△△BCE相比可得

Rt△BCE中据，得（

）=4，求．解答（1）证明：连接，⊥BE于，∠1=∠2第27页（共33页）

∴∠4（1分∵∠5，∴∠5=∠3分又∵为

的中点，∴

=

，∴∠7分是径，∴∠E=90，∴∠5+，又∵，∥CE，∴∠6=∠1∴∠7=90又∵是直径，∴AB是圆的；（分）（2解：BC=4，由（）知，∠ABC=90

==5分在中，⊥BM于，平∠，，（分）∵∠7，公共角，∴△BCE，得

===分），在eq\o\ac(△,Rt)中，BE+CE，即（解得BE=

）=4，分）点评本题考查线的判定与性质相似三角形的判定与性质，圆周角定，勾股定的运用．关键是由已知条件推出相等角，构造互余关系的角推出线，用相等角推出第28页（共33页）

相似三角形，由相似比得出边长的关系，由勾股定求解．15乐）如图，为（1求证是的；

上一点，点在径的延长线上，且∠．（2过点B作

的线交

的长线于点，

BC=6，tan，BE的．考点：线判定与性质；圆周角定；相似三角形的判定与性质．专题几何综合题；压轴题．分析（1）连，，据圆周角定得到∠∠1=90而∠，∠1，于是∠；（2根据线的性质得到ED=EB，OE，则∠，到∠OEB=，

eq\o\ac(△,Rt)∽eq\o\ac(△,Rt)，到

===，得，然后在Rt△CBE中，运用勾股定可计算解答（1）证明：连，，如图，∵AB为径，∴，∠，又∵，而∠∠1∴，∴，∠，∴CD是的；（2解：∵EB为的，，OE⊥DB，∠DBE=90，∠DBE=90，∴∠OEB∴．而tan∠CDA=，

BE的．∴tan∠OEB=

=，eq\o\ac(△,∽)eq\o\ac(△,Rt)，∴

==，第29页（共33页）

×6=4在Rt中设，∴）=x+6，解得．即的长为．点评本题考查了切线的判定与质过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．16•如图所示，P是⊙一点PA是⊙的线A