2019版数学（理）培优增分一轮全国经典版培优讲义：第10章 第9讲离散型随机变量的均值 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第9讲离散型随机变量的均值、方差和正态分布板块一知识梳理·自主学习［必备知识]考点1离散型随机变量的均值与方差1．若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2）方差称D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,[）xi－E（X）]2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根eq\r（DX)为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1）E(aX＋b）＝aE(X)＋b.（2)D(aX＋b）＝a2D(X）．（a,b为常数）(3）两点分布与二项分布的均值、方差考点2正态分布1．正态曲线的性质（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3）曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1，σ\r(2π))；(4)曲线与x轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；（6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高"，表示总体的分布越集中；σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散，如图乙所示．2．正态分布的三个常用数据(1)P(μ－σ〈X≤μ＋σ)＝0.6826;（2）P（μ－2σ〈X≤μ＋2σ)＝0.9544；（3)P（μ－3σ<X≤μ＋3σ）＝0.9974.[必会结论]均值与方差的作用均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计,方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估计．［考点自测]1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量,它不确定．（)(2）正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．（)（3)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．（)（4）期望是算术平均数概念的推广,与概率无关．（）答案(1）√(2)√（3）√(4)×2．［2018·九江模拟］已知随机变量X服从正态分布N（5，4)，且P（ξ>k)＝P（ξ〈k－4)，则k的值为(）A．6 B．7C．8 D．9答案B解析∵eq\f（k－4＋k，2)＝5，∴k＝7.故选B.3．马老师从课本上抄录的一个随机变量X的概率分布列如下表：x123P(X＝x）？！？请小牛同学计算X的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？"处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案E（X)＝________.答案2解析令“？”为a，“!”为b,则2a＋b＝1。又E(X）＝a＋2b＋3a＝2（2a＋b)＝2。4．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为eq\f（2，3），则此人得分的数学期望与方差分别为________．答案20，eq\f(200，3）解析记此人三次射击击中目标X次,得分为Y分,则X~Beq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(3,\f（2,3））)，Y＝10X，∴E（Y）＝10E（X）＝10×3×eq\f(2，3)＝20,D（Y)＝100D(X)＝100×3×eq\f(2,3)×eq\f(1，3）＝eq\f(200,3）。5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为X123Pq21－qeq\f（5q，2)－1则q＝________;P(X≤2）＝________.答案eq\f(1,2)eq\f（3,4）解析由分布列的性质得：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（0≤q2≤1，①，0≤1－q≤1，②，0≤\f（5q，2）－1≤1,③,q2＋1－q＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(5q,2）－1)）＝1，④))由①②③，得eq\f(2，5)≤q≤eq\f（4,5）.由④，得q2＋eq\f（3，2)q－1＝0，即eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（q－\f（1,2)))(q＋2)＝0，解得q＝eq\f（1,2）或q＝－2(舍去）．故q＝eq\f（1，2)。由分布列可知X的可能取值只有1,2,3,故P(X≤2）＝P（X＝1）＋P(X＝2)＝q2＋(1－q）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）））2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)）)＝eq\f（3，4).板块二典例探究·考向突破考向离散型随机变量的均值与方差例1[2016·天津高考]某小组共10人,利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4"，求事件A发生的概率;(2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．解(1）由已知，有P（A）＝eq\f(C\o\al（1,3)C\o\al（1,4)＋C\o\al（2，3)，C\o\al（2，10))＝eq\f(1,3）.所以,事件A发生的概率为eq\f（1,3）。(2)随机变量X的所有可能取值为0，1,2.P(X＝0)＝eq\f（C\o\al（2,3）＋C\o\al(2,3）＋C\o\al(2,4）,C\o\al(2,10)）＝eq\f（4,15)，P(X＝1）＝eq\f(C\o\al（1，3）C\o\al（1，3）＋C\o\al(1,3）C\o\al(1,4)，C\o\al（2，10）)＝eq\f(7，15）,P(X＝2）＝eq\f（C\o\al(1，3）C\o\al（1,4)，C\o\al(2，10))＝eq\f（4,15)。所以，随机变量X的分布列为X012Peq\f(4,15)eq\f(7,15）eq\f（4,15)随机变量X的数学期望E（X)＝0×eq\f(4,15)＋1×eq\f（7，15）＋2×eq\f(4,15）＝1。触类旁通求离散型随机变量的均值与方差的方法（1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解;(2）若随机变量X～B(n，p）,则可直接使用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求解．【变式训练1】设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为eq\f（2,3),若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．（1）求他前两发子弹只命中一发的概率；(2)求他所耗用的子弹数X的分布列与期望．解记“第k发子弹命中目标”为事件Ak，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立,且P(Ak)＝eq\f（2,3），P（eq\x\to（Ak))＝eq\f（1,3），k＝1，2，3,4,5。（1)解法一：他前两发子弹只命中一发的概率为P（A1eq\x\to（A2）)＋P（eq\x\to(A1)A2）＝P（A1)P（eq\x\to(A2））＋P（eq\x\to(A1))P(A2）＝eq\f(2，3）×eq\f（1，3)＋eq\f(1，3)×eq\f（2,3)＝eq\f（4，9).解法二：由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率P（1)＝Ceq\o\al（1,2）×eq\f（2,3)×eq\f(1,3）＝eq\f（4,9)。(2）X的所有可能值为2，3,4,5.则P(X＝2）＝P(A1A2)＋P(eq\x\to（A1）eq\x\to(A2））＝eq\f(2，3）×eq\f(2，3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1，3）＝eq\f(5,9)；P（X＝3)＝P（A1eq\x\to(A2）eq\x\to（A3)）＋P（eq\x\to(A1）A2A3）＝eq\f(2，3）×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,3）））2＋eq\f(1，3）×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2,3）))2＝eq\f(2,9)；P(X＝4）＝P(A1eq\x\to(A2）A3A4)＋P(eq\x\to(A1)A2eq\x\to（A3）eq\x\to(A4）)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2，3)))3×eq\f（1,3）＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，3）））3×eq\f(2，3）＝eq\f(10，81）;P(X＝5）＝P(A1eq\x\to(A2）A3eq\x\to（A4))＋P(eq\x\to（A1）A2eq\x\to(A3)A4）＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2，3）))2×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，3）))2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,3))）2×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2,3)))2＝eq\f（8,81)。综上知,X的分布列为X2345Peq\f(5,9）eq\f（2，9）eq\f(10,81）eq\f（8,81)从而有E(X）＝2×eq\f（5，9)＋3×eq\f（2,9)＋4×eq\f(10，81）＋5×eq\f（8,81)＝eq\f(224，81)。考向均值与方差的实际应用例2［2017·北京高考]为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图,其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．（1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ）；(3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）解(1）由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为eq\f（15,50)＝0。3.（2)由题图可知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1。7的有2人：A和C.所以ξ的所有可能取值为0，1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al（2，2)，C\o\al(2，4))＝eq\f(1，6），P（ξ＝1)＝eq\f（C\o\al（1,2）C\o\al(1，2)，C\o\al（2,4））＝eq\f(2，3），P(ξ＝2)＝eq\f（C\o\al(2,2)，C\o\al(2,4)）＝eq\f（1,6).所以ξ的分布列为ξ012Peq\f(1,6）eq\f（2,3)eq\f（1，6)故ξ的期望E(ξ)＝0×eq\f(1，6)＋1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(1，6）＝1。(3）在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．触类旁通均值与方差的实际应用（1)D（X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X）越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用eq\r(DX）来描述X的分散程度．（2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同,再用方差来决定．【变式训练2】［2018·福建模拟］为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元,求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解（1）设顾客所获的奖励额为X.①依题意,得P(X＝60)＝eq\f(C\o\al（1，1）C\o\al(1,3)，C\o\al（2,4）)＝eq\f（1,2)，即顾客所获的奖励额为60元的概率为eq\f(1，2)。②依题意，得X的所有可能取值为20,60。P(X＝60)＝eq\f(1,2)，P（X＝20）＝eq\f(C\o\al（2,3),C\o\al（2,4））＝eq\f(1，2），即X的分布列为X2060Peq\f(1,2）eq\f（1,2)所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×eq\f(1，2)＋60×eq\f（1，2）＝40（元)．(2）根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元．所以,先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10,10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元；如果选择（50,50,50,10）的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10,10，50，50），记为方案1。对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除（20,20,20,40）和(40,40,40，20)的方案,所以可能的方案是(20,20，40，40）,记为方案2。以下是对两个方案的分析:对于方案1，即方案(10，10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100Peq\f（1,6）eq\f（2，3)eq\f(1,6）X1的期望为E（X1)＝20×eq\f（1,6）＋60×eq\f（2，3)＋100×eq\f(1,6)＝60，X1的方差为D(X1)＝（20－60)2×eq\f(1，6）＋（60－60)2×eq\f(2,3)＋（100－60）2×eq\f（1,6）＝eq\f（1600,3).对于方案2,即方案(20，20，40，40），设顾客所获的奖励额为X2,则X2的分布列为X2406080Peq\f（1，6）eq\f（2，3）eq\f（1,6）X2的期望为E(X2）＝40×eq\f（1,6)＋60×eq\f（2，3)＋80×eq\f（1，6）＝60,X2的方差为D（X2）＝（40－60）2×eq\f(1,6）＋(60－60)2×eq\f（2，3)＋(80－60）2×eq\f(1，6)＝eq\f(400,3).由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.考向正态分布例3(1）[2018·广东佛山模拟］已知随机变量X服从正态分布N(3，1），且P（2≤ξ≤4）＝0.6826，则P（ξ〉4)＝（)A．0。1588 B．0.1587C．0.1586 D．0。1585答案B解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P(ξ〉4)＝eq\f（1－P2≤ξ≤4,2）＝0.5－eq\f（1，2）×0.6826＝0.1587。故选B。（2）［2015·山东高考］已知某批零件的长度误差(单位：毫米）服从正态分布N(0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6)内的概率为（）(附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ〈ξ<μ＋σ)＝68。26％，P（μ－2σ〈ξ〈μ＋2σ）＝95。44%。）A．4。56% B．13.59%C．27。18% D．31.74%答案B解析由正态分布N(0,32），可知ξ落在（3，6)内的概率为eq\f（Pμ－2σ<ξ<μ＋2σ－Pμ－σ〈ξ〈μ＋σ，2）＝eq\f(95.44%－68。26%,2）＝13。59%。触类旁通关于正态总体在某个区间内取值的概率求法（1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P（μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值；（2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1。①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；②P(X〈a)＝1－P（X≥a),P(X〈μ－a）＝P(X≥μ＋a）．【变式训练3】(1)若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P（ξ<－1。96）＝0。025，则P(|ξ｜〈1。96）＝(）A．0.025 B．0.050C．0。950 D．0。975答案C解析由随机变量ξ服从正态分布N（0,1），得P(ξ〈1。96)＝1－P（ξ≤－1.96），所以P(｜ξ|<1.96)＝P（－1.96<ξ〈1。96)＝P（ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96）＝1－2P（ξ≤－1。96）＝1－2P（ξ〈－1.96)＝1－2×0。025＝0。950.(2）［2018·河南安阳专项训练]已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116，64），则成绩在140分以上的考生所占的百分比为()A．0。3% B．0。23％C．1.5% D．0。15％答案D解析依题意，得μ＝116,σ＝8,所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140。而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ）内取值的概率约为0.997,所以成绩在区间（92，140)内的考生所占的百分比约为99。7％.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为eq\f（1－99。7%,2)＝0.15%.故选D.核心规律均值、方差和正态分布问题的求解方法（1）①若X服从两点分布，则E(X)＝p,D(X)＝p（1－p);②X～B（n,p），则E（X)＝np,D（X）＝np(1－p）；③若X服从超几何分布，则E(X）＝neq\f（M,N）.（2）正态总体在某个区间内取值的概率的求法：一要熟记P（μ－σ<X≤μ＋σ),P（μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P（μ－3σ〈X≤μ＋3σ）的值，二要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1。满分策略均值、方差和正态分布问题求解中注意的事项(1)在记忆D(aX＋b)＝a2D（X)时要注意:D（aX＋b)≠aD(X）＋b，D(aX＋b)≠aD（X）．(2）求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布,如果服从X～B(n,p），那么用公式E(X）＝np，D(X）＝np（1－p)求解，可大大减少计算量．（3)在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ（μ≠0），而不是x＝0。板块三启智培优·破译高考创新交汇系列10——高考中频出的“冷点”—正态分布[2018·陕西模拟］从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1）求这500件产品质量指标值的样本平均数eq\x\to（x)和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数eq\x\to（x)，σ2近似为样本方差s2。①利用该正态分布，求P（187.8〈Z〈212。2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187。8，212.2）的产品件数．利用①的结果,求E(X）．附：eq\r（150)≈12。2。若Z~N(μ，σ2),则P（μ－σ〈Z〈μ＋σ）＝0.6826,P（μ－2σ〈Z<μ＋2σ）＝0。9544.解题视点(1）利用频率分布直方图计算平均数及方差．（2)①利用样本估计总体进行概率计算;②利用二项分布的期望公式代入求解即可．解（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数eq\x\to(x)和样本方差s2分别为eq\x\to(x)＝170×0。02＋180×0。09＋190×0.22＋200×0。33＋210×0。24＋220×0.08＋230×0。02＝200，s2＝（－30)2×0。02＋(－20)2×0。09＋（－10)2×0.22＋0×0。33＋102×0。24＋202×0.08＋302×0.02＝150.（2）①由(1）知，Z~N（200,150）,从而P(187。8〈Z〈212.2）＝P（200－12.2<Z〈200＋12。2）＝0.6826.②由①，知一件产品的质量指标值位于区间（187。8，212.2)的概率为0.6826，依题意知X~B(100，0。6826），所以E（X)＝100×0.6826＝68.26。答题启示本题考查正态分布、概率统计问题的综合,是在知识网络的交汇处命制的一道较为新颖的试题。正态分布与统计案例有些知识点是所谓的高考“冷点”，由于考生对这些“冷点”的内容重视不够,复习不全面，一旦这些“冷点"知识出了考题，虽然简单但也做错，甚至根本不会做,因而错误率相当高.此题告诉我们必须全面掌握每一个知识点。跟踪训练［2017·全国卷Ⅰ]为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸（单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；(2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969。9610.019。929.9810.0410.269。9110.1310。029.2210。0410。059。95经计算得eq\x\to(x)＝eq\f(1，16）eq\i\su(i＝1,16,x）i＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16，)xi－\x\to（x）2）＝eq\r（\f（1,16)\i\su（i＝1，16,x)\o\al（2,i)－16\x\to(x)2)≈0。212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.用样本平均数eq\x\to(x）作为μ的估计值eq\o(μ,\s\up16（^)），用样本标准差s作为σ的估计值eq\o(σ,\s\up16(^)），利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（eq\o（μ，\s\up16(^））－3eq\o(σ，\s\up16(^))，eq\o(μ,\s\up16(^)）＋3eq\o（σ，\s\up16(^）））之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0。01）．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ－3σ〈Z<μ＋3σ)＝0.9974，0。997416≈0.9592，eq\r(0。008）≈0.09。解(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ）之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X～B(16，0.0026）．因此P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－0.997416≈0.0408.X的数学期望E(X）＝16×0。0026＝0。0416。(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由eq\x\to(x)＝9。97，s≈0.212，得μ的估计值为eq\o(μ,\s\up16(^）)＝9.97，σ的估计值为eq\o（σ，\s\up16（^））＝0。212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(eq\o（μ,\s\up16(^）)－3eq\o(σ,\s\up16（^))，eq\o（μ，\s\up16(^））＋3eq\o（σ，\s\up16(^）））之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（eq\o（μ，\s\up16（^））－3eq\o（σ，\s\up16(^)），eq\o(μ，\s\up16（^）)＋3eq\o(σ，\s\up16（^）))之外的数据9。22，剩下数据的平均数为eq\f(1,15）×(16×9.97－9。22）＝10.02.因此μ的估计值为10.02.eq\i\su（i＝1，16,x)eq\o\al（2,i)＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除（eq\o（μ,\s\up16（^））－3eq\o(σ,\s\up16（^）)，eq\o（μ,\s\up16(^））＋3eq\o(σ,\s\up16(^）））之外的数据9。22，剩下数据的样本方差为eq\f(1，15)×（1591。134－9。222－15×10.022)≈0.008,因此σ的估计值为eq\r（0.008)≈0。09。板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0。6,现有4发子弹，则命中后尚余子弹数目的均值为（)A．2.44 B．3.376C．2。376 D．2.4答案C解析X＝k表示第（4－k)次命中目标，P（X＝3)＝0。6，P(X＝2)＝0.4×0。6，P(X＝1）＝0。42×0.6,P（X＝0）＝0。43×(0。6＋0.4），∴E（X)＝3×0。6＋2×0。4×0.6＋1×0.42×0。6＝2.376.2．[2018·长沙检测］已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P（ξ>2)＝0。15,则P（0≤ξ≤1)＝()A．0.85 B．0.70C．0。35 D．0.15答案C解析P（0≤ξ≤1）＝P(1≤ξ≤2）＝0.5－P（ξ〉2）＝0.35.故选C。3．随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列．若E(X）＝eq\f(1，3),则D(X)的值是（）A。eq\f(4，9） B.eq\f（5，9)C。eq\f（2，3) D。eq\f（9，5）答案B解析a＋b＋c＝1。又∵2b＝a＋c，故b＝eq\f（1，3），a＋c＝eq\f（2，3）。由E（X)＝eq\f(1,3），得eq\f(1，3）＝－a＋c，故a＝eq\f(1,6），c＝eq\f(1，2）。D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－1－\f(1,3））)2×eq\f（1，6）＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0－\f(1，3)))2×eq\f（1,3）＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（1，3)))2×eq\f(1,2）＝eq\f(5,9)。故选B.4．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支,设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为（)A．5 B．5.25C．5。8 D．4。6答案B解析由题意可知，X可以取3，4,5,6，P(X＝3）＝eq\f（1,C\o\al（3，6））＝eq\f（1,20），P（X＝4)＝eq\f（C\o\al(2,3)，C\o\al（3，6))＝eq\f（3,20),P（X＝5）＝eq\f（C\o\al（2,4）,C\o\al(3,6))＝eq\f（3,10），P(X＝6)＝eq\f(C\o\al（2，5）,C\o\al（3,6））＝eq\f（1,2).∴E（X)＝3×eq\f（1，20）＋4×eq\f(3，20)＋5×eq\f（3,10）＋6×eq\f（1，2)，得E（X）＝5。25。5．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17。5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X（kg）服从正态分布N（μ，22)，且正态曲线如图所示．若体重大于58.5kg小于等于62。5kg属于正常情况，则这1000名男生中体重属于正常情况的人数是（)A．997 B．954C．819 D．683答案D解析由题意,可知μ＝60。5，σ＝2，故P(58.5〈X≤62。5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826,从而体重属于正常情况的人数是1000×0。6826≈683。6．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝eq\f（1,3），P（ξ＝μ）＝a，若E（ξ）＝2，则D(ξ）的最小值等于________．答案0解析由eq\f（1,3）＋a＝1，得a＝eq\f（2,3），又E（ξ)＝2，∴eq\f(m，3)＋eq\f(2μ，3）＝2，m＝6－2μD（ξ)＝eq\f（1，3）(m－2)2＋eq\f（2，3）(μ－2）2＝2μ2－8μ＋8＝2（μ－2）2,∴μ＝2时,D(ξ)最小值＝0。7．［2018·南宁模拟]某高校进行自主招生的面试程序如下：共设3道题，每道题答对给10分,答错倒扣5分（每道题都必须答,但相互不影响),设某学生答对每道题的概率为eq\f(2,3),则该学生在面试时得分的期望值为________．答案15解析记学生面试的得分为随机变量η，则η的可能取值为－15，0,15,30,则有P(η＝－15）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，3)))3＝eq\f(1,27),P（η＝0)＝Ceq\o\al(1，3）×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，3)）)2×eq\f（2，3)＝eq\f(6,27)，P（η＝15）＝Ceq\o\al（2，3）×eq\f（1，3）×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2,3))）2＝eq\f(12，27），P(η＝30）＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2，3)))3＝eq\f（8,27)。所以该学生面试得分的数学期望E（η）＝(－15)×eq\f(1,27)＋0×eq\f(6，27)＋15×eq\f(12，27）＋30×eq\f（8，27）＝15。8．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分）服从正态分布N(100，σ2），统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的eq\f(1,3），则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．答案100解析∵数学考试成绩ξ～N（100,σ2)，作出正态分布图象，可以看出，图象关于直线x＝100对称．显然P(80≤ξ≤100)＝P（100≤ξ≤120）＝eq\f（1,3)；∴P(ξ≤80）＝P(ξ≥120）．又∵P（ξ≤80)＋P(ξ≥120）＝1－P（80≤ξ≤100)－P(100≤ξ≤120）＝eq\f(1,3)，∴P(ξ≥120)＝eq\f(1，2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，∴成绩不低于120分的学生约为600×eq\f（1，6)＝100(人）．9．[2018·江西师大附中模拟］已知某校的数学专业开设了A，B，C，D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门．(1）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；(2)若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望．解(1）3名学生选择的选修课所有不同选法有43＝64种；各人互不相同的选法有Aeq\o\al(3，4)种，故互不相同的概率P＝eq\f（A\o\al(3，4），43）＝eq\f(3,8）.（2)选修课A被这3名学生选修的人数X的可能取值为0，1，2,3，P（X＝0)＝eq\f（32，42)＝eq\f(9，16）,P(X＝1）＝eq\f（3,42)＝eq\f（3,16）,P（X＝2）＝eq\f（3，42)＝eq\f（3,16）,P（X＝3)＝eq\f(1,42)＝eq\f(1，16）.所以X的分布列为X0123Peq\f(9,16)eq\f(3,16)eq\f(3，16）eq\f（1，16)数学期望E（X）＝0×eq\f（9,16)＋1×eq\f（3，16）＋2×eq\f(3，16)＋3×eq\f（1,16）＝eq\f(3，4）.10．袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取1个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止．记取球次数为ξ.(1)求ξ的概率分布；(2)求ξ的数学期望及方差．解（1）ξ的所有可能取值为1，2，3，4,5,并且有P(ξ＝1)＝eq\f(1，5)＝0.2，P(ξ＝2)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,4）＝0。2,P(ξ＝3）＝eq\f（4，5）×eq\f(3,4)×eq\f（1,3）＝0。2，P（ξ＝4)＝eq\f(4,5）×eq\f(3，4)×eq\f(2,3)×eq\f（1,2)＝0。2,P(ξ＝5）＝eq\f(4,5）×eq\f(3，4)×eq\f(2,3)×eq\f(1，2)×eq\f(1，1）＝0。2。因此ξ的分布列是ξ12345P0.20。20。20.20.2（2)E(ξ)＝1×0。2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2＝3，D(ξ)＝（1－3)2×0.2＋(2－3）2×0.2＋（3－3）2×0.2＋(4－3）2×0。2＋（5－3）2×0.2＝2。[B级知能提升]1．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X，则E（X）为（)A．1 B．1。5C．2 D．2.5答案B解析X可取0，1,2,3，P(X＝0）＝eq\f（C\o\al（3,6),C\o\al(3，6)×C\o\al（3，6)）＝eq\f（1，20)，P(X＝1)＝eq\f（C\o\al(1,6）×C\o\al(2,5）×C\o\al（2,3)，C\o\al(3，6)×C\o\al（3,6)）＝eq\f（9,20），P(X＝2）＝eq\f（C\o\al(2，6）×C\o\al（1，4）×C\o\al(1,3）,C\o\al(3，6）×C\o\al(3，6))＝eq\f（9，20）,P（X＝3）＝eq\f（C\o\al(3，6),C\o\al（3,6)×C\o\al(3,6)）＝eq\f（1,20)，故E(X）＝0×eq\f（1，20)＋1×eq\f（9，20)＋2×eq\f(9,20）＋3×eq\f（1,20）＝1.5。2．[2018·山东聊城联考］已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间（μ－σ，μ＋σ），(μ－2σ,μ＋2σ)和（μ－3σ，μ＋3σ）内取值的概率分别为68。3％，95。4%和99。7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高（单位：cm）服从正态分布（165,52）,则适合身高在155～175cm范围内的校服大约要定制()A．683套 B．954套C．972套 D．997套答案B解析P（155<ξ<175）＝P（165－5×2〈ξ〈165＋5×2）＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ）＝95。4%。因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B。3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为eq\f(2，3),得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．设X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X＝0)＝eq\f(1，12),则D（X）＝________。答案eq\f(13,18）解析由题意,知eq\f（1，3)×(1－p）2＝eq\f（1,12),即p＝eq\f（1，2），所以P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f(1，2））)2＋eq\f（1,3）×eq\f(1，2）×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（1，2)))＋eq\f（1,3)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1，2））)×eq\f(1,2)＝eq\f（1，3），P（X＝2）＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（1，2)))＋eq\f(2，3)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1，2）))×eq\f（1，2）＋eq\f（1，3)×eq\f（1,2）×eq\f（1,2）＝eq\f(5,12)，P(X＝3)＝eq\f（2,3）×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2))）2＝eq\f（1，6）,所以E(X)＝0×eq\f（1，12）＋1×eq\f(1，3）＋2×eq\f(5，12）＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3），所以D（X)＝eq\f(1，12）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0－\f（5,3)）)2＋eq\f(1，3)×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f（5，3）））2＋eq\f(5，12)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2－\f（5，3))）2＋eq\f（1,6)×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（3－\f(5,3)））2＝eq\f（13,18）。4．[2018·宁夏模拟］某次数学测验共有10道选择题,每道题共有四个选项,且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对,其余4道题无法确定正确选项,但这4道题中有2道题能排除两个错误选项,另2道只能排除一个错误选项,于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答,且各题作答互不影响．（1）求该考生本次测验选择题得50分的概率；(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．解(1)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B,则P（A)＝eq\f(1，2），P(B)＝eq\f（1，3)。该考生选择题得50分的概率为P(A）·P（A）·P(B)·P（B）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）））2×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，3))）2＝eq\f(1,36）。（2)该考生所得分数X＝30,35,40,45，50，P(X＝30）＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）））2×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，3）））2＝eq\f（1，9)，P（X＝35)＝Ceq\o\al(1，2）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)））2·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（2,3）)）2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）)）2·Ceq\o\al（1,2)·eq\f(1，3)×eq\f（2,3）＝eq