泰勒公式课件

泰勒公式课件第一页，共50页。二、几个函数的麦克劳林公式第三节一、泰勒公式三、泰勒公式的应用泰勒(Taylor)公式

第三章第二页，共50页。一、泰勒公式当一个函数f(x)相当复杂时,为了计算它在一点x=x0时，是比高阶的无穷小.附近的函数值或描绘曲线f(x)在一点P(x0,f(x0))附近的形状时,我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式函数近似表示f(x)且当机动目录上页下页返回结束第三页，共50页。首先确定多项式函数的系数假定f(x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到这样,对Pn(x)

求各阶导数,然后分别代入以上等式得即得(n+1)阶的导数，并且要求满足条件：机动目录上页下页返回结束第四页，共50页。把所求得的系数代入得其次证明是较显然,Rn(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶导数，且据此重复使用洛必达法则，可推得高阶无穷小机动目录上页下页返回结束第五页，共50页。时，是比高阶的无穷小.即当Rn(x)于是f(x)可表示机动目录上页下页返回结束第六页，共50页。一、问题的提出机动目录上页下页返回结束第七页，共50页。（如下图）机动目录上页下页返回结束第八页，共50页。不足之处问题:1、精确度不高2、误差不能估计。机动目录上页下页返回结束第九页，共50页。机动目录上页下页返回结束分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交第十页，共50页。机动目录上页下页返回结束第十一页，共50页。三、泰勒(Taylor)中值定理机动目录上页下页返回结束第十二页，共50页。定理:泰勒(Taylor)中值定理有①其中②则对于任一

如果f(x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，机动目录上页下页返回结束第十三页，共50页。特例:当n=0

时,泰勒公式变成拉格朗日中值定理公式①称为f(x)按(x-x0)的幂展开的带有拉格朗日型公式②称为拉格朗日型余项

.余项的n

阶泰勒公式

.机动目录上页下页返回结束第十四页，共50页。拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项机动目录上页下页返回结束第十五页，共50页。注:机动目录上页下页返回结束第十六页，共50页。二、几个函数的麦克劳林公式上述公式称为f(x)的麦克劳林(Maclaurin)公式.因此可令在泰勒公式中取从而泰勒公式变为较简单的形式,即其中机动目录上页下页返回结束第十七页，共50页。故例1:求函数解:因为的n阶麦克劳林展开式.所以机动目录上页下页返回结束第十八页，共50页。其中令n=2m，于是有例2:求函数解:因为的n阶麦克劳林展开式.所以

机动目录上页下页返回结束第十九页，共50页。类似地,可得其中其中机动目录上页下页返回结束第二十页，共50页。其中以上介绍的几个函数的麦克劳林展开式，在应用中经常遇到，应该熟记！机动目录上页下页返回结束第二十一页，共50页。三、泰勒公式的应用1.求较为复杂的函数的麦克劳林展开式或泰勒展开式例3:求解:因为又

的麦克劳林展开式.机动目录上页下页返回结束第二十二页，共50页。机动目录上页下页返回结束第二十三页，共50页。例4:求函数解:因为

处的泰勒展开式.机动目录上页下页返回结束第二十四页，共50页。即机动目录上页下页返回结束第二十五页，共50页。解机动目录上页下页返回结束第二十六页，共50页。2.在近似计算中的应用例5:利用的8阶麦克劳林展开式计算e的近似值,并估计误差.解:取n=8，进行计算得机动目录上页下页返回结束第二十七页，共50页。其误差机动目录上页下页返回结束第二十八页，共50页。五、小结第二十九页，共50页。五、小结第三十页，共50页。五、小结第三十一页，共50页。五、小结第三十二页，共50页。五、小结第三十三页，共50页。第三十四页，共50页。第三十五页，共50页。第三十六页，共50页。第三十七页，共50页。第三十八页，共50页。第三十九页，共50页。第四十页，共5