八年级数学勾股定理经典例题解析

千里之行，始于第2页/共2页精品文档推荐八年级数学勾股定理经典例题解析数学勾股定理是我们学习三角形应用的基础解题学问点，下面是我给大家带来的（（八年级）数学）勾股定理经典例题解析，盼望能够关心到大家!

八年级数学勾股定理经典例题解析

经典例题透析

类型一：勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，C=90

(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c;(3)已知c=25，b=15，求a.

思路点拨:写解的过程中，肯定要先写上在哪个直角三角形中，留意勾股定理的变形使用。

解析：(1)在△ABC中，C=90，a=6，c=10,b=

(2)在△ABC中，C=90，a=40，b=9,c=

(3)在△ABC中，C=90，c=25，b=15,a=

举一反三

【变式】:如图B=ACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?

【答案】∵ACD=90

AD=13,CD=12

AC2=AD2-CD2

=132-122

=25

AC=5

又∵ABC=90且BC=3

由勾股定理可得

AB2=AC2-BC2

=52-32

=16

AB=4

AB的长是4.

类型二：勾股定理的构造应用

2、如图，已知：在中，，，.求：BC的长.

思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有

，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.

解析：作于D，则因，

(的两个锐角互余)

(在中，假如一个锐角等于，

那么它所对的直角边等于斜边的一半).

依据勾股定理，在中，

.

依据勾股定理，在中，

.

.

举一反三【变式1】如图，已知：，，于P.求证：.

解析：连结BM，依据勾股定理，在中，

.

而在中，则依据勾股定理有

.

又∵(已知)，

.

在中，依据勾股定理有

，

.

【变式2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，依据本题给定的角应选后两种，进一步依据本题给定的边选第三种较为简洁。

解析：延长AD、BC交于E。

∵A=60，B=90，E=30。

AE=2AB=8，CE=2CD=4，

BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。

∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，DE==。

S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=ABBE-CDDE=

类型三：勾股定理的实际应用

(一)用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点动身，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。

(1)求A、C两点之间的距离。

(2)确定目的地C在营地A的什么方向。

解析：(1)过B点作BE//AD

DAB=ABE=60

∵30+CBA+ABE=180

CBA=90

即△ABC为直角三角形

由已知可得：BC=500m，AB=

由勾股定理可得：

所以

(2)在Rt△ABC中，

∵BC=500m，AC=1000m

CAB=30

∵DAB=60

DAC=30

即点C在点A的北偏东30的方向

举一反三

【变式】一辆装满货物的卡车，其形状高2.5米，宽1.6米，要开进厂门外形如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CDAB，与地面交于H.

解：OC=1米(大门宽度一半)，

OD=0.8米(卡车宽度一半)

在Rt△OCD中，由勾股定理得：

CD===0.6米，

CH=0.6+2.3=2.9(米)2.5(米).

因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.

(二)用勾股定理求最短问题

4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现方案在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你关心计算一下，哪种架设方案最省电线.

思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论.

解析：设正方形的边长为1，则图(1)、图(2)中的总线路长分别为

AB+BC+CD=3，AB+BC+CD=3

图(3)中，在Rt△ABC中

同理

图(3)中的路线长为

图(4)中，延长EF交BC于H，则FHBC，BH=CH

由FBH=及勾股定理得：

EA=ED=FB=FC=

EF=1-2FH=1-

此图中总线路的长为4EA+EF=

32.8282.732

图(4)的连接线路最短，即图(4)的架设方案最省电线.

举一反三

【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A动身，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.

解：

如图，在Rt△ABC中，BC=底面周长的一半=10cm，依据勾股定理得

(提问：勾股定理)

AC===10.77(cm)(勾股定理).

答：最短路程约为10.77cm.

类型四：利用勾股定理作长为的线段

5、作长为、、的线段。

思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。

作法：如图所示

(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB，使AB为斜边;

(2)以AB为一条直角边，作另始终角边为1的直角。斜边为;

(3)顺次这样做下去，最终做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是

、、、。

举一反三【变式】在数轴上表示的点。

解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，

为了有利于画图让其他两边的长为整数，

而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径，

以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。

类型五：逆命题与勾股定理逆定理

6、写出下列原命题的逆命题并推断是否正确

1.原命题：猫有四只脚.(正确)

2.原命题：对顶角相等(正确)

3.原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.(正确)

4.原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.(正确)

思路点拨：把握原命题与逆命题的关系。

解析：1.逆命题：有四只脚的是猫(不正确)

2.逆命题：相等的角是对顶角(不正确)

3.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(正确)

4.逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.(正确)

（总结）升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做预备。

7、假如ABC的三边分别为a、b、c，且满意a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，推断ABC的外形。

思路点拨：要推断ABC的外形，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。

解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：

a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。

∵(a-3)20,(b-4)20,(c-5)20。

a=3，b=4，c=5。

∵32+42=52,

a2+b2=c2。

由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。

总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来讨论图形的位置关系的,在证明中也常要用到。

举一反三【变式1】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

【答案】：连结AC

∵B=90，AB=3，BC=4

AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)

AC=5

∵AC2+CD2=169，AD2=169

AC2+CD2=AD2

ACD=90(勾股定理逆定理)

【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),推断△ABC是否为直角三角形.

分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:a2+b2=c2即可

证明：

所以△ABC是直角三角形.

【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。

请问FE与DE是否垂直?请说明。

【答案】答：DEEF。

证明：设BF=a，则BE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,

EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;

DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

连接DF(如图)

DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。

DF2=EF2+DE2,

FEDE。

经典例题精析

类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法

1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再依据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。

解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，依据题意得：

(3x)2+(4x)2=202

化简得x2=16;

直角三角形的面积=3x4x=6x2=96

总结升华：直角三角形边的有关计算中，经常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。

举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

【答案】如图，等边△ABC，作ADBC于D

则：BD=BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线相互重合)

∵AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)

BD=1

在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2-BD2=4-1=3

AD=

S△ABC=BCAD=

注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。

【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，依据题意得：

由(1)得：x+y=7，

(x+y)2=49，x2+2xy+y2=49(3)

(3)-(2)，得：xy=12

直角三角形的面积是xy=12=6(cm2)

【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。

解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：

(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2

化简得：n2=4

n=2，但当n=-2时，n+1=-10，n=2

总结升华：留意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的状况下，首先要先确定斜边，直角边。

【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是()

A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40

解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行推断，

对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2-a2=(c-a)(c+a)来推断。

例如：对于选择D，

∵82(40+39)(40-39)，

以8，39，40为边长不能组成直角三角形。

同理可以推断（其它）选项。【答案】：A

【变式5】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

解：连结AC

∵B=90，AB=3，BC=4

AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)

AC=5

∵AC2+CD2=169，AD2=169

AC2+CD2=AD2

ACD=90(勾股定理逆定理)

S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=ABBC+ACCD=36

类型二：勾股定理的应用

2、如图，大路MN和大路PQ在点P处交汇，且QPN=30，点A处有一所中学，AP=160m。假设（拖拉机）行驶时，四周100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在大路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响?请说明理由，假如受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒?

思路点拨：(1)要推断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到大路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必需找到拖拉机行至哪一点开头影响学校，行至哪一点后结束影响学校。

解析：作ABMN，垂足为B。

在RtABP中，∵ABP=90，APB=30，AP=160，

AB=AP=80。(在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半)

∵点A到直线MN的距离小于100m,

这所中学会受到噪声的影响。

如图，假设拖拉机在大路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开头受到影响，那么AC=100(m)，

由勾股定理得：BC2=1002-802=3600,BC=60。

同理，拖拉机行驶到点D处学校开头脱离影响，那么，AD=100(m)，BD=60(m),

CD=120(m)。

拖拉机行驶的速度为:18km/h=5m/s

t=120m5m/s=24s。

答：拖拉机在大路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。

总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的（方法）,若图形缺少直角条件,则可以通过作帮助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m)，却踩伤了花草。

解析：他们原来走的路为3+4=7(m)

设走“捷径”的路长为xm，则

故少走的路长为7-5=2(m)

又由于2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4

【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

(1)直接写出单位正三角形的高与面积。

(2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?平行四边形ABCD的面积是多少?

(3)求出图中线段AC的长(可作帮助线)。

【答案】(1)单位正三角形的高为，面积是。

(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积。

(3)过A作AKBC于点K(如图所示)，则在Rt△ACK中，，

，故

类型三：数学思想方法(一)转化的思想方法

我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，经常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.

3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5.求线段EF的长。

思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，依据直角三角形的特征，三角形的中线有特别的性质，不妨先连接AD.

解：连接AD.

由于BAC=90，AB=AC.又由于AD为△ABC的中线，

所以AD=DC=DB.ADBC.

且BAD=C=45.

由于EDA+ADF=90.又由于CDF+ADF=90.

所以EDA=CDF.所以△AED≌△CFD(ASA).

所以AE=FC=5.

同理：AF=BE=12.

在Rt△AEF中，依据勾股定理得：