教学设计 双曲线的简单几何性质

双曲线的简单几何性质教学目标：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质.2．用双曲线的方程去研究其几何性质，进一步反应了解析几何的特点，并用图像帮助理解双曲线的几何性质，解决一些相关问题.3．通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质，在老师引导下让学生积极讨论、归纳，培养学生的观察、研究能力，增强他们的自信心.教学重点：双曲线的简单几何性质教学难点：渐近线的求法及理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、三角板内容分析：

本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质.它是教学大纲中要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，这里主要是对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质解决相关数学问题.本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别.教学流程：(一)复习引入1.双曲线的定义及其标准方程平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（大于0且小于）的动点的轨迹叫双曲线。即（0<2<）焦点在轴上时：焦点在轴上时：(注：双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置)的关系：（符合勾股定理的结构）,,最大，可以F1F1F2OA1A2B2xMB1以为例⑴范围：⑵对称性：以坐标轴为对称轴，原点为对称中心⑶顶点坐标：长轴：线段长为2，叫做长半轴长短轴：线段长为2，叫做短半轴长⑷离心率：探究：类比椭圆几何性质的研究，你认为应研究双曲线的哪些性质？应如何研究这些性质？（二）新课讲解利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质以焦点坐标在轴上的标准方程为例，1．范围由标准方程可得，即，当时，才有实数值，这说明双曲线在不等式与所表示的区域内；对于的任何值，都有实数值这说明从横的方向来看，直线之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线2.对称性：类比研究椭圆对称性的研究方法，容易得到，双曲线关于轴、轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.2．顶点讲解：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程中，令得，故它与轴有两个交点，且轴为双曲线的对称轴，所以为其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴，它的长是2.在方程中令得，这个方程没有实数根，说明双曲线和轴没有交点。但轴上的两个特殊点，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用把线段叫做双曲线的虚轴，它的长是，要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆顶点：实轴：线段长为2，叫做半实轴长虚轴：线段长为2，叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，这是两者的又一差异4．渐近线过双曲线的两顶点，作轴的平行线，经过作轴的平行线，四条直线围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方程是（或）.从几何画板上观察，当双曲线上的动点随着其横坐标的增大，点到直线的距离不断变小.又因当双曲线在第一象限时，即时，双曲线可转化为，这也意味着双曲线的函数图像永远在的图像的下方.这两方面说明了直线和双曲线在随着的增大而无限靠近，我们把这两条直线称为双曲线的渐近线，这是圆锥曲线中双曲线所特有的几何性质.5.离心率双曲线的实轴长2和焦距2的比值称为离心率，又因，所以探究：类比椭圆的离心率，它的大小反应了椭圆的扁平程度，那么双曲线的离心率又可以客观的反应双曲线的什么几何性质呢？借助几何画板，通过改变或的大小，观察离心率改变的同时双曲线的开口是如何改变的.直观感到，离心率变大，双曲线的开口变大，反之，变小.下从理论角度给出说明.是双曲线的一条渐近线的斜率，当斜率变大，从图形上看，双曲线的开口在变大，反之，开口在变小，这一方法，结合图像，更容易理解离心率和双曲线开口的关系.等轴双曲线即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线结合图形说明：时，双曲线方程变成(或，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角,其离心率等与探究：学完焦点在轴上的双曲线的几何性质，你能用这些性质较准确的画出双曲线的草图吗？请画出焦点在轴上的双曲线的草图，并写出它的几何性质方程为1.范围:yAyA2B1oB2xA13.顶点：实轴：线段长为2，叫做半实轴长虚轴：线段长为2，叫做虚半轴长4.渐进线：方程为5.离心率：（三）例题讲解例1.写出双曲线方程的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程（分析：此方程不是双曲线的标准方程，应先将方程转化成标准形式）解：因为双曲线方程为，所以实轴长为10，虚轴长为14，顶点坐标为（0，-5），（0，5），离心率，渐近线方程为（注意渐近线方程的表达,渐近线方程还可有下求法：以双曲线的焦点在轴上为例，方程，将方程中的1改成0即可求得，因为，即方程）总结归纳：共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成.当时，双曲线的焦点在轴上，当时，双曲线的焦点在轴上.例2.已知双曲线的渐近线方程为，求双曲线的离心率（分析：双曲线的焦点在哪个轴上未告知，还是=不知，应分类讨论）解：若，则，因此离心率为若，则，因此离心率为（或）例3.求以为渐近线，且过点（1,2）的双曲线标准方程方法1（分析：双曲线焦点不确定，可分情况讨论）解：若双曲线的焦点在轴上，设方程为，渐近线方程为，所以令，则方程为，点（1,2）代入方程，得到，舍去若双曲线的焦点在轴上，，设方程为，渐近线方程为，所以令，则方程为，点（1,2）代入方程，得到，因此双曲线的标准方程为方法2：（由共渐近线的双曲线方程可避免讨论）不妨设，点（1,2）代入方程，因此双曲线的标准方程为(四)小结：1.本堂课的主要内容为双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线方程、离心率是双曲线的几何性质，渐近线是双曲线特有的几何性质；2.会求双曲线的相关几何性质，并用渐近线辅助较准确的画出双曲线的草图；3.双曲线的渐近线方程是，双曲线的渐近线方程是，如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就可以设.当时，双曲线的焦点在轴上，当时，双曲线的焦点在轴上.（五