(华东师大版)九年级数学上册：全册同步练习

21.1第1课时二次根式的概念

知识点1二次根式的概念

1.如果正二是二次根式，那么一匚0,则匚0.

2.下列各式中，一定是二次根式的是（）

A."\/35B.般C.yj—2D.

3.下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是？为什么？

小,赤，y[-7>乎（x20）,11一8|,yja—2.

知识点2二次根式有意义的条件

4.如果二次根式：3x—l在实数范围内有意义,那么必须使3*—10,所以当x时，二

次根式，3x—l在实数范围内有意义.

5.如果正271无意义，那么字母x的取值范围是（）

A.B.x>lC.D.x<l

6.求使下列各式有意义的字母x的取值范围.

（1）^/5—2%；⑵」2j+1

12

(4)

⑶7x—l'T+T,

7.当a为任意实数时，下列各式中是二次根式的是（）

®y[a+l；©^—5—2；(a-1)2.

A.①②③B.②③④C.③④⑤D.②③⑤

8.[2017•绵阳]使代数式j缶+在存有意义的整数少有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

9.写出一个只含有字母x的二次根式，使它同时满足以下要求：（1）要使此式有意义，字母x必须取

大于或等于2的实数：（2）此式的值恒为非正数.

这个二次根式可以是

10.[教材练习第2题复式]当x取何值时，下列各式有意义？

（1）■\]3—x+—r^—­；（2）>：+：.

v如一1\x\-4

11.若x,y为实数，且42x—1+qi—2x+y=8,求xy的值.

21.1第2课时二次根式的性质

知识点1二次根式的非负性

1.若口:刁+5+2）2=0,则（x+y）如'=（）

A.-1B.1C.32018D.-32018

2.若I+5-2=0,贝lx''的值为.

知识点2二次根式的性质（F）2=a（a20）

3.计算（标尸的结果是（）

A.225B.15C.+15D.-15

4.把心写成一个正数的平方的形式是（）

⑴听翁（2）（一小丁.

知识点3二次根式的性质板=1a|

6.计算：7（一2）—|=

7.下列计算正确的是（）

A.（南产=25B.（正工）2=3

C、,—3）2=—3D.褥=0

8.计算：

⑴、片;⑵7（—7）2.

9.若4犬-2+43+7=0,则(x+y)20'9的值为()

A.5B.-5C.1D.—1

10.若弋(x—3)2=3—x,则x的取值范围是

11.［教材习题第2题变式］计算:

2

⑴（市）+

⑵y/(a+3)~(a>0).

12.阅读材料，解答问题.

例：若代数式/(2-a)(a—4),的值是常数2,求a的取值范围.

分析：原式=|a-2|+1a-4],因为Ia—21表示数a在数轴上对应的点到数2在数轴上对应的点的距

离，|a—41表示数a在数轴上对应的点到数4在数轴上对应的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析.

024”

图21-1-1

解:原式=|a—21+|a—41.

在数轴上看，应分三种情况讨论：

①当a<2时，原式=2—z+4—a=6—2a；

②当2WaW4时，原式=3-2+4—a=2；

③当a>4时，原式=d—2+a—4=2a—6.

通过分析可得a的取值范围是2WaW4.

(1)此例题的解答过程中用了哪些数学思想?

(2)化简：7(3-a)'+[(a-7)；

1.B则原式=(—1严8=1.

1

2.2

3.B

4.B5.(1)11(2)206.-227.D

3

8.(D-(2)7

9.D10.x<3

99

11.解：⑴原式=3+可=3

oJ

(2)原式=d+3—a=3.

12.解：(1)数形结合思想，分类讨论思想.

(2)原式=式-H+\a—7\.

①当a<3时，原式=3—d+7—a=10—2a；

②当3Wa<7时，原式=&-3+7—a=4；

③当d>7时;原式=a—3+a-7=2a-10.

21.2.1二次根式的乘法

知识点1，元=4•5成立的条件

1.如果等式Nx+l•也一x=#l—七成立,那么有x+1______0,1—x________0,所以x的取值范

围是.’

2.若5=4另成立，则下列说法正确的是()

A.@20,620B.a〉0,b>0

C.aWO,8W0D.水0,Z?<0

知识点2二次根式的乘法法则的应用

3.计算：川*-=、/="

4.下列计算正确的是()

A.木义乖=木B./又乖=限

c.乖x#

5.［教材例1变式］计算：’

(D/x乖；(2)^|xV108;

⑶6乖X（一3木）;⑷#X《X乖.

6.下列运算正确的是()

A.2小义3巾=6#•小a=4a

c.-\l（a）2=aD.mX、倍=|

7.阅读下列解答过程，在括号中填入恰当的内容.

（rJ~~a）2—y[--aXy[—a①

=、(一a)X(—a)②

④

—a.⑤

(1)由上述过程可知a的取值范围为；

(2)上述解答过程有错误的是第步，正确结果为.

8.王老师想设计一个长方形的实验基地，便于学生进行实地考察.为了考查学生的数学应用能力，他

把长方形基地的长设计为8酒米，宽设计为3m米，让学生计算出这块实验基地的面积，你会计算吗？

9.比较前后两个算式计算结果的大小(填或“=”)：

(1)2+12X/X雄；

(2)3+32x/x/；

(3)9+162X，^X标；

通过观察与归纳，写出其中的规律，并说明理由.

教师详答

1.22—1WW1

2.A

3.8；42

4.B5.⑴原式=如否=标.

(2)原式义108=4^=6.

(3)原式=6X(—3)义正方=-18X4=-72.

(4)原式=\^6*[义8=，^=6.

6.D

7.(l)a^O(2)⑤—a

8.解：80亚><3m=(80X3)xd20><45=240X啊6=7200(米2).

9.解：(1)>(2)=(3)>

规律：a+b^2620).

理由：b=(r\[^)2(a>0,b20),

.\a+b—2•y/b=(4x/a)2—2y[2•y[b+(\[1))2=

，a+622y[a•/(a20,620).

21.2.2积的算术平方根

知识点1y[ab=y[a•、/成立的条件

1.若等式7式—64=G两•而两成立,则有20,20,所以a的取值范围是

2.若7-ab=/a•成立,则()

A.320,620B.a20,6W0

C.aWO,be0D.ab^O

知识点2积的算术平方根的应用

3.1lOOX:r__x7____=______X_____

4.二次根式其(-2)2X6的计算结果是()

A.2#B.-24C.6D.12

5.‘算：__________________

(1)430X6；(2)-\J(-100)X(-4)；

⑶、项X同;⑷N(—5)”(—7)；

6.［教材例2变式］化简：

⑴—于⑵

7.有下列各式："舶②*9；刨(-3)夕(—5)={3X/M；@78

=2隹；®/(一⑤■(-5)2=15；⑥^32+42=7.其中正确的有()

A.2个B.3个C.4个I).5个

8.若一个长方体的长为2#cm,宽为小cm,高为也cm,则它的体积为cm'.

9.若4赤是整数，则正整数〃的最小值为.

10.已知a=4,6=m，用只含a,人的代数式表示，丽，这个代数式是________.

11.计.下列各式:

(1)2y/4al)c(a>0,力0)；(2){7不善.

12.已知m=X(-2弧)，则有()

A.5.0</z?<5.1B.5.l</z?<5.2

C.5.2V%V5.3D.5.3</77<5.4

13.［阅读思考］阅读探究：［4X9X16=24,^4X^9X^16=24；

^0.04X0.25X0.09X0.36=0.018,、O04X、0.25Xyjo.09X、0.36=0.018.

(1)根据上述具体数据，请你猜想：当a20,40,c20时，Ja•b•c与••木•代的关系是什么?

(2)根据以上式子，请你猜想：当a20,c20,…，Q0时，yja・b：c....阿以转化为什么?

教师详答

1.a+8a—8

2.B

1

O5

2-

4.A

5.解：（1）原式=夜市"彘=4X，^=6A/5.

(2)原式=.100X4=^155X5=10X2=20.

99

130,

（4）原式=、25义49=推义亚=5><7=35.

6.解：⑴一褥=一而近=一5小

(2)=yja•a=y[a]•«=“‘«・

7.B

8.12

9.510.ab11.解：⑴原式=2X2加7丘=里叵.

⑵原式(1+,斤)=1•Mi+才匕=才、ji+W6.

⑵c[

13.解：(l)-\/c?•b•c=y[a•y[b•y[c.

⑵当a20,620,c20,00时，y]a9b9c....f=y[^•y[b•....y[f.

21.2.3二次根式的除法

知识点I也一

［成立的条件

l.若成立，则有x0,A-+10,所以X的取值范围是

2.等式成立的条件是（）

A.a,b异号B.a>0,6>0

C.a20,620D.a>0,8W0

知识点2二次根式的除法

⑶⑷黑

知识点3商的算术平方根

2^()

5.计算:

9一7一)

3+x山成立，则x的取值范围是（）

6.若

3-

A.一3«3B.xV3

C.x>—3D.一3〈后3

7.化简：

9

⑴16'⑵

-11

⑶4(4)

知识点4最简二次根式

8.［2017•贵港］下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.一电B.A/12C.D.夜

9.下列二次根式中，不是最简二次根式的有..个.

焉；④\/2/+1.

10.化简：

(1

R

⑶击⑷4

11.如果aA>0,a+i<0,那么下面各式：。

正确的是（）

A.①②B.②③

C.①③D.@@③

12.若"一和「3'1"+2都是最简二次根式,则〃=

13.［教材习题21.2第2题变式］计算：

⑵道，fix事'

号飞后,他认为该公式逆过来

14.王聪学习了二次根式的除法公式也应该成立，于是这

7—27、（一3）X9吏+也

样化简了下面这道题:.你认为他的化简过程对吗？

一尸一尸、一3

若不对,请说明理由，并改正.

15.请先化简岳二任，再选取两个你喜欢的数代入化简后的式子中分别求值.

16.观察下面的式子:

(D类比上述式子，再写出几个同类型的式子(至少写3个)；

(2)请你将发现的规律用含自然数的等式表示出来，并给出证明.

教师详答

1.2>在0

2.D

3.483164

4.⑴乖(2)2⑶也(4)|y[b5.29号

乙O

6.A

~9^93

7.解:(1)16=716=4-

3=巫=立

⑵25一4一5,

49^497

⑶厂厂3。

-11[Tl_y[u_y[u

(4)J36一a-6-

8.A9.3

in小]S巾

10.解：⑴币=木义3=7-

4X3273

⑵3义3=3'

5yio5yioyib

⑶102,

(3X24764^6小

(4)4\诟=9=4=#.

=一曲恶义芈

__2而旦X小

-22诉X&

=-2y[6Xy[10X^=丽615

4=一万

14.解：不对.

—27

理由：因为逢有意义,中的二次根式无意义.

改正:

15.解：由题意得x>l,

所以原式=与^•山（*一1）

7(X-1)XX-1

yl^=y[x.

X—1X—1

代入求值答案不唯一，如：当x=4时，原式=2.

当x=9时，原式=3.

21.3二次根式的加减

知识点1同类二次根式

1.下面与位是同类二次根式的是（）

A.mB.V12C.mD.720

2.[2016•巴中改编]下列二次根式中，能与福合并的是（）

A.标C.^24D.^/OTS

3.下列二次根式中，属于同类二次根式的是（）

D.与乖^

4.已知最简二次根式，五两与#7国是同类二次根式，求a的值.

知识点2二次根式的加减

5.计算：4+斓=__+/=（__+__）小=_

6.计算/一6郊的结果是.

7.计算仆J1+3\^一4的结果是.

8.计算：'

（1）l（h/48-6-727+3^12；

⑶4出+季一木+矩

知识点3二次根式的混合运算

9.计算：（3+啦）（3—由）=

10.［教材练习第2题变式］计算：

⑴（4+2）2；⑵屹乖一血了.

11.下列各数中，与2—十的积为有理数的是（）

A.B.2—

C.-2+/D.73

12.若a,6为有理数，且皿+标+\—=a+M，则皿的值为（）

3c13八13_

AqB.C.yD.2

13.已知a—b—2—1,ab—yfi,则（a+l）（6—1）的值为.

14.若等腰三角形的两边长分别为24和5脱,则这个等腰三角形的周长是

15.若a,6分别是6—仃的整数部分和小数部分，则2a的值是一

16.计算：

⑴好门；

(2)(3^2+44)(4/一3小);

(3)(10^48-6724+4712).乖;

⑷(小一君)-(-2V10).

17.对于任意不相等的两个实数a,b,定义运算“※”如下：四8=套，例如：3X2=

=在

3-2

求4X1+8X12的值.

18.若a=3—求代数式a—&a-2的值.

19.如图21—3—1,有一张边长为6镜cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底

无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为蛆cm.求：

(1)剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；

(2)长方体盒子的体积.

图21-3-1

2__

20.已知4片+/—4x—6y+10=0,求（可不/^+的值.

<5

1.c

2.B

3.C

4.解:由已知可得3a—8=17—24解得a=5.

5.3小314y/3

6.—\f2

7.2+4-272

8.解：(1)原式=10X44-6义3/+3*24=(40—18+6)4=28

(2)原式=号一2#十小=一尊.

JO

(3)原式=44+3#—272+4/=74+2小.

9.7

10.解：⑴原式=5+44+4=9+4乖.

(2)原式=12—44+2=14—4部.

11.A12.C

13.一414.1072+2小

15.^13

16.解：⑴原式=仁年由一、•12=3-2=1.

yJ53

(2)原式=3yf2X4/一3/X3小+4小义4^2-4小义3地=24—9#+16m-36=7#

—12.

(3)原式=1°*―6%严:]。m—6#+4*=20地一12+4啦=24*—12.

\6\6''1

5.25

(4)原式=5—2y[5X卜2限=5—5啦+|+2yfl0=~5啦+2y[lb.

V1010

17.解一4※匚厚=坐，8※12=除=—率=一乎

所以4刈+8刈2=坐一坐=一噜.

18.解：解法一：原式=（3—m）2—6乂（3—枷）-2=9—6415+10—18+645-2=一1・

解法二：因为a=3—yflOt所以石一3=一＜76,两边同时平方，得才-6H+9=10,所以—6a=1,

所以a—6a—2=-1.

19.解：（1）制作长方体盒子的纸板的面积：

（6短尸―4X（啦尸=64（加）.

（2）长方体盒子的体积：

（64一2镜）X（6位一2镉）X4=32/（cn?）.

20.解：V4x+y—4^—6y+10=0,

，（2才—1尸+（y-3）2=0,Ax=2f尸工

=\2x\[x+y[xy)—(x\[x-5y[xjd

=2x\/x+y[xy-x\[x-\-5yfxy

=x\[x+6

当x=£,y=3时，

原式=3\A+6邛+34

22.1—22.2

一、选择题（每小题3分，共27分）

1.下列方程中，是关于"的一元二次方程的是（）

21

A.（x+8）=x+8B.x+^~=6

8x

C.ax+Z?x+c=OD.x"+x+l

2.一元二次方程4V+l=4x的根的情况是（）

A.没有实数根

B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根

D.有两个不相等的实数根

3.用配方法解方程步一2矛一1=0时，配方后所得的方程为（）

A.（x+l）2=0B.（x-1尸=0

C.（X+1）2=2D.（X-1）2=2

4.下面是四名同学在解方程x（x+3）=x时的答案，结果正确的是（）

A.x=-2B.x=0

C.x=0或x=2D.x=0或x=-2

5.若关于x的一元二次方程的两个根为刈=1,X2=2,则这个方程可能是（）

A.X2+3X-2=0B.X2-3X+2=0

C.X2-2X+3=0D.X2+3X+2=0

6.若关于x的一元二次方程mx2—2x+1=0无实数根，则一次函数y=（m-1）x—m的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

7.若关于x的一元二次方程（m—I）x2+5x+m2—3m+2=0有一个根为0,则m的值为（）

A.06.1或2

C.1D.2

8.若关于x的一元二次方程（k—1）——（2k+l）x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

）

A.k>—B.k>—J且k¥l

OO

1_1

C.k<—~D.k2一7且kNO

oo

9.已知m,n是方程x2+3x—2=0的两个实数根，则m'+dm+n+Zmn的值为（）

A.1B.3C.-5D.-9

二、填空题（每小题4分，共20分）

10.若关于x的方程ax?+3x=2x2+4是一元二次方程，则a应满足的条件是

11.已知一元二次方程一一6x+c=0有一个根为2,则另一个根为.

12.若代数式4x?+5x+6与-3/一2的值互为相反数，则x的值为.

13.有一个数值转换机，其流程如图1―6一1所示.若输入a=-6,则输出的x的值为_.

图1—G-1

14.关于x的一元二次方程ax2+bx+l=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a,b的值:

a=,b=_______.

三、解答题（共53分）

15.（12分）解下列方程：

（1）（X—2）'=4;（2）x2—2x=0；

(3)(x+2)2—9x2=0;(4)X2-10X+21=0；

(5)4X2+8X+1=0;(6)x2—2x=—4+2x.

16.(10分)已知关于x的方程x2+2(2—m)x+3-6m=0.

(1)若1是此方程的一个根，求m的值及方程的另一个根;

(2)试说明：无论m取任何实数，此方程总有实数根.

17.(10分)已知关于x的一元二次方程x?—ax+2=0的两实数根Xi,xz满足XM=XI+X2—2.

(1)求a的值；

(2)求该一元二次方程的两实数根.

18.(10分)已知关于x的一元二次方程x?+2x+2k—4=0有两个不相等的实数根.

(1)求k的取值范围；

(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值.

19.(11分)已知关于x的一元二次方程tx?—(3t+2)x+2t+2=0(t>0).

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

⑵设方程的两个实数根分别为X”*(其中xi<xz),若y是关于t的函数，且y=X2-2x“求这个函数

的表达式，并画出函数图象；

⑶观察(2)中的函数图象，当yN2t时，写出自变量t的取值范围.

1.A2.C3.D4.D5.B6.B7.D8.B9.C

10.aW2

11.412.-1或一4

13.无解

14.答案不唯一，如a=l,b=2

15.解：⑴,.•*一2=±皿，

，x=2±2,

%i—4>A2=0.

⑵原方程可化为x(x—2)=0,

.,.Xi=0,必=2.

(3)原方程可化为(X+2)2—(3X)2=0,

・，・(x+2+3x)(x+2—3x)=0,

・二一4(2x+1)(%—1)=0>

,1

••%1=-5，A2=1.

(4)移项,得X?—l0x=-21,

.・./-10矛+25=—21+25,

，(*—5)2=4,，才一5=土田，

矛=5±2,

•♦小=7,照=3.

(5)Va=4,8=8,c=\,

A/72-4ac=82-4X4X1=48>0,

.-8±^48

，x=

•2X4，

.-2+馅-2—\[j

♦・Xi=2，题=•

(6)原方程可化为片一2x—2x+4=0,

即I—,

(X-2)2=0,

••Xi=A2=2,

16.解：(1)把x=l代入方程，得

1+4—2卬+3—6/=0,

•・加=1.

故方程为V+2x—3=0.

设方程的另一个根是t,则1•广=一3,

；"=-3.

故加=1,方程的另一个根为一3.

(2),・•在关于x的方程/+2(2—㈤*+3—6/=0中，

A=4(2—/〃)'-4(3—6/〃)=4(/〃+1)'20,

・,・无论勿取任何实数，此方程总有实数根.

17.解：(1)•；小+矛2=&X\X2=2,

又Xi肚=汨+生—2,

.*.2=5-2,

・・w?=4.

(2)原方程为V一4X+2=0,

・・・(X-2)2=2,

Ax—2=±y/2,

.\xi=2+y[2,在=2一/.

18.解：(1)/=62-4dc=4—4(2A-4)=20-84.

・.♦方程有两个不相等的实数根，.・・20—84>0,

k<-.

(2)•.»为正整数,

5

且A为整数,

即k的值为1或2.

土邓F且方程的根为整数,

.♦.5—24为完全平方数.

当4=1时，5—24=3,不是完全平方数；

当衣=2时，5—2仁1,是完全平方数，

19.解:⑴证明:4=(31+2)2-4i(2f+2)=(t+2)2.

Vi>0,A(t+2)2>0,

即A>0,

•••方程有两个不相等的实数根.

3f+2±(t+2)

⑵x2t

,2

丁C>0,.*.xi=l,照=2+7,

22

••・p=%—2x1=2+7—2X1=7

2

即y=~(f>0).

函数图象如图：

⑶当t时，0<t^l.

22.1一元二次方程

知识点1一元二次方程的定义及一般形式

1.下列方程中是一元二次方程的是()

A.2x+l=0B./+x=0

C.x-x=OD.~+x=0

X

2.将下列一元二次方程化成一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

(1)2/=8；(2)3*2—2=x；

(3)2r(4y+3)=13;(4)(3*一1)(x+2)=1.

知识点2一元二次方程的解

3.已知关于*的一元二次方程2V—3侬-5=0的一个根是一1,把*=-1代入原方程得到关于勿的方

程为,解得卬=.

4.若关于x的方程|y-2a=0的一个根是2,则2a—1的值是多少？

知识点3根据实际问题列一元二次方程

5.［教材“问题2"变式题］E2017•辽阳］共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投

放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆.设该公司第二、三两个月投放单车数量

的月平均增长率为％则所列方程正确的是()

A.1000(1+*)2=1000+440

B.1000(1+x)2=440

C.440(l+x)2=1000

D.1000(1+2x)=1000+440

6.［2017•兰州］王叔叔从市场上买了一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱.如

图22—1—1,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面

积为3000cm”的无盖长方形工具箱，根据题意列方程

图22-1-1

7.关于x的方程aV+6x+c=0(a#0),若a+6+c=0,则方程必有一根是()

A.-1B.1C.0I).+1

8.已知勿是一元二次方程V+2x-l=0的一个根，则3卬(m+2)—2的值为•

9.［教材习题22.1第2题变式］已知关于x的方程(4一3)/T—x—2=o是一元二次方程，求不等式

取一24+6W0的解集.

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10.已知关于X的方程a2-l)z+(A+1)X—2=0.

(1)当幺取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根；

(2)当左取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

1.c

2.解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为2/—8=0,其中二次项系数为2,一次项系数为0,

常数项为一8.

(2)移项，得一元二次方程的一般形式为3/—x—2=0,其中二次项系数为3,一次项系数为一1,常数

项为-2.

⑶整理，得一元二次方程的一般形式为8/+6V一13=0,其中二次项系数为8,一次项系数为6,常

数项为-13.

(4)整理，得一元二次方程的一般形式为3f+5x—3=0,其中二次项系数为3,一次项系数为5,常数

项为一3.

3.2+3/77-5=01

3

4.解：因为关于才的方程万/-2a=0的一个根是2,所以6—2司=0,解得a=3.当a=3时，2a—1=2

X3—1=5.

5.A

6.(80—2x)(70—2x)=3000［解析］根据题意可知裁剪后的底面的长为(80—2x)cm,宽为(70—

2%)cm,根据长方形的面积=长乂宽，可以列出方程(80—2才)(70-2x)=3000.

7.B

8.1［解析］把彳=加代入方程f+2x—1=0中，得力N+2R—1=0,变形得病+2加=1,所以3%(加十

2)-2=3(必+2血-2=3X1-2=1.

9.解：•・,关于x的方程(A—3)/T—x—2=0是一元二次方程，

・・・|初一3=2且左一3W0,解得k=±5.

4

①当4=5时，不等式24+6W0可化为5x—2X5+6W0,解得牙式三

5

②当《=—5时，不等式〃L24+6W0可化为一5x+2X5+6W0,解得＞2学.

□

10.解：(1)当A=1时，此方程为一元一次方程；方程的根为x=l.

(2)当a/土I时，此方程为一元二次方程；方程的二次项系数为如一］,一次项系数为衣+1,常数项为

—2.

22.2.1第1课时直接开平方法

知识点1用直接开平方法解形如x2=p(p20)的一元二次方程

1.解方程：1=25.

因为x是25的平方根，所以x=

所以原方程的解为由=,加=.

2.一元二次方程/一4=0的解是()

A.矛i=2,火2=-2B.x=—2

C.x—2D.Xi=2,%2=0

3.［教材例1变式］用直接开平方法解下列方程：

(1)5=0;(2)16/=81；

4

(3)5/-125=0;(4)/-5="

知识点2用直接开平方法解形如(3+〃)2=夕(夕20)的一元二次方程

4.将方程(2x—1y=9的两边同时开平方，

得2x—1=_______,

即2x-1=或2%—1=,

所以Xl=,x2=.

5.下列方程中，不能用直接开平方法求解的是()

A.^-3=0B.(^-1)2-4=0

C.V+2=0I).(才一1)2=(—2)2

6.用直接开平方法解下列方程：

(1)(x+2)-=27；(2)(x—3)2—9=0；

(3)(2X-8)2=16；(4)9(3X-2)2=64.

7.若a,。为方程V-4(x+l)=l的两根，且…则》)

A.-5B.-4C.1D.3

8.[2016•深圳]给出一种运算：对于函数尸规定/例如：若函数y=x',则/=4/

已知函数y=f,则方程V=12的根是（）

A.小=4,X2=—4B.由=2,及=—2

C.矛1=X2=0D.Xi=2{5,X2=-2^3

9.若（夕+/—1）2=4,则/+/=.

10.己知直角三角形的两边长x,y满足|V—16|+，产历=0,求这个直角三角形第三边的长.

11.[2017•河北]对于实数0，g,我们用符号min{p,0}表示p,g两数中较小的数，如min{l,2）

1.因此，min{—y[2f—/}=若min{（x—1）\/}=1,贝ijx=

1.±55-52.A

3.解：(1)V=5,x—±A/5,即小=乖，X2——y［5.

即小=彳，X2=--

(3)V5/=125,

Ax=25,

，x=±5,即为=5,X2=-5.

4249t77

(4)^-5=-,x=g，解zxfZ得I=E=­§・

4.±33-32—1

5.C［解析］V—3=0移项得y=3,可用直接开平方法求解；J—1尸—4=0移项得(x—1产=4,可

用直接开平方法求解；(X—1)2=(-2)2=4,可用直接开平方法求解.故选C.

6.解：⑴：*+2=±近，

.•"=一2±3小,

.".xi=-2+3y/3,X2=—2~34.

⑵；(x-31一9=0,

(x—3>=9,

.,.X—3=±3,

，矛1=6,&=0.

⑶；2x一8=±m，

；.2x=8±4,

=6,照=2.

64

(4”・,(3x—2尸=5，

8-8

.•.3x—2=鼻或3x—2=一鼻，

142

解得x［=§,*2=­§.

7.A［解析］%-4(x+l)=1,

4x—4=1,

・・・(X-2)2=9,

••XI5,X'i=',1.

:施6为方程4(才+1)=1的两根，且

.*.a=5,Z?=-1,

故选A.

8.B［解析］由函数得〃=3,则/=3/，

A3x=12,则f=4,：.x=±2,

，小=2,应=—2.故选B.

9.3［解析］(/+/—1/=4直接开平方得f+/-1=±2.解得V+/=3或/+/=-］.

/20,

・，・/+y=3.

10.解：根据题意，得步一16=0,＞一9=0,所以x=±4,y=±3.因为三角形的边长是正数，所以x

=4,y=3.若第三边为斜边，则第三边的长为后n=5；若第三边为直角边，则第三边的长为61=干，

所以这个直角三角形第三边的长为/或5.

11.—小2或一1［解析］min{—一小}=一事.

Vmin{(x—I)2,/}=1,

当x=0.5时，3=5—1)2,不可能得出最小值为1,

当x〉0.5时，(x—l)2<x,则(x—1)2=1,

X-l=±l,

即X—1=1或X—1=-1,

解得汨=2,及=0(不合题意，舍去)；

当x<0.5时,(*—l)2>x>则/=],

解得小=1(不合题意，舍去)，^=-1.

综上所述，x的值为2或-1.

22.2.1第2课时因式分解法

知识点1解形如劭=0的方程

1.因为(x—1)(x+2)=0,所以x—10或x+20,解得司=,xi=.

2.下列一元二次方程中，两根分别为5和一7的是()

A.(x+5)(x+7)=0B.(%-5)(%-7)=0

C.(x+5)(*—7)=0D.(x—5)(x+7)=0

知识点2利用提公因式法解一元二次方程

3.将方程4/-3*=0左边提公因式后，得x(4x—3)=0,必有=0或=0,解这两个

方程，得原方程的根为不=__，吊=_

4.方程V=2x的根是()

A.x=2B.X\=~2,X2=0

C.Xi=y[2f尼=0D.x=0

5.方程x(x—2)+>—2=0的根是()

A.x=2B.xi=­2,*2=1

C.x=—\D.x=2,X2=~l

6.用因式分解法解下列方程：

(l)x(x—2)=x；(2)3x(x—2)=2(2—x).

知识点3利用平方差公式、完全平方公式解一元二次方程

7.由4/-9=0,可得(____)2-32=0,则(2y+3)()=0,所以______=0或=0,解得

y\=,j2=.

8.方程f—4x+4=0的解是.

9.运用平方差公式或完全平方公式解方程：

(1)9炉—16=0;(2)165—1)2=225；

(3)2/-4x=-2;(4)25%=10x—1.

10.定义一种新运算：a4b=a(a—物,例如4A3=4X(4—3)=4.若xJk2=3,则x的值是()

A.x=3B.x=­l

C.为=3,X2=lD.不=3,X2=­l

11.已知方程*