3.2.2 双曲线的简单几何性质　教学设计-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

.2.2双曲线的简单几何性质教学设计一、教学目标1.理解双曲线的简单几何性质；2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题.二、教学重难点1.教学重点双曲线的几何性质.2.教学难点双曲线几何性质的应用.三、教学过程（一）新课导入思考：在学习椭圆的几何性质时，我们是从哪几部分进行研究的？答：范围、对称性、顶点、离心率.类比椭圆的几何性质，来研究双曲线的几何性质.（二）探索新知1.范围如图，双曲线上点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是.下面利用双曲线的方程求出它的范围.由方程可得，于是，双曲线上点的坐标都适合不等式，即.所以，或；.这说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域.2.对称性双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.3.顶点在方程中，令，得，因此双曲线和x轴有两个交点.因为x轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.令，得，这个方程没有实数解，说明双曲线和y轴没有公共点，但也把两点画在y轴上（如图）.线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长.4.渐近线实际上，经过两点作y轴的平行线，经过两点作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是.可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交.一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.在双曲线方程中，如果，那么方程变为，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a.这时，四条直线围成正方形，渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.5.离心率双曲线的焦距和实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因为，所以双曲线的离心率.双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.例1求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解：把双曲线的方程化为标准方程.由此可知，实半轴长，虚半轴长；，焦点坐标是；离心率；渐近线方程为.例2双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图（1））.它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图（2）所示的直角坐标系，使小圆的直径在x轴上，圆心与原点重合.这时，上、下口的直径，都平行于x轴，且.设双曲线的方程为，点C的坐标为，则点B的坐标为.因为直径是实轴，所以.

又B，C两点都在双曲线上，所以由方程②，得（负值舍去）.代入方程①，得.化简得.③解方程③，得（负值舍去）.因此所求双曲线的方程为.例3动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹.解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，由此得.将上式两边平方，并化简，得，即.所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线.例4如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求.解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为.因为直线AB的倾斜角是，且经过右焦点，所以直线AB的方程为.①由消去y，得.解方程，得.将的值分别代入①，得.于是，A，B两点的坐标分别为.所以.（三）课堂练习1.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则等于()A. B. C.4 D.答案：A解析：双曲线方程化为标准形式：，则有，.由题设知，解得.故选A.2.若实数满足，则曲线与曲线的()A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等答案：A解析：因为，所以方程与均表示焦点在轴上的双曲线.双曲线中，实轴长为10，虚轴长为，焦距为；双曲线中，实轴长为，虚轴长为6，焦距为.因此两曲线的焦距相等，故选A.3.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是()A. B. C. D.答案：D解析：根据双曲线的对称性，可设双曲线的一个焦点坐标为，一条渐近线方程为.由题意可知，而，所以，因此双曲线的渐近线方程为.故选D.4.设分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线左支于两点，且，则双曲线的离心率为____________.答案：解析：结合双曲线的定义，得，又，所以，即.又，故为直角，所以，则，所以双曲线的离心率为.5.已知双曲线的方程为.（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小.答案：（1）由双曲线方程得焦点坐标分别为